四川省2024-2025学年高三上学期（新高考二卷地区）第一次适应性考试数学试题（含答案）

第第页四川省2024-2025学年高三上学期（新高考二卷地区）第一次适应性考试数学试题一、单选题1．已知集合A={x|x2+3x≤0}，集合A．{−1,1} B．{1,3}C．{−3,−1} D．{−3,−1,1,3}2．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3A．9 B．3 C．−3 D．−63．方程4cosA．x|x=kπ+−1k⋅C．x|x=2kπ±π6,k∈Z4．已知平面上四个点A,B,C,D，其中任意三个不共线．若AB⋅AD=AC⋅A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心5．已知椭圆r:x2a2+y2A．设c是半焦距O到Γ的其中一个焦点的距离，那么必然有cB．O到直线AB的距离dO−ABC．Γ和x2D．三角形OAB面积的取值范围是1,+6．设复数z=1+0.2i，w=zA．w<1.16 B．wC．若fx=5x−42，那么7．设抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点为F，点N6,y0（y0>p2）是C上一点．已知以N为圆心的圆与x轴相切，与线段NF相交于点A，A．y=−12 B．y=−32 C．8．数列是密码设置的常用手段，几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列0，2，4，6，8，11，14，17，20，23，27，31，35，39，43……其中第1至5项构成公差为2的等差数列，第5至10项构成公差为3的等差数列，第10至15项构成公差为4的等差数列，依此类推，求满足如下条件的最小整数N，N>66且该数列的第N项为2的整数幂减1，那么该款软件的激活码是（）A．87 B．94 C．101 D．108二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分．9．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的是（）A．aB．a1+a，b1+b，C．若a3+bD．若a，b，c均为有理数，则cosA−B10．已知曲线C上的点P(x，y)满足方程x|x−1|+y|y−1|=0，则下列结论中正确的是（）A．当x∈[−1，2]时，曲线C的长度为2B．当x∈[−1，2]时，y−1x+2的最大值为1，最小值为C．曲线C与x轴、y轴所围成的封闭图形的面积和为πD．若平行于x轴的直线与曲线C交于A，B，C三个不同的点，其横坐标分别为x1，x2，x3，则11．在三棱锥A−BCD中，BD⊥AC，BD=2AC=4，且ABADA．当△ACD为等边三角形时，AB⊥CD，AD⊥BCB．当AD⊥BD，CD⊥BD时，平面ABD⊥平面BCDC．△ABD的周长等于△BCD的周长D．三棱锥A−BCD体积最大为4三、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分15分．12．二项式3−2x6中展开式中x313．四面体ABCD体积为6，AB⊥BC，BC⊥CD，AB=BC=CD=23，则异面直线AD与BC的夹角为14．从1，2，…，2024中任取两数a，b（可以相同），则3a+四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程及步骤．15．某品牌汽车制造厂引进了一条小型家用汽车装配流水线，本年度第一季度统计数据如下表月份1月2月3月小型汽车数量x（辆）306080创造的收益y（元）480060004800（1）根据上表数据，从下列三个函数模型中：①y=ax+b，②y=ax2+bx+c，③y=ax（2）利用上述你选取的函数关系式计算，若这家工厂希望在一周内利用这条流水线创收6020元以上，那么它在一周内大约应生产多少辆小型汽车？16．已知数列{an}（1）求{a（2）若数列{bn}满足，b17．如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，MB//AN，NA=AB=2，BM=4，CN=23（1）证明：MB⊥平面ABCD；（2）在线段CM（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角E−BN−M的余弦值为33，若存在求出的CE18．设f（1）若a=0，求fx（2）讨论fx19．定义若椭圆x2a2+y2b2=1（a2>b2>0）的两个焦点和两个顶点四点共圆，则称该椭圆为“完美曲线”．已知Γ：（1）求Γ的表达式和离心率（2）已知动点P在Γ的第一象限上运动，lP和P相切，和l1交于C，和l2交于D．设Γ右焦点为F

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：依题意，集合A=[−3,0]，集合B为奇数集，其中集合A中的奇数为{−3,−1}，

所以，A∩B=−3，−1.

故答案为：C.

【分析】利用一元二次不等式求解方法得出集合A，再结合集合B为奇数集，由交集的运算法则得出集合A∩B2．【答案】D【解析】【解答】解：等差数列{an}的公差为2，因为a1，a3，a解得a1=−8，故故答案为：D.【分析】根据已知条件结合等比数列的性质列式求得a1，再求得a3．【答案】C【解析】【解答】解：将原方程化为(2cosx−3)2=0故答案为：C.【分析】将原方程配方得出(2cosx−3)24．【答案】D【解析】【解答】解：因为AB⋅AD=AC⋅所以AD⊥CB，即直线AD一定经过三角形ABC的BC边上的高，

即直线AD一定经过三角形ABC的垂心.故答案为：D.【分析】由题意结合数量积的运算法则，从而得出AD⊥CB，即BC边上的高所在直线为AD，由此判断出直线AD一定经过三角形ABC的垂心，进而找出正确的选项.5．【答案】C【解析】【解答】解：因为椭圆r:x2a所以1a2+1b2=1，不妨设a>0对于A，注意到当b=3时，a=324对于B，因为直线AB是xa+y对于C，因为x+y22=3显然曲线x2+y因为椭圆r:x2a因为1a2+对于D，因为a≠b，所以1a2+故答案为：C.【分析】将点代入椭圆方程中，得到1a2+1b6．【答案】A【解析】【解答】解：对于A，注意到w令fx=1+x4−1−4x所以，函数fx在0,1上递增，故fx>f0=0，

对于B，因为z2=0.96+0.4i，设z4=a+ai+bi，则z8又因为a>0,b>0,所以复数w在第二象限，则B正确；对于C，代入z=1+0.2i到函数fx=5x−4对于D，化简得出w−1ww=1−故答案为：A.【分析】利用复数的运算法则和复数求模公式，从而判断选项A；根据复数乘法运算法则和复数的几何意义，从而判断选项B；利用代入法和函数的解析式，化简判断出选项C；利用共轭复数的定义和复数的混合运算法则，再利用元素与集合的关系，则判断出选项D，从而找出说法错误的选项.7．【答案】B【解析】【解答】解：由已知可得，点N6,y0在抛物线上，

则6=2py0如图所示，过N作直线y=p2的垂线，

设圆N与直线y=p2相交于点E（D左侧），易知DN=y0−p2因为圆N被直线y=p2截得的弦长为3NA，

由NA=NE=r，在Rt△NDE中，

由①②解得：p=3，抛物线C的准线方程为：y=−故答案为：B．【分析】由题意得py0=3，过N作直线y=p2的垂线，D为垂足，设圆N与直线y=p2相交于点E，从而求得NA8．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可知：aa10a15a⋯a5n所以a5n所以当n=17时，a85=848，此时后5项和848构成公差为所以a87当n=18时，a90=943，此时后5项和943构成公差为20的等差数列，

所以当n=20时，a100=1148，此时后5项和1148构成公差为22的等差数列，

所以当n=21时，a105=1258，此时此时后5项和1258构成公差为23的等差数列，

所以故答案为：B.【分析】由题意结合归纳推理的方法和数列求和的方法，从而确定数列a5n9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对于A，由于a−b<c,b−c<a,a−c<b，

平方可得a2+b2−2bc<对于B，取a=b=c，则a1+a，b1+b，对于C，由a3+b3=c3可知c>a,c>b故C为锐角，可得△ABC为锐角三角形，故C正确；对于D，若a，b，c均为有理数，则a2则cosB=c2+a2−b22ac为有理数，过C作CE⊥AB，故∠DCA=∠A−∠B，由于AD=2BE−AB=2BC⋅cos故AD为有理数，所以AD,AC=b,CD=a均为有理数，因此cosA−B故答案为：ACD.【分析】根据三角形三边的关系，由平方法和不等式的基本性质，从而判断出选项A；利用a=b=c进而三角形的判断方法，则可判断选项B；利用余弦定理和不等式的基本性质以及三角形中边角关系，再根据角C是三角形中最大内角，从而判断出三角形的形状，则判断出选项C；利用余弦定理和有理数的定义，结合图形关系，则判断出选项D，进而找出结论正确的选项.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】对于方程x|x−1|+y|y−1|=0，①当x≤1，y≤1时，方程变为x−x2+y−y2②当x>1，y<1时，方程变为x2−x+y−y2=0⇔③当x>1，y>1时，方程变为x2−x+y2−y=0⇔④当x<1，y>1时，方程变为x−x2+y2综上可知，曲线C由三段构成：射线EM，半圆弧EOF和射线FN.对于A，当x∈[−1，2]时，曲线C由三段构成：线段EM，半圆弧EOF和线段FN.其长度为2+对于B，令k=y−1x+2，其表示曲线C上的动点(x，y)与定点P(−2，1)由图可知，kmax=kPM=2−1(−1)−(−2)对于C，由图可知，曲线C与x轴、y轴围成的封闭图形为两个相同的弓形，其面积和为2×[1对于D，设平行于x轴的直线为y=m，要使y=m与曲线C有三个交点，则m∈(12−22，0)，不妨设y=m与半圆弧EOF的交点为A，B，显然，A，B两点横坐标之和x1+x2=1，y=m故答案为：ACD.

【分析】对于方程x|x−1|+y|y−1|=0，再利用分类讨论的方法结合绝对值的定义，再利用配方法结合半圆弧EOF、射线FN、圆不在x>1，y>1范围内、射线EM的轨迹，综上可知，曲线C由三段构成：射线EM，半圆弧EOF和射线FN。当x∈[−1，2]时，曲线C由三段构成：线段EM，半圆弧EOF和线段FN，其长度为2+2π2+2=22+2π2；令k=y−1x+2，再利用两点求斜率公式，得出其表示曲线C上的动点(x，y)与定点P(−2，1)连线的斜率，再利用几何法结合两点求斜率公式可知，kmax=kPM=1，但其最小值是过点P(−2，1)且与半圆弧EOF相切的切线斜率，显然，结合两点求斜率公式，得出kmin<kPN=−12；利用几何法可知，曲线C与x轴、y轴围成的封闭图形为两个相同的弓形，再利用弓形面积求解方法结合求和法，从而求出其面积和；设平行于x轴的直线为y=m，要使y=m与曲线C有三个交点，则m∈(111．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对于选项A：分别取AB,BC,CD,AD,BD的中点E,F,H,G,M，连接EF,FH,GH,EG,EM,FM,HM,GM,EH,GF，

可知：EF//AC//GH,EG//BD//FH，且EF=GH=12因为BD⊥AC，可知EFHG为矩形，可得EH=GF=5若△ACD为等边三角形，则AC=AD=CD=2，因为ABAD=CB又因为E,M,H为对应棱的中点，则EM//AD,MH//BC,EM=1,MH=2，可得EM2+MH2同理可证：AB⊥CD，故A正确；对于选项B：若AD⊥BD，ABAD=2,BD=4，可得

同理可得BC=2CD=433，且AC=4，

则AD2+C反证法：假设平面ABD⊥平面BCD，则存在直线l⊂平面ABD，使得l⊥平面BCD，由BD,CD⊂平面BCD，可得l⊥BD,l⊥CD，因为l,AD⊂平面ABD，且l⊥BD,AD⊥BD，可知l//AD，所以AD⊥CD，这与AD与CD不相互垂直相矛盾，所以假设不成立，故B错误；对于选项C：如图，以BD的中点M建立空间直角坐标系，则B2,0,0

若PB=2PD，设Px,y,z，则x−22整理得x+1032+y2+所以点A,C均在以点O−103,0,0为球心，半径为因为BD⊥AC，则A,C在与直径A1A2因为O1A=O可知BA=BC，且ABAD=CB即BA+AD+BD=BC+CD+BD，所以△ABD的周长等于△BCD的周长，故C正确；对于选项D：取AC的中点N，连接O1则O1可得O1所以三棱锥A−BCD体积为：V=1当且仅当O1O=0时，等号成立，所以三棱锥A−BCD体积最大为故答案为：ACD.【分析】取相应的中点，根据题意结合平行关系和勾股定理分析，从而判断出选项A；根据题中长度关系可知AD与CD不相互垂直，再利用反证法证明平面ABD与平面BCD不垂直，则判断出选项B；利用空间直角坐标系分析可知，点A,C均在以点O−103,0,0为球心，半径为83的球面上（不与B,D共线）且BD⊥AC，再结合球的性质可知A,C在与直径A1A12．【答案】−4320【解析】【解答】解：因为二项式的展开式的通项公式为Tr+1令r=3，所以T4所以二项式3−2x6中展开式中x项的系数为−4320故答案为：−4320.【分析】利用二项式定理求出展开式的通项公式为Tr+1=C6r13．【答案】π4或【解析】【解答】解：由题意，BC⊥CD，AB=BC=CD=2以C为原点，以CD,CB所在直线为x,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则C0,0,0，D23,0,0又因为AB⊥BC，设Ax,y,2则AB2=x2此时AD=23因此AD⋅BC=12AD=则AD=43或26，则cos所以异面直线AD与BC的夹角为π4或π故答案为：π4或π【分析】由题意得出BC⊥CD，AB=BC=CD=2314．【答案】3【解析】【解答】解：从1，2，⋯，2024中任取两数a，b(可以相同)，共有2024×2024种取法，因为3a的个位数字随着a从1开始，依次是3,9,7,1,7b的个位数字随着b从1开始，则依次是7,9,3,1,7,故它们的周期均为4，

所以，1~2024中，共有4k+1,4k+2,4k+3,4k+40≤k≤505,k∈N且每种数型的个数是均等的，都是506个，3a和7b的尾数中只有9+9,7+1,1+7三种情形中个位数字是即a=4k+2,b=4l+2；a=4k+3,b=4l+4；a=4k+4,b=4l+1时，3a所以满足3a+7b的个位数字是则所求概率为506×506×32024×2024=316，即3a故答案为：316【分析】先研究3a和7b的个位数字的规律，从而确定它们的周期，再借助古典概型求概率公式，从而得出15．【答案】（1）解：选取②y=ax2+bx+c，

由题表可知，随着x的增大，y的值先增大后减小，

又因为函数y=ax+b及y=ax+b均为单调函数，故不符合题意，

所以选取②y=ax2+bx+c，

将30,4800，60,6000，80,4800三点分别代入函数解析式y=ax2+bx+c，

可得二次函数对称轴为x=30+802=55，

故可将函数解析式设为y=a(x−55)2+ℎ，（2）解：设在一周内大约应生产x辆小型汽车，

根据题意，可得−2x即−2x2+220x−6020>0，

因为Δ=110所以方程x2−110x+2800=0有两个实数根x1由二次函数y=x2−110x+3010因为x只能取整数值，

所以当这条流水线在一周内生产的小型汽车数量53≤x≤58且x∈N这家工厂能够获得6020元以上的收益.【解析】【分析】（1）根据表格中数据的单调性，从而选取②y=ax2+bx+c，再根据二次函数的对称性得出二次函数的对称轴，再设函数的顶点式，从而代入坐标，进而求出二次函数的解析式，即得出描述这条流水线生产的小型汽车数量x（2）在（1）的基础上，得到−2x2+220x>6020（1）选取②y=ax由题表可知，随着x的增大，y的值先增大后减小，而函数y=ax+b及y=a所以选取②y=ax将30,4800，60,6000，80,4800三点分别代入函数解析式y=ax可得二次函数对称轴为x=30+802=55即得到52a+ℎ=600025∴y=−2(x−55)∴a=−2，b=220，c=0；（2）设在一周内大约应生产x辆小型汽车，根据题意，可得−2x即−2x2+220x−6020>0因为Δ=110所以方程x2−110x+2800=0有两个实数根x1由二次函数y=x2−110x+3010因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的小型汽车数量53≤x≤58且x∈N这家工厂能够获得6020元以上的收益.16．【答案】（1）解：由an−an+1−anan+1因为a1≠0，所以由an−an+1−故{1an}是首项为2，公差为1的等差数列，所以（2）解：由b2n−b2n−1由b2n+1−b2n①+②可得b2n当n=1时，b2−b所以b=(2×2+1)+(2×3+1)+(2×4+1)+⋯+(2n+1)=2×(2+3+4+⋯+n)+(n−1)=2×(2+n)(n−1)所以b2n当n=1时，b2=3也满足上式，所以由上可知，1b所以1=1即1b【解析】【分析】（1）由题意，构造新数列{1an}，根据数列为等差数列，通过求数列（2）由b2n−b2n−1=17．【答案】（1）证明：正方形ABCD中，BC⊥AB，

因为平面ABCD⊥平面ABMN，平面ABCD∩平面ABMN=AB，BC⊂平面ABCD，

所以BC⊥平面ABMN，

又因为BM,BN⊂平面ABMN，所以BC⊥BM，BC⊥BN，

又因为BC=AB=2，CN=23，所以BN=CN2−BC2=22，

又因为AB=AN=2，所以BN2=AB2+AN2，所以AN⊥AB，

（2）解：假设存在点E，满足题意，由（1）知，BM⊥平面ABCD，BC⊥AB，

以B为坐标原点，BA，BM，BC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则B0,0,0，A2,0,0，C0,0,2，D2,0,2，N2,2,0，M0,4,0，

设点Ex,y,z，CE=λCM0<λ<1，则x,y,z−2=λ0,4,−2，

即x=0y=4λz=2−2λ，E0,4λ,2−2λ，BN=2,2,0，BE=0,4λ,2−2λ，

设平面BEN的法向量为m=x,y,z，则BN⋅m=2x+2y=0BE⋅m=4λy+2−2λz=0，

令x=1，则y=−1，z=2λ1−λ，即【解析】【分析】（1）先由面面垂直的性质证得BC⊥平面ABMN，求得BN，利用勾股定理证得AN⊥AB，再利用线面垂直的性质证明即可；（2）结合（1）中条件，建议空间直角坐标系，分别求得平面BEN与平面BMN的法向量，从而得到关于λ的方程求解即可.（1）正方形ABCD中，BC⊥AB，∵平面ABCD⊥平面ABMN，平面ABCD∩平面ABMN=AB，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ABMN，又BM,BN⊂平面ABMN，∴BC⊥BM，BC⊥BN，又BC=AB=2，CN=23，∴BN=又∵AB=AN=2，∴BN2=AB又MB//AN，∴BM⊥AB，又BC∩BA=B，BC,BA⊂平面ABCD，∴BM⊥平面ABCD.（2）假设存在点E，满足题意，由（1）知，BM⊥平面ABCD，BC⊥AB，故以B为坐标原点，BA，BM，BC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B0,0,0，A2,0,0，C0,0,2，D2,0,2，设点Ex,y,z，CE=λCM0<λ<1∴x=0y=4λz=2−2λ，∴E0,4λ,2−2λ，∴BN设平面BEN的法向量为m=x,y,z，∴令x=1，∴y=−1，z=2λ1−λ，∴由（1）知平面BMN的法向量为BC=∴cosBC,m即23λ=6λ2−4λ+2所以存在一点E，使得CE=1318．【答案】（1）解：当a=0时，fx注意到ex3−x>0，从而−−−33f+0—0+f↗e↘e↗则fx的单调递增区间是−∞,−33（2）解：当a=0时，注意到ex当a≠0时，注意到所求可以化为x3设gx=x3−x，ℎx=ln−−1−1,−−−0g+++0——g↗0↗2↘000,3311,+g——0+++g0↘−↗0↗当a<0时，x<0，注意到gx注意到3x2+−1则gx则函数gx设x1=max−设x2=min−2,在x2当a>0时，我们考虑kx=3x3−x−1−−−1111,+k+0—0+++k↗−↘−↗1↗则其在13,1之间有一个零点，

设其为α，则考虑gx−ℎx'=kxx，其极小值点就是最小值点，在x=α处取到，注意到α3=1当a<b=1αe当a=b时，gx当a>b时，gx−ℎx在x1=min1则gx−ℎx设ux=ln所以，函数ux在1,+则ux=ln当x≥2时，gx则在x2=max2,则在α,x所以，此时共有两个零点，综上所述，当0≤a<b=1αe当a<0或者a=b时，fx【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数fx（2）利用分类讨论的方法和函数的零点与方程的根的等价关系，结合求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的极值，进而得出函数的最值，再结合零点存在性定理，从而讨论出函数fx（1）当a=0时，fx注意到ex3−x>0，从而−−−33f+0—0+f↗e↘e↗从而fx的单调递增区间是−∞,−（2）当a=0时注意到ex当a≠0时，注意到所求可以化为x3设gx=x3−x，ℎ−−1−1,−−−0g+++0——g↗0↗2↘000,3311,+g——0+++g0↘−↗0↗当a<0时，x<0，注意到gx注意到3x2+则gx从而gx注意到设x1=max−12,1设x2=min−2,ea从而在x2当a>0时，我们考虑kx=3x−−−1111,+k+0—0+++k↗−↘−↗1↗从而其在13,1之间有一个零点，设其为α，从而考虑其在0,+∞上的正负性和kx一样，从而其极小值点就是最小值