上海市静安区2024-2025学年高三上学期期末教学质量调研（一模）数学试题（含答案）

第第页上海市静安区2024-2025学年高三上学期期末教学质量调研（一模）数学试题一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分.1．设集合A=1,3,5,7,B=2,3,4,5，则2．不等式|2x−1|<3的解集为.3．已知i是虚数单位，m+i1−2i是纯虚数，则实数m的值为4．设an是等差数列，a1=−6,a35．到点F1(−3,0),F2(3,0)6．在△ABC中，已知BC=5,AC=4,A=2B，则cosB的值为.7．已知物体的位移d（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系d=5sint−2cost，则该物体在t=π2s时刻的瞬时速度为8．若用t替换命题“对于任意实数d，有d2≥0，且等号当且仅当d=0时成立”中的d，即可推出平均值不等式“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个正数相等时成立”.则t=9．以双曲线x24−y210．如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在A层，小宁家位于小明家正上方的B层，已知AB=a.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为α，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为β，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离d=.11．记fx=x2+a212．已知lgx1､lgx2､二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题､14题各4分，第15题､16题各5分.每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.13．设a,b∈R，则“a+b>0”是“a>0且b>0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件14．污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉12%的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的10%，大约需要的时间为（）（参考数据：lg0.88≈−0.0555A．14小时 B．18小时 C．20小时 D．24小时15．我国古代数学著作《九章算术》中将四个面都是直角三角形的空间四面体叫做“鳖臑”.如图是一个水平放置的△ABC,CD⊥AB,∠A=30∘,∠B=45∘.现将Rt△ACD沿CD折起，使点A移动到点AA．60∘ B．90∘ C．arctan2 16．在四棱锥P−ABCD中，AB=A．4 B．3 C．2 D．1三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．设函数fx（1）求函数y=fx（2）求不等式fx18．已知向量a=cos3x（1）求a·b及（2）记fx=a19．如图所示，正三棱锥A−BCD的侧面是边长为2的正三角形.（1）求正三棱锥A−BCD的体积V；（2）设E､F､求证：①CD//平面EFG；②若平面EFG交BD于点H，则四边形EFHG是正方形.20．如图的封闭图形的边缘由抛物线Γ和垂直于拋物线对称轴的线段AB组成.已知AB=4，拋物线的顶点到线段AB所在直线的距离为2.（1）请用数学符号语言表达这个封闭图形的边缘；（2）在该封闭图形上截取一个矩形CDEF，其中点C､D在线段AB上，点E､F抛物线Γ上.求以矩形（3）求证：抛物线Γ的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上.21．如果函数y=fx满足以下两个条件，我们就称函数y=fx为①对任意的x∈0,1，有f②对于任意的x,y∈0,1，若x+y≤1，则f求证：（1）y=3x是（2）U型函数y=fx在0,1（3）对于U型函数y=fx，有f13

答案解析部分1．【答案】{3,5}【解析】【解答】解：因为集合A=1,3,5,7,B=2,3,4,5故答案为：{3,5}.【分析】根据已知条件结合交集的运算法则，从而得出集合A∩B.2．【答案】{x｜-1＜x＜2}【解析】【解答】∵|2x−1|<3⇔−3<2x−1<3⇔−1<x<2，∴不等式|2x−1|<3的解集为{x|-1＜x＜2}.故答案为：{x|-1＜x＜2}.【分析】根据绝对值定义化简求解，即得结果.3．【答案】−2【解析】【解答】解：因为m+i1−2i又因为其为纯虚数，则m+2=0且1−2m≠0，解得m=−2.故答案为：−2.【分析】根据复数的乘法运算法则和纯虚数的判断方法，从而得出实数m的值.4．【答案】36【解析】【解答】解：在等差数列an中，a1=−6,a3所以S8故答案为：36.【分析】根据已知条件结合等差数列的通项公式，从而求出数列an的公差，再结合等差数列前n项和公式求出数列a5．【答案】x【解析】【解答】解：依题意，|PF则点P的轨迹是以F1,F由2c=6，得b=a所以动点P的轨迹方程为x2故答案为：x2【分析】根据已知条件和椭圆的定义，从而求出点P的轨迹方程.6．【答案】5【解析】【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得BCsinA=ACsin因此5sin2B=4sin故答案为：58【分析】根据已知条件结合正弦定理和二倍角的正弦公式，从而得出角B的余弦值.7．【答案】2【解析】【解答】解：函数d=5sint−2cost，求导得d'=5cost+2sint，

则所以所求瞬时速度为2ms故答案为：2.【分析】由瞬时速度的意义求出函数在t=π2时的导数值，从而得出该物体在8．【答案】a−b（答案不唯一，可以为【解析】【解答】解：取正数a,b，则a+b−2ab=(因此a+b≥2ab，即a+b于是“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，

且等号当且仅当这两个正数相等时成立”，显然t2=(故答案为：a−【分析】根据已知条件，取正数a,b，再作差变形结合均值不等式求最值的方法，从而得出t的值.9．【答案】4【解析】【解答】解：双曲线x24−y2m=1的渐近线为m依题意，m⋅4+m4+m故答案为：43【分析】根据已知条件求出双曲线的渐近线方程、离心率的值和右焦点坐标，再利用圆的切线的性质列式计算，从而得出m的值.10．【答案】a【解析】【解答】解：分别过点A,B作CD的垂线，垂足分别为M,N，则根据正切函数的定义得CM=dtanα，则MN=AB=dtanα−dtan故答案为：atan【分析】根据正切函数的定义和已知条件，从而得到方程，进而解方程得出他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离.11．【答案】2【解析】【解答】解：因为二次函数fx则该函数的对称轴为直线x=−a2+令a=cosθ，则a2+2ab−b2=cos2故答案为：2.【分析】由偶函数的图象的对称性可得a2+b2=1，令a=12．【答案】100000【解析】【解答】解：设lgx3=k,k∈N∗，

由lgx42<lgx1⋅lg则lgx1≥5，x故答案为：100000.【分析】令lgx3=k，根据已知条件列出一元二次不等式，再解不等式求出k的取值范围，再根据对数函数的单调性，从而得出x13．【答案】B【解析】【解答】解：从正向来看，取a=2,b=−1，

则a+b>0，满足a+b>0，但不满足a>0且b>0，故充分性不成立，从反向来看，a>0,b>0，则a+b>0，故必要性成立，所以前者是后者的必要不充分条件.故答案为：B.【分析】正向取反例即可，反向根据不等式性质即可，再根据必要不充分条件的判断方法，则找出正确的选项.14．【答案】B【解析】【解答】解：设处理池中的残留物初始时为a，则t小时后，处理池中的残留物为a1−12根据题意可得a1−0.12t=0.1a，即0.88因此，要使处理池中的污染物水平降到最初的10%，大约需要的时间为18小时.故答案为：B.【分析】利用已知条件可知，t小时后，处理池中的残留物为a1−12%t，再根据题意可得出关于t15．【答案】D【解析】【解答】解：在△ABC中，CD⊥AB,∠A=30

不妨设CD=1，则BD=1,BC=2,AD=所以空间四面体A'BCD是一个“鳖臑”，则△A若A'B>A'D，则Rt△此时△A所以A'B<A'D，在Rt△此时满足△A'BC由A'D⊥CD，BD⊥CD，二面角A'Rt△A'BD中，tan所以二面角A'−CD−B的大小为故答案为：D.

【分析】设CD=1，根据题意求出四面体的棱长，结合勾股定理和二面角的平面角的定义得出二面角A'−CD−B的平面角为∠A16．【答案】C【解析】【解答】解：设平面ABCD的一个法向量n=(x,y,z)则n⋅AB=4x−2y+3z=0n⋅AD=−4x+y=0所以该四棱锥的高ℎ=|故答案为：C.【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面ABCD的一个法向量，再利用数量积求点到平面的距离公式，则得出该四棱锥的高.17．【答案】（1）解：因为y'令y'=1−4x2令y'=1−4x2所以，该函数的严格单调增区间为(−∞,−2)和(2,+∞)，严格单调减区间为（2）解：因为f(x)<2x，即x−4x2−4x>0，即xx所以解集为(−2,0)∪(2,+∞【解析】【分析】（1）直接求导，令导函数大于0和小于0结合导数判断单调性的方法，从而得出函数y=fx（2）将不等式转化为xx2−4（1）y'令y'=1−4x2令y'=1−4x2所以，该函数的严格单调增区间为(−∞,−2)和(2,+∞)，严格单调减区间为（2）f(x)<2x，即x−4x2−4x>0，即所以解集为(−2,0)∪(2,+∞18．【答案】（1）解：由题意得a⋅由于a则|=2+2cos因为x∈0,π2（2）解：f(x)=因为x∈0,π2，则cosx∈0,1，

则当cos【解析】【分析】（1）根据已知条件和向量数量积的坐标表示以及向量模的坐标运算，从而得出a·b和（2）根据（1）中结果代入计算，从而得fx=a（1）由题意得a⋅由于a则|=2+2cos因为x∈0,π2（2）f(x)=a因为x∈0,π2，则cosx∈0,1，则当cos19．【答案】（1）解：由正三棱锥A−BCD的侧面是边长为2的正三角形，

得正三棱锥A−BCD为正四面体，取正△BCD的中心O，连接AO,BO，延长BO交CD于M，连接AM，

则AO⊥平面BCD，M是CD的中点，AM=BM=3，OM=13BM=所以正三棱锥A−BCD的体积为：V=1（2）证明：①由E,F分别是线段AC,AD的中点，

得EF//CD，又因为EF⊂平面EFG，CD⊄平面EFG，所以CD//平面EFG.②由平面EFG交BD于点H，得面EFG∩平面BCD=GH，

又因为CD//平面EFG，CD⊂平面BCD，

则GH//CD，而G是BC的中点，则H是BD的中点，因此EG//AB//FH，

因为EF//GH，则四边形EFHG是平行四边形，又因为EF=12CD=12AB=EG，于是▱EFHG为菱形，

又因为AM⊥CD,BM⊥CD，AM∩BM=M,AM,BM⊂平面ABM，

则CD⊥平面ABM，

又因为AB⊂平面ABM，因此AB⊥CD，【解析】【分析】（1）由正三棱锥A−BCD的侧面是边长为2的正三角形，得正三棱锥A−BCD为正四面体，取正△BCD的中心O，结合线面垂直的定义证出线线垂直，根据勾股定理求出AO长，再利用正三棱锥体积公式，从而得出正三棱锥A−BCD的体积V的值.（2）①利用线面平行的判定定理证出CD//平面EFG.

②借助平行公理证出四边形EFHG是平行四边形，由中位线性质证出EF=EG，再利用线面垂直的判定定理和性质定理，则结合异面直线夹角定义，从而证出四边形EFHG是正方形.（1）由正三棱锥A−BCD的侧面是边长为2的正三角形，得正三棱锥A−BCD为正四面体，取正△BCD的中心O，连接AO,BO，延长BO交CD于M，连接AM，则AO⊥平面BCD，M是CD的中点，AM=BM=3，OM=13所以正三棱锥A−BCD的体积V=1（2）①由E,F分别是线段AC,AD的中点，得EF//CD，而EF⊂平面EFG，CD⊄平面EFG，所以CD//平面EFG.②由平面EFG交BD于点H，得面EFG∩平面BCD=GH，而CD//平面EFG，CD⊂平面BCD，则GH//CD，而G是BC的中点，则H是BD的中点，因此EG//AB//FH，而EF//GH，则四边形EFHG是平行四边形，又EF=12CD=12AM∩BM=M,AM,BM⊂平面ABM，则CD⊥平面ABM，又AB⊂平面ABM，因此AB⊥CD，于是EG⊥GH，所以四边形EFHG是正方形.20．【答案】（1）解：如图建立平面直角坐标系xOy，设抛物线Γ的方程为y=ax2，x∈−2,2，

则曲线Γ过点2,2，所以2=4a所以，曲线Γ的方程为y=1线段AB的方程为y=2,x∈−2,2（2）解：设Ex,y，则DE=2−以CF为母线的圆柱的底面半径r1满足2x=2πr1所以圆柱的体积V1所以V1所以，当x=2时，其体积取得最大值2（3）证明：因为函数y=12x所以，抛物线Γ上任意一点x,y的切线斜率为x，设l1,l2是抛物线则其方程分别为l1:y−y1=x1x−x1,因为x1≠x故抛物线Γ的任何两条相互垂直的切线的交点都在直线y=−1【解析】【分析】（1）利用已知条件建立平面直角坐标系，从而设出抛物线方程，再结合点代入法得出抛物线Γ的方程和线段AB的方程.（2）利用已知条件结合圆柱的性质和体积公式，从而求出圆柱的体积表达式，再利用换元法和二次函数的图象求最值的方法，从而得出以矩形CDEF为侧面，CF为母线的圆柱的体积最大值.（3）利用已知条件结合导数的几何意义和点斜式方程，从而求出曲线的切线方程，进而求出两切线交点，则证出抛物线Γ的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上.（1）如图建立平面直角坐标系xOy，设抛物线Γ的方程为y=ax2则曲线Γ过点2,2