湖北省荆州市沙市中学2025届高三12月考-数学试题（含答案）

2024—2025学年度上学期2022级12月月考数学试卷命题人：郭松审题人：冷劲松考试时间：2024年12月26日一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。3-i=z=（其中i（）12．已知复数z1+52A．B．C．2D．552．用最小二乘法得到一组数据x,yi=2,3,4,5,6)ˆ=2x+3，若的线性回归方程为ii66ååi=30i=，则（）i1i1A．11B．13C．63Snn+4D．7826．已知等差数列a和b的前n项和分别为S、T，若=3，则（）nnnnnn+22+b10A．111B．3713C．11126D．371326r12r-b=，则r-b45．设a,b为单位向量，a在b方向上的投影向量为（）A．2B．3C．5D．7æèπö3øπ．已知函数fxsinçx=w+÷w>0的图象向左平移后所得的函数为奇函数，则w的最小12值为（）A．2B．4C．6D．86．记抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,Am为抛物线上一点，=6，直线AF与抛物线另AF=一交点为B，则（）BF11A．B．C．2D．332试卷第1页，共5页．直三棱柱ABCABC中，ABACAA22，P为BC中点，-===7111111AP=BC，Q为AC上一点，AQ=AC，则经过A，P，Q三点的1111122平面截此三棱柱所成截面的面积是（）972A．B．4C．D．52f(x)定义域为，且Rf(2x+f(x)(2,3)关于点成中心对称，则8．若函数为偶函数，f+f(2)+L+f(23)的值是（）A．B．C．D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列关于平面向量的说法中正确的是（）A．已知点,B,C是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且OC=xOA+OB，则x=0.6æ5,+¥ö÷rrB．已知向量a=2),b=，且a与a+lb的夹角为锐角，则l的取值范围是ç-è3øC．已知点G为VABC三条边的中线的交点，则GA+GB+GC=0D．已知AB=(23,2),AC=(--3)，则在AC上的投影的坐标为(3,AB10．如图所示，若长方体AC的底面是边长为2的正方形，高为4．E是DD的中点，则（）1A．1E^1B83B．三棱锥1-CE的体积为C．平面BCEP平面ABD11D．三棱锥1BCD的外接球的表面积为24π-11试卷第2页，共5页x22y22､F11．已知双曲线C:-=a>b>0)的左､右焦点分别为FF，过点的直线与C的左支相121abP,QPQ^PF4PQ=3PF，且，则（交于两点，若）22A．PQ=4aB．3PFPQ=122C．双曲线C的渐近线方程为y=±x3D．直线PQ的斜率为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。2．x+a的展开式中，x7的系数为15，则a=________.（用数字填写答案）1a=a8a=a，则______.aa113．已知正实数满足a4．在四面体ABCD中，△ABD是边长为42的等边三角形，BC^CD，BC=CD，AC=43，点E在棱BD上，且BD=4BE所得截面圆的面积最小值与球O的表面积之比为，过点E作四面体ABCD的外接球O的截面，则．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。315．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+csinB=a．3（（1）求B；2）若a2+c2=2，求b的取值范围．1216．已知函数fx=x+ax2-3x.函数fx在x=处取得极值.（（1）求实数a；-m2x1xÎ1,2，当xxfx-fx>2）对于任意x1，时，不等式恒成立，求实2121212数m的取值范围.试卷第3页，共5页ABCD-ABCD、QCDBB分别为棱17．如图，在棱长为2的正方体中，M、N、、11111111BAN^1平面的中点.（1）求证：；1N--Q（2）求二面角的余弦.F(-0)F(2,0)F18．已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相121交于M，N两点，V的周长等于16.2（（1）求椭圆C的标准方程；P(0)AFBFk12）若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，11k.2k+k为定值；（（i）求证：12ii）求VABF面积的最大值.1³2，设数列a,aL,a是L,n的一个排列，对iÎL,,x表示以19．给定正整数n12niaiyai表示以为首项的iaax=0iai递减子列的最大长度.我们规定：当后面的项没有比大时，，当后面的项没有iiaiy=0in=a=a=a=3x=21比小时，.例如数列：，则.，123y=x=y=x=y=0.122334ån=a=a=a=a=3x,y1i-yi（1）若，求和；12342i1试卷第4页，共5页22¹0；iÎL,n-1,x-y+x-y（（2）求证："iii1i1nåi-y3）求的最值.ii1试卷第5页，共5页 高三年级12月月考数学答案11．C2．D3．B4．D5．D6．C7．A8．C9．ACD10．BD11．BC1912．13.0.562514．/1：828pé2(2)5.(1)B=1ë333(1)由正弦定理及bcosC+csinB=a可得sinBcosC+sinCsinB=sinA，又B+C=p-A，3333则sinBcosC+sinCsinB=sinB+C，即sinBcosC+sinCsinB=sinBcosC+cosBsinC，3333sinCsinB=cosBsinC，因为C0，所以¹sinB=cosB，tanB=3，因为，所以BÎ0,p则33pB=．3(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=2-ac，因为2ac≤a2+c2=2，ac£1，所以b2³1，当且仅当é2a=c=1时取等号．又因为ac0，所以b22．综上所述，1≤b22，b的取值范围是><<．ë16.(1)a=1(2)¥,-612ax2-3x+112（1）f¢x=+2ax-3=，因为fx在x=处取得极值，故xxæ1ö2è2ø--2x1x11a12fx=x+x2-3xa=1时，，f¢x=a´-3´+1=-=0，解得a=1.当，故2ç÷22x121==a=1左右导函数异号，满足极值点条件，故fxx处导函数为0，且在x在2-mmmm2m2x1（2）fx-fx>=-Þfx->fx2-，构造函数12112121mxm=-fx=+x2-3x-，即>，因为任意x1，2Î2，当1<2时，不等式gxxg1gx2x-mxx->21gx1,2Î上单调递减，fxf2x恒成立，所以函数在1121m即g¢x=+2x-3+£xÎ20在上恒成立，由xx21m¢=+2x-3+£0Þ£-2x33x2-x，+gxmxx211212设hx-2x33x2=+-Þ¢hx=-6x26x16(x+-=--2+xÎ2，因为，所以-13£h¢x£-1，所x)以函数hx=-2x3+3x2-x单调递减，故=h(2)=-6，因此m的取值范围为¥,-6hxm£-6，故实数min9817.（1）证明见解析（2）ABCD-ABCDQ1D1B的中点，所以【1）证明：正方体中，M，分别为棱ABB1A平面，所以，111111//1DAD^ABB1A1NÌ，平面，11111AD^AN^1NABB1ABBQAQ，所以，正方形中，N为的中点，11111AB△AAQ△ABN=NAB，所以，设为的中点，所以、111111111NH+AQH=90°1=90°，所以，即交点为H，则111N^AQAQ、Ì，Ç=Q1N^，所以；又平面平面2）如图，以点D为原点，分别以DA、、空间直角坐标系.因为正方体棱长为2，M，N，Q.yDDxz（为，，轴建立1CDBB分别为棱，，1111BD0A0，M2N2,1，Q2.，，的中点.所以1AN=2,1，=2AN^r平面所以.由（1）知.1AN=0,2,-1是平面AQMmx,y,z=所以r的一个法向量，设是平面的法向量，则1222ìïm×AM=2x+y+2z=ræ3öø222m=--2íîy=12ç÷r取，得，ïm×AN=2y+z=è222rrAN×m88AN,m==N--Q的余弦值为所以r，所以二面角，1ANm1451451x2y2+=1；（2iii）VABF面积的最大值为33.18.（1）116ìa=4ìc=2ïïí4a=16Þb=23【小问1详解】由题意可得椭圆焦点在x轴上，且，ïïa2=b2+c2c=2îîx2y2+=1.所以椭圆的方程为16k=k=0，所以【小问2i）证明：由题意可知直线斜率存在，当直线斜率为0时，显然12k+k=0x=my-8，当直线斜率不为0时，设直线方程为；122ìx=-8ïÞm2+4y2-48+144=0联立x2íy2，+=1ïî16122Δ=-48m-4m2+4´144=576m2-2304>0Þm2>4，则14448myy=,y+y=设퐴(푥,푦),퐵(푥,푦)，则，112212+12+3m24m24-+-1+y21y2y6y6k+k=+=+=1221所以，12+----122216my266my261144+48m因为y-6+y-6=2y-6y+y=2m´-6´=0，12211212m2m2+344k+k=0k+k1所以.综上，为定值0.1222-æ48mö14424m24ii）由（i）可得1y2-=1y241y2+-=-4´=，（ç÷22+m2+m2+èm4ø4412124m2-472m2-4所以SV=SV-SV=y-y=´6´=，112m2+m2+2441117272m2-4m2+472m2-43m2-4+1672£=33SV===所以16-416-4，123m2-4´3m2-4+2m2m1628当且仅当3所以VABFm2-4=即m2=>4时等号成立，m2-43面积的最大值为33.14åx=y=2x-y=719.（1），（2）证明见解析；12iii1nnn-1ånåni-yn的最小值为；当为奇数时，i-y的最小值为i（【3）当为偶数时，；i22i1i1小问1详解】以1为首项的最长递增子列是a,a,a，所以x=31，因为后面的项都比小，所以a2a21342=0a3a,ax3=2ax=0，以为首项的最长递增子列是，所以，因为后面没有项，所以；3444y=01aa,aa,ay=2，所以因为a后面的项都比a大，所以，以为首项的最长递减子列是或者；11223242aay=03ay=04因为后面的项都比大，所以，因为后面没有项，所以；334344ååx-y=3+2+2+0=7x=y=2x-y=7所以，即，ii12iii1i1iÎL,n，由于数列a,aL,a是L,na¹a的一个排列，故i1【若小问2详解】对于，12nia<aai1aai，则每个以为首项的递增子列都可以在前面加一个，得到一个以为首项的更长的递增ii1ix>xaai1a<a，且i1子列，所以，而每个以为首项的递减子列都不包含，ii1iiaai1y£yx-y>x-y，这意味着i1i1故可将替换为，得到一个长度相同的递减子列，所以；iii1iia>ay>yx£xx-y<x-y若，同理有，，故，ii1ii1ii1iii1i1x-y¹x-yx-yx-yi1i1总之，且和不能同时为零，iii1i1ii22¹0.故iÎL,n-1,x-y+x-yiii1i1x-yx-yx-y+x-y³1，i1i1【当小问3详解】由（2）可知和不能同时为零，故iii1i1iinkknåååx-y=x-y2i1+