江苏省苏州市2024-2025学年高一下学期4月期中调研数学试卷（含解析）

江苏省苏州市2024-2025学年高一下学期期中调研数学试题一、单选题1．函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．2．在平行四边形中，（

）A． B．C． D．3．已知，则（

）A． B． C． D．4．函数图象的一个对称中心是（

）A． B． C． D．5．中，，那么（

）A． B． C． D．或6．某简谐运动可以用函数表示，把该函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则函数的初相等于（

）A． B． C． D．7．“七巧板”是我国古代劳动人民的伟大发明，被誉为“东方魔方”.某同学制作了一个“七巧板”玩具，如图所示.其中正方形的边长为4，点分别是线段的中点，则（

）A． B． C．14 D．208．在平面直角坐标系中，曲线与单位圆的交点个数为（

）A．7 B．8 C．9 D．10二、多选题9．在中，（

）A．若，则B．若，则为等腰三角形C．若，则为钝角三角形D．若是锐角，，则为锐角三角形三、未知10．已知平面内两个非零向量与，则（

）A．B．C．存在以为边长的三角形D．两个不等式与中至少能成立一个11．已知函数，则（

）A．是偶函数B．是周期函数C．当时，在区间上有最大值D．当时，恒成立12．如图，某休闲用地的中央区域是边长为2（百米）的等边三角形，外围是以，为圆心，2（百米）为半径的圆弧.管理部门在矩形的三边安装灯带（其中在圆弧上，都在线段上），记.(1)写出灯带的总长度关于的函数，并求出该函数的值域；(2)管理部门还准备在矩形的内部建造一个圆形喷泉，试求圆形喷泉半径的最大值.四、填空题13．函数在一个周期内的图象如图所示，则.14．在内部（不包括边界）有点，满足，请写出一个满足题意的实数的值.（只要填写一个即可）15．钝角能使得等式成立，则该钝角的值等于.五、解答题16．在中，，设.(1)用分别表示；(2)若，求.17．在中，角的对边分别为.三个内角满足.(1)求角的值；(2)如果，并且，求的周长.18．已知函数.(1)求函数的值域；(2)若，求的值.19．已知函数是正整数，.(1)求函数的值域；(2)记，解不等式；(3)当时，求的最大值和最小值.题号123456789答案BACDACCBACD1．B【详解】因为函数，所以，故函数最小正周期为.故选：B.2．A根据平面向量运算法则计算即可判断每个选项的正误.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误.故选：A.3．C利用向量坐标乘法和减法法则得到答案.【详解】.故选：C4．D利用正弦型函数的对称性求解.【详解】令，解得，当时，，所以函数图象的一个对称中心是.故选：D.5．A根据正弦定理求解即可.【详解】由正弦定理，得，则，即，因为，所以，则.故选：A.6．C根据题意，利用三角函数的图象变换，得到，进而求得的初相，得出答案.【详解】由函数的图象向右平移个单位后，得到函数，所以函数的初相等于.故选：C.7．C以为原点，建立平面直角坐标系，求得，结合向量的数量积的坐标运算公式，即可求解.【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴和轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为正方形的边长为4，且点分别是线段的中点，可得，则，所以.故选：C.8．B求出的最小正周期，同一坐标系内画出单位圆和的图象，可以看出共有8个交点.【详解】的最小正周期为，其中，故在单位圆上方，同一坐标系内画出单位圆和的图象，在左右两边会有两个交点，为④和⑤，可以看出共有8个交点.故选：B9．ACD由正弦定理求得，得到，可判定A正确；由，得到或，得到为等腰或直角三角形，可判定B错误；由，结合，得到，判定C正确；由，得到，得到，得到，可判定D正确.【详解】对于A，设的外接圆的半径为，若，由正弦定理得，则，所以，所以A正确；对于B中，因为，可得，且，若，可得或，即或，所以为等腰或直角三角形，所以B错误；对于C中，因为，可得，若，则，可得，即为钝角，所以为钝角三角形，所以C正确；对于D中，因为，可得若，可得，由函数在上为单调递增函数，所以，即，又因为，则，所以为锐角三角形，所以D正确.故选：ACD.10．AC【解析】略11．ACD【解析】略12．(1)，其中；(2)（百米）【详解】（1）在直角三角形中，有，于是，由对称性得，所以，所以灯带长，其中.所以奵带总长度的值域是.（2）最大的圆的直径是矩形的两边中的较小者，，所以.令，所以，解得（舍）或，所以.记锐角满足，于是时，单调递增；时，单调递减，的最大值等于.所以圆形喷泉半径的最大值为（百米）.13．根据给定的函数图象求出函数的解析式，进而求出函数值.【详解】观察函数图象，得，函数的最小正周期，解得，由，得，而，则，则，所以.故答案为：14．（答案不唯一，只要介于0和1即可）分别取是的三等分点，连接，得到四边形为平行四边形，设，得到，根据行四边形法则，要使得在内部，在点在线段上运动，得到，即可得到答案.【详解】如图所示，取点为的三等分点（靠近点），可得，再取点为的三等分点（靠近点），点为的三等分点（靠近点），分别连接，则，所以四边形为平行四边形，由，可得，即，设，可得，由平行四边形法则，当点在上运动时，可得点在直线，要使得在内部（不包含边界），在点在线段上运动（不包含端点），所以，解得，所以其中一个可以是.故答案为：（答案不唯一，只要介于0和1即可）15．根据给定条件，将正切化成正余弦，再利用辅助角公式变换即可.【详解】依题意，，而是钝角，所以.故答案为：16．(1)(2)（1）利用向量的线性运算可求得；（2）利用向量的数量积的运算律求解即可.【详解】（1）由，所以，所以，.（2）因为，所以，所以.17．(1)(2)（1）在中，利用及和差角的正弦公式，可得到，再结合角的范围，即可求出角的值；（2）利用余弦定理及题目条件，即可求出边，进而求出的周长.【详解】（1）在中，因为，所以.因为，所以，即，所以，即，又因为是三角形的内角，所以，所以.（2）由余弦定理可得，因为，，所以，又因为，所以，解得或（舍去），所以，所以的周长为.18．(1)(2)（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求出指定区间上的值域.（2）由（1）的信息，利用同角公式、二倍角公式及和角的正弦求解.【详解】（1）依题意，，由，得，则，所以函数的值域是.（2）由（1）得，而，则，因此，，，所以.19．(1)；(2)；(3)答案见解析.（1）利用二倍角公式化简函数解析式，利用换元法得到二次函数，利用函数单调性求值域；（2）利用三角恒等变换化简不等式，降次解不等式即可；（3）先分析时，利用函数的单调性求最大值和最小值，再分类讨论为奇数和偶数时，利用函数单调性结合倍数关系求最大值和最小值.【详解】（1）由题意，，记，有开口向下，对称轴为，所以，时，单调递增，时，单调递减，故的最大值等于的最小值等于，所以的值域为.（2）由题意，，于是，解得因为，所以则或者，所以，即，所以原不等式的解集为.（3）当时，函数在上单调递增，所以的最大值为，最小值为.当时，函数所以函数的最大，最小值均为1.当时，函数在上单调递增，所以的政大值为，最小值为.当时，函数在上单调递减，所以的最大值为，最小值为.下面讨论正整数的情形：当为奇数时，，