2025年中考数学对标考点：解直角三角形的应用【含答案】

第=page22页，共=sectionpages1818页2025年中考数学对标考点：解直角三角形的应用1.如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC=15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD=36.9°，塔顶A的仰角∠ABD=42.0°，求山高CD(点A，C，D在同一条竖直线上)．

(参考数据：tan36.9°≈0.752.如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=2425，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB3.王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走210米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i=1：3(点E、C、B在同一水平线上)(1)求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；(2)求大树AB的高度(结果保留根号)．4.某校一初三学生在学习了“锐角三角函数”的应用后，来到“孔子圣像”的雕像前，如图，想要用所学知识解决“孔子圣像”雕像AB的高度，他在雕像前C处用自制测角仪测得顶端A的仰角为60°，底端B的俯角为45°；又在同一水平线上的E处用自制测角仪测得顶端A的仰角为30°，已知DE=6m，求雕像AB的高度．(结果保留根号)

5.2024年5月3日17时27分，搭载“嫦娥六号”探测器的“长征五号遥八”运载火箭在海南文昌航天发射场成功点火发射，如图，在发射的过程中，火箭从地面O处竖直向上发射，当火箭到达A处时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；当火箭到达B处时，从位于地面C处的雷达站测得仰角为45°，求火箭从A处到6.如图，大楼AB高16米，远处有一塔CD，某人在楼底B处测得塔顶的仰角为38.5°，爬到楼顶A处测得塔顶的仰角为22°，求塔高CD及大楼与塔之间的距离BD的长.(参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.407.某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB、CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°，点E的俯角也为30°，测得B、E间距离为10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高(结果保留根号)8.如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC.测得BC=221m，∠ACB=45°，∠ABC=58°.根据测得的数据，求AB的长(结果取整数)．参考数据：sin58°≈0.859.科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B处发出，经水面点E折射到池底点A处．已知BE与水平线的夹角α=36.9∘，点B到水面的距离BC=1.20m，点A处水深为1.20m，到池壁的水平距离AD=2.50m点B，C，D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内。记入射角为β，折射角为γ，求sinβsinγ的值(精确到0.1)．参考数据：sin36.9

10.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长(结果取整数)．

(参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈11为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45∘，FD=1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米?(结果保留整数)(

12.某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中．如图所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8.8m，在阳光下某一时刻测得l米的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD=3.2m，已知斜坡CD的坡比i=1：3，求树高AB.(结果保留整数，参考数据：3≈13.“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82．4∘，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80．3∘.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm.参考数据：sin82．4∘≈0.991，cos82．4∘≈0.132，tan8214.(本小题8分)如图，O，R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40m，R点的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°.求无人机从A点到B点的上升高度AB(参考数据：sin24.2°≈0.41，cos24.2°≈0.91，tan24.2°≈0.45，

15.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点(C,O的连线垂直于AB)，求点C到弦AB所在直线的距离．(参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.7516.学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件.零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，∠ABC=90°，∠BAD=53°，AB=10cm，BC=6cm.求零件的截面面积.参考数据：sin53°≈0.80，17.由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70∘方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37∘方向.如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长.(参考数据：sin70∘≈0.94，cos70∘≈

18.某市一湖的湖心岛有一棵百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳.小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离.于是，有一天，他们俩带着测倾器和皮尺来测量这个距离.测量方案如下：如图，首先，小军站在“聚贤亭”的A处，用测倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23∘，此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米;然后，小军在A处蹲下，用测倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24∘，这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1米.请你利用以上所测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长(结果精确到1米).(参考数据：sin23∘≈0.3907，cos23∘≈

19.如图，平台AB高为12米，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45∘，底部点C的俯角为30∘，求楼房CD的高度.(320.如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30∘角，长为20km;BC段与AB、CD段都垂直，长为10km;CD段长为30km，求两高速公路间的距离(答案和解析1.【答案】解：由题意，在Rt△ABD中，tan∠ABD=ADBD，

∴tan42.0°=ADBD≈0.9，

∴AD≈0.9BD，

在Rt△BCD中，tan∠CBD=CDBD，

∴tan36.9°【解析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，注意方程思想与数形结合思想的应用．

根据锐角三角函数的定义得出AD≈0.9BD，CD≈0.75BD，利用AC=AD-2.【答案】解：作EH⊥AC于H，

则四边形EDCH为矩形，

∴EH=CD，

设AC=24x，

在Rt△ADC中，sinα=2425，

∴AD=25x，

由勾股定理得，CD=AD2-AC2=7x，

∴EH=7x，

在Rt△AEH中，∠AEH=45°，【解析】作EH⊥AC于H，设AC=24x，根据正弦的定义求出AD，根据勾股定理求出CD，根据题意列出方程求出x，结合图形计算即可．

本题考查的是解直角三角形的应用3.【答案】解：(1)如图，过点D作DH⊥CE交CE于点H，

由题意知CD=210米，

∵斜坡CF的坡比为i=1：3，

∴DHCH=13，

设DH=x米，CH=3x米，

∵在Rt△CDH中，DH2+CH2=CD2，

∴x2+(3x)2=(210)2，

∴x1=2，x2=-2(舍)

∴DH=2米，CH=6米，

答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；

(2)如图，过点D作DG⊥AB交AB于点G，设BC=y米，

∵∠DHB=∠DGB=∠ABC=90°，

∴四边形DHBG【解析】(1)过点D作DH⊥CE交CE于点H，解Rt△CDH，即可求出DH；

(2过点D作DG⊥AB交AB于点G，设BC=y米，用y表示出AG、DG4.【答案】解：设CD=x m，

∵∠ACD=60°，∠BCD=45°，

∴AD=x⋅tan60=3x(m)，DB=x⋅tan45°=x(m)，

∵∠AED=30°，DE=6m，【解析】设CD=x m，解Rt△ACD与Rt△DCB，用含x的代数式表示出AD、DB，然后根据△ADE是含30度角的直角三角形列出方程，解方程即可求5.【答案】(43-4)km【解析】略6.【答案】解：过点A作AE⊥CD于点E，由题意可知：∠CAE=22°，∠CBD=38.5°，ED=AB=16米

设大楼与塔之间的距离BD的长为x米，则AE=BD=x(不设未知数x也可以)

∵在Rt△BCD中，tan∠CBD=CDBD

∴CD=BD

tan

38.5°≈0.8x

∵在Rt△ACE中，tan∠CAE=CEAE

∴CE=AE

tan

22°≈0.4x

∵CD-CE=DE【解析】过点A作AE⊥CD于点E，由题意可知：∠CAE=22°，∠CBD=38.5°，ED=AB=16米，设大楼与塔之间的距离BD的长为x米，则AE=BD=x，分别在Rt△BCD中和Rt△ACE中，用x表示出CD和CE=AE，利用CD7.【答案】解：作CH⊥AB于H，

则四边形HBDC为矩形，

∴BD=CH，

由题意得，∠ACH=30°，∠CED=30°，

设CD=x米，则AH=(30-x)米，

在Rt△AHC中，HC=AHtan∠ACH=3(30-x)，

则BD=CH=【解析】作CH⊥AB于H，得到BD=CH，设CD=x米，根据正切的定义分别用x表示出HC、ED，根据正切的定义列出方程，解方程即可．

本题考查的是解直角三角形的应用8.【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，

∵∠ACB=45°，

∴AD=CD，

设AB=x，

在Rt△ADB中，AD=AB⋅sin58°≈0.85x，BD=AB⋅cos58°≈0.53x，

又∵BC=221【解析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．

本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数，是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．9.【答案】解：过点E作EH⊥AD于点H，

由题意可知，∠CEB=α=36．9∘，EH=1.20m，

∴CE=BCtan36.9∘≈1.200.75=1.60(m)，AH=AD-CE=2.50【解析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意得出线段长度是解题的关键．

过点E作EH⊥AD于点H，根据题意得出，∠CEB=α=36．9∘，EH=1.20m，从而求出CE，AH，AE的长，分别求出10.【答案】解：如图作PC⊥AB于C．

由题意∠A=64°，∠B=45°，PA=120(海里)，

在Rt△APC中，sinA=PCPA，cosA=ACPA，

∴PC=PA⋅sinA=120⋅sin64°(海里)，

AC=PA⋅cosA=120⋅cos64°(海里)，

在Rt△PCB中，∵∠【解析】本题考查了解直角三角形的应用--方位角问题，结合航海中的实际问题，解直角三角形即可，体现了数学应用于实际生活的思想．作PC⊥AB于C，分别在Rt△11.【答案】解：由题意知，∠AEB=∴∠AEF=在Rt△AEF中，在△ABE和△FDE中，∠ABE=∴△ABE∴AB∴AB=FD·tan答：旗杆AB的高度约为18米．

【解析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，平行线的性质，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．

由题意可确定∠AEF=90∘，从而可推出△12.【答案】解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，如图，

∵斜坡CD的坡比i=1：3，即tan∠DCF=33，

∴∠DCF=30°，

而CD=3.2m，

∴DF=12CD=1.6m，CF=3DF=1.63m，

∵AC=8.8m，

∴DE=AC+CF=8.8+1.6【解析】过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，根据坡比的定义得到tan∠DCF=33，则∠DCF=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=113.【答案】解：在Rt△CAE中，在Rt△DBF中，∴EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7∵四边形CEFH为矩形，∴CH=EF=151即高、低杠间的水平距离CH的长约是151cm．

【解析】【分析】思路分析根据Rt△CAE和函数分别求得AE，BF的长度，得EF=AE+AB+BF，由矩形的性质可知CH=EF，可以求出问题的答案．方法总结解直角三角形的应用问题，一般根据题意抽象出几何图形，结合所给的线段或角，借助边角关系、三角函数的定义解题，若几何图形中无直角三角形，则需要根据条件构造直角三角形，再解直角三角形，求出实际问题的答案．14.【答案】解：依题意，∠ARO=24．2°，∠BRO=36.9°，AR=40m，

在Rt△AOR中，∠ARO=24．2°，

∴AO=AR·sin∠ARO=40sin24．2°，RO=AR·cos∠ARO=40cos24．2°，

在Rt△BOR中，OB=OR·tan∠BRO=40cos24．【解析】在Rt△AOR中，求得AO，OR，在Rt△BOR中，求得BO15.【答案】解：连接CO并延长，与AB交于点D，

∵CD⊥AB，

∴AD=BD=12AB=3(米)，

在Rt△AOD中，∠OAB=41.3°，

∴cos41.3°=ADOA，

即OA=3cos41.3∘=30.75=4(米)，16.【答案】解：∵四边形AEFD为矩形，∠BAD=53°，

∴AD/​/EF，∠E=∠F=90°，

∴∠BA