上海市宝山区上海存志高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析）

上海存志高级中学2024-2025学年第二学期3月月考高一年级数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分）1.已知，则__________.【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系求解.【详解】因为，所以，所以，故答案为：2.若，，则______.（用符号表示）【答案】【解析】【分析】结合反三角函数的定义求结论即可.【详解】因为，，所以.故答案为：.3.已知分别为△三个内角的对边，且，则_________．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理求解即可.【详解】由正弦定理可得，所以，因为，又因为，所以，所以，所以.故答案为：.4.已如函数的部分图象如图所示，则________．【答案】【解析】【分析】找到函数图象上的点代入到解析中求解即可.【详解】因为函数图象经过点，所以即,所以，又因为，所以,故答案为：.5.将函数图象向右平移个单位，得到的图象的解析式为________．【答案】.【解析】【分析】直接利用函数的图象的平移变换求解析式.【详解】函数图象向右平移个单位，所得图象的解析式为.故答案为：.6.月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约，则该月牙泉的面积约为_________（精确到整数位）（参考数据：）【答案】【解析】【分析】结合正弦定理，求得三角形外接圆半径，利用扇形弧长公式和面积公式即可求得结果.【详解】设的外接圆的半径为，则，得，因为月牙内弧所对的圆心角为，所以内弧的弧长，所以弓形的面积为，以为直径的半圆的面积为，所以该月牙泉的面积为．故答案为：7.函数的最小正周期是______．【答案】【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期．【详解】函数的最小正周期是，故答案为．【点睛】本题主要二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.8.若函数在上恰有三个零点，则的可能取值为__________写出一个满足条件的正整数【答案】6（或7，答案不唯一）【解析】【分析】当时，，结合正弦函数图象，所以即可求解；【详解】函数，当时，，又函数在上恰有3个零点，所以，解得，所以的可能取值为或7.故答案为：6或79.已知函数最大值为，最小值为．函数取最大值时对应x的集合为_____【答案】【解析】【分析】根据余弦函数的范围求出，的值，再根据得出取最大值时，进而求出的取值集合.【详解】因为，，，，，，，的最大值为2，此时，则，，故取最大值时对应x的集合为故答案为：.10.已知分别为三个内角的对边，且，则面积的最大值是__________.【答案】##【解析】【分析】利用余弦定理和均值不等式来求面积的最大值.【详解】由题意得：，由余弦定理得：即，当且仅当时取等号故答案为：.11.设函数，若为函数的零点，为函数的图象的对称轴，且在区间上单调，则的最大值为________．【答案】##【解析】【分析】先根据对称轴及零点结合周期关系计算得出，再应用区间单调得出，最后分类计算求解即可.【详解】因为为函数的一个零点，且是函数图象的一条对称轴，所以，所以，所以；因为函数在区间上单调，所以，即，所以，所以，又因为，所以，当时，，又因为，则，所以，又，则，所以函数在区间上不单调，所以舍去；当时，，又因为，则，所以．又，所以函数在区间上单调，所以．故答案为：．12.某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是__________．（精确到0.001）【答案】1.172【解析】【分析】以为原点建立坐标系，求出圆半径，并设出点的坐标，借助辅助角公式及正弦函数的性质求出最小值.【详解】以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，连接，令圆的半径为，则，解得，设，因此，当且仅当时取等号，所以步行道、长度之和的最小值是.故答案为：二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13、14题满分4分，第15、16题满分5分）13.已知角A、B是的内角，则“”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】应用正弦定理结合充要条件判断即可.【详解】因为中，，由正弦定理得，所以；由，由正弦定理得，所以；则“”是“”的充要条件.故选：C.14.已知函数，且的最小值为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由的最小值为可得最小正周期，即可得答案.【详解】因，则的一个对称中心为，一条对称轴为，又最小值为，则相邻对称中心与对称轴距离，即最小正周期为，则最小正周期为，则.故选：B15.已知函数，现将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A.函数满足B.函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为C.函数是偶函数D.函数在上单调递增【答案】C【解析】【分析】先求出的解析式，对A、B、C、D一一验证.对于A：用代入法验证；对于B：根据周期进行判断；对于C：把函数转化为y=cos2x，直接判断即可；对于D：直接求出单增区间进行验证.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数满足，即，则函数的图象关于点对称，又，故A错误；函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为（其中T为函数的最小正周期），故B错误；，所以函数是偶函数，故C正确；，令，所以，令k=0，所以函数在上单调递增，故D错误.故选：C．【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．16.已知，下列结论错误的个数是（）①若，且的最小值为，则；②存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于轴对称；③若在上恰有7个零点，则的取值范围是；④若在上单调递增，则的取值范围是.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由二倍角公式将三角函数化简，然后由三角函数的性质逐项判断即可.【详解】，周期，①由条件知，周期为，故①错误；②函数图象右移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，故对任意整数，故②错误；③由条件，得，故③错误；④由条件，得，又，故④正确.故选：C.三、解答题（本大题共有5题，满分78分，其中第17-19题满分14分，第20、21题满分18分）17.已知角a的终边经过点．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数定义求出正切值；（2）先利用诱导公式化简，并化弦为切，代入，得到答案.【小问1详解】根据三角函数的定义，可得．【小问2详解】由（1）知，，．18.在中，设．（1）求；（2）若，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用边化角与和两角和的正弦公式即可化简求值.（2）利用余弦定理与三角形面积公式即可求得结果.【小问1详解】由正弦定理得，整理得：，即：，又因为，所以,又，所以；【小问2详解】，解得：，故19.已知函数，其中.（1）求在上的最大值；（2）若函数（）为奇函数，求的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据条件，利用二倍角公式及辅助角公式，得到，再利用的性质，即可求解；（2）利用（1）中结果，结合条件得到，再利用，即可求解.【小问1详解】因为，所以，故当时，即时，.【小问2详解】由（1）知，又因为函数为奇函数，则为奇函数，所以，解得，又，令，得到，令，得到，所以或.20.养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，，为直线岸线，千米，千米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点P按线段和修建养殖网箱，已知．（1）求岸线上点A与点B之间直线距离；（2）如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？【答案】（1）千米（2）万元【解析】【分析】（1）由余弦定理计算即可；（2）先由正弦定理计算出相关长度，再计算收益表达式，最后由辅助角公式求最值.【小问1详解】在中，由余弦定理，得即岸线上点与点之间的直线距离为千米．【小问2详解】在中，，则，设两段网箱获得的经济总收益为万元，则因为，所以，所以所以两段网箱获得的经济总收益最高接近万元．21.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点．（1）求函数的解析式；（2）当，方程有解，求实数的取值范围；（3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由题意得，求出周期，再利用周期公式可求出，然后将点代入中可求出的值，从而可求出函数解析；（2）求得，则将问题转化为有解，然后由求出的范围，从而可求出实数的取值范围；（3）设，则将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，然后结合正弦函数图象可求出的范围，从而可求出，进而可求出的取值范围．【小问1详解】设的最小正周期为，由题意得，得周期，所以，得，因为，所以，所以，因为的图象过点，所以，得，因为，所以，故．【小问2详解】，即有解，由，