江苏省苏州市姑苏区第三中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

苏州市第三中学2024——2025学年第二学期高一数学三月采点一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式求解即可.【详解】.故选：D.2.函数y=的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．3.若tanα=2，π<α<，则cos等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由正切先求出余弦值，根据角的范围分析cos的正负，利用cos=计算即可.【详解】因为tanα==2，sin2α+cos2α=1，所以cos2α=.又因为π<α<，所以cosα<<，所以cos===.故选：C【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．（2）也可根据给定角与要求的角之间的关系，利用诱导公式转化求三角函数值.4.密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“”，密位写成“”．1周角等于密位，记作1周角，1直角.如果一个半径为的扇形，它的面积为，则其圆心角用密位制表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据扇形面积公式即可求得圆心角，再根据密位制定义即可求解.【详解】设扇形所对的圆心角为，所对的密位为，则，解得，由题意可得，解得，因此该扇形圆心角用密位制表示为．故选：B.5.已知函数，若把的图像向左平移个单位后为偶函数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据左右平移原则可得解析式，根据奇偶性可得，结合的范围可求得结果.【详解】由题意得：.为偶函数，，解得：.∵，.故选：D.6.设，，，则的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用两角和差正余弦公式、二倍角公式和诱导公式化简可得，，，由正弦函数单调性可得结果.【详解】；；；，.故选：D.7.设且则A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】[方法一]：.故选：C.[方法二]：又.故选：C.[方法三]：由已知得，，去分母得，，所以，又因为，，所以，即，故选：C.考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式．8.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：）记录表时刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深值已知港口的水的深度随时间变化符合函数，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离），该船计划在中午点之后按规定驶入港口，并开始卸货，卸货时，其吃水深度以每小时的速度减小，小时卸完，则其在港口最多能停放（）A.小时 B.小时 C.小时 D.小时【答案】B【解析】【分析】由已知表格中数据求得,根据驶入港口大于等于6,离开时大于等于5，分析即可得答案.【详解】由表格中的数据可知，，则.由T=12，∴，故，当x=3时，f(x)=7，则∴，即，得.∴.由，得，即或∴或.又该船计划在中午12点之后按规定驶入港口，∴k=1时，x=13，即该船应在13点入港并开始卸货，卸货时，其吃水深度以每小时的速度减小，小时卸完，卸完后的吃水深度为，所以该货船需要的安全水深为3+2=5米，由，得，即或∴或.所以可以停留到18点，此时水深为5米，货船需要离港，则其在港口最多能停放5小时.故选：B二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.[多选题]下列函数中，同时满足：①在上是增函数；②为奇函数；③周期为的函数有（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】对各选项中三角函数的单调性、周期性、奇偶性进行验证，即可得到结果.【详解】因为是周期为，且是奇函数，又在上单调递增函数，可知在上是增函数，故选项A正确；因为是偶函数，故B不满足；因为是周期为的周期函数，故C不满足；因为是奇函数，且周期，令，所以，所以函数的递增区间为，所以函数在上是增函数，故D正确；故选：AD．10.的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数的图象关于点中心对称B.函数的图象关于直线对称C.函数在上单调递减D.将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象【答案】ABD【解析】【分析】根据图象求出的解析式，利用代入检验法可判断，根据三角函数的单调性可判断；利用三角函数的图象平移结合诱导公式可判断.【详解】由图知，，所以，解得，过点，所以，又因为，所以.所以，对于：，所以函数的图象关于点中心对称，故正确；对于：，所以函数的图象关于直线对称，故正确；对于：，解得，令，得，令，得，所以在和上单调递减，故错误；对于：的图象向右平移个单位长度，可得，故正确.故选：.11.关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|的叙述正确的是（）A.f(x)是偶函数` B.f(x)在区间单调递增C.f(x)在[－π，π]有4个零点 D.f(x)的最大值为2【答案】AD【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性、零点、最值对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】A.∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故A正确；B.当时，f(x)＝sin|x|＋|sinx|＝2sinx，f(x)在单调递减，故B错误；C.当x∈[0，π]时，令f(x)＝sin|x|＋|sinx|＝2sinx＝0，得x＝0或x＝π，又f(x)在[－π，π]上为偶函数，∴f(x)＝0在[－π，π]上的根为－π，0，π，有3个零点，故C错误；D.∵sin|x|≤1，|sinx|≤1，当或时两等号同时成立，∴f(x)的最大值为2，故D正确．故选：AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.方程在区间上的解为___________．【答案】【解析】【详解】试题分析：化简得：，所以，解得或（舍去），又，所以.【考点】二倍角公式及三角函数求值【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解.本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.13.设是定义在上奇函数且，，则=_________【答案】2【解析】【分析】根据可得函数周期为6，则，结合其他条件即可求解．【详解】由条件知，由得所以是以6为周期的周期函数．所以．故答案为：214.已知函数，若在上的值域为，则的取值范围为_______．若在上单调，且若，则_______．【答案】①.②.2【解析】【分析】先把化简成的形式，结合正弦函数的图象和性质，可求解.【详解】因为.因为，所以.由，所以.若在上单调，且若，则，所以.故答案为：；2四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知、为锐角，，．（1）求值：（2）求的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系以及二倍角的正切公式求解即可；（2）利用二倍角的正切公式以及和角的正切公式求解即可.【小问1详解】因为，，所以，所以，所以；【小问2详解】因为，所以，所以，因为，且，所以；因为，且，所以，所以，所以.16.如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为．（1）求的值；（2）若，求的坐标．（3）分别计算和的值，根据计算结果，请你提出一个猜想，并证明你的猜想．【答案】（1）（2）（3）；猜想：，证明见解析【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义可得，再由诱导公式化简，利用齐次式弦切互化即可代入求解；（2）根据，利用诱导公式即可结合三角函数的定义求解；（3）求出，再猜想，结合同角三角函数关系式证明即可.【小问1详解】因为点在单位圆上且，所以且，解得，即，故，故原式．【小问2详解】由题意，故，，故．【小问3详解】由（1）知，所以．根据计算结果猜想：.证明：，故猜想成立．17.函数.（1）求函数的单调递增区间和最小正周期；（2）请用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；

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（3）求函数在上的最大值和最小值，并指出相应的的值.【答案】（1）；；（2）答案见解析（3）最大值为2，最小值为，时取得最小值，时取得最大值.【解析】【分析】（1）根据正弦函数的图象与性质求出函数的单调递增区间和最小正周期；（2））列表，描点、连线，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；（3）先求出，根据正弦函数性质求出最值.【小问1详解】函数，令；解得；即；所以函数的单调递增区间是；最小正周期.【小问2详解】列表如下：00200画图如下：【小问3详解】时，，所以函数在上取得最大值为2，最小值为，当时取得最小值，时取得最大值.18.已知函数．（1）将函数的图象向上平移个单位长度，向左平移个单位长度，再将平移后图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，求的解析式，若，求的值；（2）若，且，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简，根据三角函数图像变换求出，再利用二倍角公式结合诱导公式求值；（2）利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角和的余弦公式求值.小问1详解】由题意，将函数的图像向上平移个单位长度，得到；向左平移个单位长度，得到；再将平移后图像上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到.所以，.，.【小问2详解】由题意，，则，又.则.19.长泰摩天轮位于长泰天柱山，是欢乐大世界的地标式游乐设施，被誉为“长泰之眼”．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．如图2，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系．（1）游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；（2）坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．小明能有多长时间感受这个过程？（3）小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有13个座舱，求两人距离地面的高度差的最大值．【答案】（1），；（2）6分钟（3）米．【解析】【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周