安徽省太和县昌泰高级中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试卷（含解析）

2024-2025学年度昌泰高级中学高一下学期第一次月考（数学）考试范围：必修二第6章考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.化简等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量的加法运算求解即可.【详解】

.故选:C.2.等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的减法运算可得答案.【详解】，故选：B3.已知是两个不共线的向量，向量，.若，则（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根据向量共线定理结合向量的数乘运算、平面向量基本定理求解.【详解】由题意，，设，即，则，解得.故选：A.4.已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（

）（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据投影向量的概念直接求解即可.【详解】因满足，且，所以，向量在向量上的投影向量为，故选：D.5.已知向量满足，，，则（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根据模长与数量积的关系列出得的方程，解方程组即可.【详解】因为，且，所以，解得.故选：6.在中，角所对的边分别为，且，则等于（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出角A，再利用三角形内角和定理计算作答.【详解】在中，由余弦定理得，而，则，所以.故选：B7.在中，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【详解】因为，所以由正弦定理得，即，则，故，又，所以.故选：B.8.记的内角的对边分别是，已知，，则的面积为（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理及余弦定理得，然后利用余弦定理结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】∵，∴，，可得，∵，，，∴，所以三角形的面积为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由正弦定理边角互化结合正弦函数值域可判断选项正误【详解】对于AB，注意到，又，则，然后由正弦定理边角互化可得，故A错误，B正确；对于CD，由正弦定理边角互化，，故C正确；，题目条件不足，无法判断.故选：BC10.已知平面向量，，且，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据即向量、的坐标，求出，验证C选项，解出，再根据向量数量积的运算验证A选项，向量平行的坐标表示验证B选项，利用坐标求模长验证D选项即可求解.【详解】因为，，所以，所以，所以，因为，所以，整理得：，解得，故C错误；所以，，故A正确；因为，，所以，所以，故B正确；，故D正确.故选：ABD11.设是任意的非零向量，且它们相互不共线，则（）A.B.不与垂直C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据向量数量积的运算律可计算并判断A,B,D，利用三角形三边关系不等式可判断C.【详解】根据向量数量积的分配律可知A正确；对于B，因为，所以与垂直，故B错误；对于C，因为不共线，所以组成三角形三边，则成立，故C正确；根据向量数量积的运算律可知D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点A(2，1)，B(－2，3)，O为坐标原点，且，则点C的坐标为________.【答案】(04)【解析】【分析】由向量的坐标表示计算即可.【详解】设C(x，y)，则.由，则x＝0，y＝4.则.故答案为：(0,4)13.已知的内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量，，若，则角B的大小为_____________.【答案】【解析】【分析】由两向量共线的充要条件可得三角形边与角的关系，再利用余弦定理即可求解.【详解】，由正弦定理可化简得，整理得.【点睛】本题考查向量共线的充要条件，正、余弦定理的应用.熟练掌握并灵活运用正、余弦定理是解题关键.14.如图所示，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里处的乙船，乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往B处营救，则_____．【答案】【解析】【分析】利用余弦定理可得的值，再利用正弦定理即可求解.【详解】解：根据题意，,,,,根据余弦定理,解得,根据正弦定理，，解得.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知平面向量（1）若，求x的值；（2）若，求.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）直接利用向量垂直的坐标表示，列方程求解；（2）先通过向量平行的坐标公式求出，再通过向量的坐标运算求模.【小问1详解】，，解得或；【小问2详解】，，即解得或，当时，，，；当时，，，，或.16.已知，，且与的夹角为.（1）求；（2）求与的夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得；（2）首先根据数量积的运算律求出，再根据夹角公式计算可得.【小问1详解】由已知可得，所以，所以.【小问2详解】因为，所以.17.在中，已知，，.（1）求；（2）若D为BC上一点，且，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.【小问1详解】由余弦定理可得：，则，，.【小问2详解】由三角形面积公式可得，则.18.在中，已知．（1）求证：；（2）若，求A的值．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】详解】试题解析：(1)∵,∴,即.由正弦定理,得,∴.又∵,∴.∴即.(2)∵,∴.∴.∴,即.∴.由(1)得,解得.∵,∴.∴.考点：（1）向量的数量积的定义与正弦定理；（2）已知三角函数值，求角.19.如图，某广场有一块不规则的绿地，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为、，经测量，，，．（1）求的长度；（2）若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低（请说明理由）？较低造价为多少？【答案】（1）（2）小李的设计符合要求，理由见解析；总造价为（元）【解析】【分析】（1）根据余弦定理求解即可.（2）根