高代下期末试题及答案

高代下期末试题及答案姓名：____________________

一、多项选择题（每题2分，共20题）

1.设A是n阶方阵，下列结论正确的是（）

A.若A可逆，则|A|≠0

B.若A可逆，则A的转置矩阵A'也可逆

C.若A不可逆，则A的伴随矩阵A*不可逆

D.若A不可逆，则|A|=0

2.设α，β是向量空间V的两个线性无关的向量，则下列结论正确的是（）

A.α，β必定是V的一组基

B.α，β的任意线性组合也必为V的基

C.V的维数为2

D.α，β的线性组合的维数一定小于等于2

3.设A是n阶方阵，则下列结论正确的是（）

A.若A为实对称矩阵，则A的特征值为实数

B.若A为实对称矩阵，则A的每个特征向量都是单位向量

C.若A的特征值为实数，则A为实对称矩阵

D.若A的特征值为实数，则A为正交矩阵

4.设α，β是向量空间V的两个基，则下列结论正确的是（）

A.α，β必定是V的一组基

B.V的维数为α，β的维数之和

C.α，β的任意线性组合也必为V的基

D.V的维数与α，β的维数无关

5.设A是n阶方阵，则下列结论正确的是（）

A.若A可逆，则A的行列式|A|≠0

B.若A可逆，则A的伴随矩阵A*可逆

C.若A的行列式|A|=0，则A不可逆

D.若A的行列式|A|=0，则A的伴随矩阵A*可逆

6.设A是n阶方阵，则下列结论正确的是（）

A.若A为实对称矩阵，则A的特征值为实数

B.若A为实对称矩阵，则A的每个特征向量都是单位向量

C.若A的特征值为实数，则A为实对称矩阵

D.若A的特征值为实数，则A为正交矩阵

7.设α，β是向量空间V的两个基，则下列结论正确的是（）

A.α，β必定是V的一组基

B.V的维数为α，β的维数之和

C.α，β的任意线性组合也必为V的基

D.V的维数与α，β的维数无关

8.设A是n阶方阵，则下列结论正确的是（）

A.若A可逆，则A的行列式|A|≠0

B.若A可逆，则A的伴随矩阵A*可逆

C.若A的行列式|A|=0，则A不可逆

D.若A的行列式|A|=0，则A的伴随矩阵A*可逆

9.设α，β是向量空间V的两个线性无关的向量，则下列结论正确的是（）

A.α，β必定是V的一组基

B.α，β的任意线性组合也必为V的基

C.V的维数为2

D.α，β的线性组合的维数一定小于等于2

10.设A是n阶方阵，则下列结论正确的是（）

A.若A为实对称矩阵，则A的特征值为实数

B.若A为实对称矩阵，则A的每个特征向量都是单位向量

C.若A的特征值为实数，则A为实对称矩阵

D.若A的特征值为实数，则A为正交矩阵

11.设α，β是向量空间V的两个基，则下列结论正确的是（）

A.α，β必定是V的一组基

B.V的维数为α，β的维数之和

C.α，β的任意线性组合也必为V的基

D.V的维数与α，β的维数无关

12.设A是n阶方阵，则下列结论正确的是（）

A.若A可逆，则A的行列式|A|≠0

B.若A可逆，则A的伴随矩阵A*可逆

C.若A的行列式|A|=0，则A不可逆

D.若A的行列式|A|=0，则A的伴随矩阵A*可逆

13.设α，β是向量空间V的两个线性无关的向量，则下列结论正确的是（）

A.α，β必定是V的一组基

B.α，β的任意线性组合也必为V的基

C.V的维数为2

D.α，β的线性组合的维数一定小于等于2

14.设A是n阶方阵，则下列结论正确的是（）

A.若A为实对称矩阵，则A的特征值为实数

B.若A为实对称矩阵，则A的每个特征向量都是单位向量

C.若A的特征值为实数，则A为实对称矩阵

D.若A的特征值为实数，则A为正交矩阵

15.设α，β是向量空间V的两个基，则下列结论正确的是（）

A.α，β必定是V的一组基

B.V的维数为α，β的维数之和

C.α，β的任意线性组合也必为V的基

D.V的维数与α，β的维数无关

16.设A是n阶方阵，则下列结论正确的是（）

A.若A可逆，则A的行列式|A|≠0

B.若A可逆，则A的伴随矩阵A*可逆

C.若A的行列式|A|=0，则A不可逆

D.若A的行列式|A|=0，则A的伴随矩阵A*可逆

17.设α，β是向量空间V的两个线性无关的向量，则下列结论正确的是（）

A.α，β必定是V的一组基

B.α，β的任意线性组合也必为V的基

C.V的维数为2

D.α，β的线性组合的维数一定小于等于2

18.设A是n阶方阵，则下列结论正确的是（）

A.若A为实对称矩阵，则A的特征值为实数

B.若A为实对称矩阵，则A的每个特征向量都是单位向量

C.若A的特征值为实数，则A为实对称矩阵

D.若A的特征值为实数，则A为正交矩阵

19.设α，β是向量空间V的两个基，则下列结论正确的是（）

A.α，β必定是V的一组基

B.V的维数为α，β的维数之和

C.α，β的任意线性组合也必为V的基

D.V的维数与α，β的维数无关

20.设A是n阶方阵，则下列结论正确的是（）

A.若A可逆，则A的行列式|A|≠0

B.若A可逆，则A的伴随矩阵A*可逆

C.若A的行列式|A|=0，则A不可逆

D.若A的行列式|A|=0，则A的伴随矩阵A*可逆

二、判断题（每题2分，共10题）

1.向量空间V的基中任意两个向量的线性组合仍然是V中的向量。（）

2.若A是n阶方阵，且A的行列式|A|≠0，则A的秩为n。（）

3.两个同维数的实对称矩阵相似。（）

4.若向量α，β线性相关，则α，β中至少有一个向量是零向量。（）

5.向量空间V的维数等于V中任意一个基的向量个数。（）

6.两个线性无关的向量组成的矩阵的秩一定为2。（）

7.一个n阶方阵A的行列式|A|的值等于A的行列式|A^T|的值。（）

8.如果A是n阶方阵，那么A的逆矩阵A^-1满足AA^-1=I。（）

9.两个向量如果线性相关，则它们必须属于同一个向量空间。（）

10.若向量空间V的维数为0，则V只包含零向量。（）

三、简答题（每题5分，共4题）

1.简述矩阵的特征值和特征向量的概念，并说明它们之间的关系。

2.如何判断一个向量是否属于某个向量空间的基？

3.解释矩阵的秩的概念，并说明如何计算一个矩阵的秩。

4.简述矩阵相似的概念，并举例说明相似矩阵的性质。

四、论述题（每题10分，共2题）

1.论述线性变换在向量空间中的应用，包括线性变换的矩阵表示、线性变换的性质以及如何通过线性变换进行向量空间的变换。

2.论述矩阵的秩与矩阵的可逆性之间的关系，包括如何通过矩阵的秩来判断矩阵的可逆性，以及不可逆矩阵的伴随矩阵的性质。

试卷答案如下：

一、多项选择题答案：

1.ABD

2.AC

3.AC

4.AC

5.ABC

6.AC

7.AC

8.AC

9.AC

10.AC

11.AC

12.AC

13.AC

14.AC

15.AC

16.AC

17.AC

18.AC

19.AC

20.AC

二、判断题答案：

1.√

2.√

3.√

4.×

5.√

6.×

7.√

8.√

9.×

10.√

三、简答题答案：

1.矩阵的特征值是矩阵A满足特征方程det(A-λI)=0的λ值，特征向量是满足方程(A-λI)x=0的非零向量。特征值和特征向量之间的关系是，对于每个特征值λ，存在一个对应的特征向量x，使得Ax=λx。

2.一个向量属于某个向量空间的基，如果它是该向量空间中任意其他向量的线性组合的唯一表示。

3.矩阵的秩是矩阵中线性无关的行（或列）的最大数目。计算矩阵的秩可以通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵，然后计算非零行的数目。

4.矩阵相似是指存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，其中A和B是相似矩阵。相似矩阵具有相同的特征值，并且它们的迹和行列式相等。

四、论述题答案：

1.线性变换在向量空间中的应用包括将向量从一种表示形式转换为另一种形式，以及研究向量空间的结构和性质。线性变换的矩阵表