2024高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.2直线平面平行的判定及其性质第2课时直线与平面平面与平面平行的性质讲义含解析新人教A版必修2

PAGEPAGE15第2课时直线与平面、平面与平面平行的性质[核心必知]1．预习教材，问题导入依据以下提纲，预习教材P58～P61，回答下列问题．(1)假如直线和平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线的位置关系是怎样的？若直线a与平面α平行，那么在平面α内与直线a平行的直线有多少条？这些直线的位置关系如何？提示：平行或异面．在平面α内与直线a平行的直线有多数条，这些直线相互平行．(2)如何推断平面和平面平行？假如两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？提示：有两种方法，一是用定义法，须推断两个平面没有公共点；二是用平面和平面平行的判定定理，须推断一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行．假如两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行．2．归纳总结，核心必记(1)直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言(2)平面与平面平行的性质定理文字语言假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言[问题思索](1)若直线a∥平面α，则直线a平行于平面α内的随意一条直线，对吗？提示：错误．若直线a∥平面α，则由线面平行的性质定理可知直线a与平面α内的一组直线平行．(2)若直线a与平面α不平行，则直线a就与平面α内的任始终线都不平行，对吗？提示：不对．若直线a与平面α不平行，则直线a与平面α相交或a⊂α，当a⊂α时，α内有直线与直线a平行．(3)两个平面平行，那么，两个平面内的全部直线都相互平行吗？提示：不肯定．它们可能异面．(4)两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面吗？提示：肯定平行．因为两个平面平行，则两个平面无公共点，则其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点，因而它们平行．[课前反思]通过以上预习，必需驾驭的几个学问点．(1)直线和平面平行的性质定理是什么？怎样应用？；(2)平面和平面平行的性质定理是什么？怎样应用？.将铅笔放到与桌面平行的位置，用矩形硬纸片的面紧贴铅笔，矩形硬纸片的一边紧贴桌面，如图所示，思索下列问题．[思索1]铅笔和硬纸片与桌面的交线是什么位置关系？提示：平行．[思索2]铅笔所在直线与桌面内的直线都平行吗？提示：不肯定．[思索3]怎样相识直线与平面平行的性质定理？名师指津：(1)线面平行的性质定理的条件有三个：①直线a与平面α平行，即a∥α；②平面α、β相交于一条直线，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即a⊂β.三个条件缺一不行．(2)定理的作用：①线面平行⇒线线平行；②画一条直线与已知直线平行．(3)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想．(4)在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线”的错误．讲一讲1．如图所示，已知三棱锥A­BCD被一平面所截，截面为▱EFGH，求证：CD∥平面EFGH.[尝试解答]∵EFGH为平行四边形，∴EF∥GH.又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，∴EF∥平面BCD.而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF⊂平面ACD，∴EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.利用线面平行性质定理解题的步骤练一练1．求证：假如一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．解：已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求证：a∥l.证明：如图，过a作平面γ交α于b.∵a∥α，∴a∥b.过a作平面ε交平面β于c.∵a∥β，∴a∥c，∴b∥c.又b⊄β且c⊂β，∴b∥β.又平面α过b交β于l，∴b∥l.∵a∥b，∴a∥l.视察下图，其中平面α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b.[思索1]怎样理解平面与平面平行的性质定理？名师指津：(1)面面平行的性质定理的条件有三个：①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b.三个条件缺一不行．(2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用来证明线线平行．(3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义．[思索2]两个平面平行有哪些常见结论？名师指津：两个平面平行的一些常见结论：(1)假如两个平面平行，那么在一个平面内的全部直线都与另一个平面平行．(2)假如一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交．(3)夹在两个平行平面间的全部平行线段相等．讲一讲2．如图，已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．[尝试解答]因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以eq\f(PA,AC)＝eq\f(PB,BD)，即eq\f(6,9)＝eq\f(8－BD,BD).所以BD＝eq\f(24,5).应用平面与平面平行性质定理的基本步骤练一练2．如图所示，A1B1C1D1­ABCD是四棱台，求证：B1D1∥BD.证明：依据棱台的定义可知，BB1与DD1相交，所以BD与B1D1共面．又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥BD.讲一讲3．如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E、E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.[思路点拨]欲证直线EE1∥平面FCC1.可将问题转化为证明含有直线EE1的平面ADD1A1与平面FCC1平行，再依据面面平行的性质证明问题．[尝试解答]因为F为AB的中点，所以AB＝2AF.又因为AB＝2CD，所以CD＝AF.因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以AFCD为平行四边形，所以FC∥AD.又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1.因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1.又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.1．空间中各种平行关系相互转化的示意图2．证明直线与直线平行的方法(1)平面几何中证明直线平行的方法，犹如位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同始终线的两条直线相互平行等；(2)公理4；(3)线面平行的性质定理；(4)面面平行的性质定理．3．证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的判定定理；(2)两个平面平行，其中一个平面内的随意一条直线平行于另一个平面．练一练3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.证明：作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，∵MP∥BB1，∴eq\f(CM,MB1)＝eq\f(CP,PB).∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝NB，∴eq\f(CM,MB1)＝eq\f(DN,NB)，∴eq\f(CP,PB)＝eq\f(DN,NB)，∴NP∥CD∥AB.∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.———————————————[课堂归纳·感悟提升]—————————1．本节课的重点是理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理，能利用线面、面面平行的性质定理解决空间平行问题．难点是能综合应用线面、面面平行的判定定理和性质定理进行线线平行、线面平行与面面平行的相互转化．2．本节课要重点驾驭的规律方法(1)线面平行、面面平行的性质定理解题的步骤，见讲1，讲2.(2)空间中证明线线、线面、面面平行的方法，见讲3.3．本节课的易错点是混淆综合利用线线、线面、面面平行的判定与性质定理解题，如讲3.课下实力提升(十一)[学业水平达标练]题组1直线与平面平行的性质定理1．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是()A．平行B．平行或异面C．平行或相交D．异面或相交解析：选B由题意，CD∥α，则平面α内的直线与CD可能平行，也可能异面．2．已知直线m，n和平面α，m∥n，m∥α，过m的平面β与α相交于直线a，则n与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能解析：选A由线面平行的性质知m∥a，而m∥n，所以n∥a.3．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析：选A由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A.4．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求证：CD∥EF.证明：因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD.同理可证AB∥EF，所以CD∥EF.题组2平面与平面平行的性质定理5．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定解析：选A由面面平行的性质定理可知选项A正确．6．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析：选A因为圆台的上、下底面相互平行，所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n.7．如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形态肯定是________．解析：由平行投影的定义，AA1∥BB1，而ABCD所在平面与平面α平行，则AB∥A1B1，则四边形ABB1A1为平行四边形；同理四边形CC1D1D为平行四边形．因为A1B1C1D1，所以ABCD，从而四边形ABCD为平行四边形．答案：平行四边形8．(2024·南阳高一检测)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求证：N为AC的中点．证明：因为平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，所以C1N∥AM，又AC∥A1C1，所以四边形ANC1M为平行四边形，所以AN∥C1M且AN＝C1M，又C1M＝eq\f(1,2)A1C1，A1C1＝AC，所以AN＝eq\f(1,2)AC，所以N为AC的中点．题组3线线、线面、面面平行的综合9．如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面APD是否平行？试证明你的结论．解：(1)证明：因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(2)平行．证明如下：取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.可知四边形AMNE为平行四边形．所以MN∥AE，又因为MN⊄平面APD，AE⊂平面APD，所以MN∥平面APD.10．如图所示，ABC­A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论．解：当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.证明如下：如图，取BB1的中点F，连接EF、FD、DE，∵D、E、F分别为CC1、AB、BB1的中点，∴EF∥AB1，∵AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.∵EF∩FD＝F，∴平面EFD∥平面AB1C1.∵DE⊂平面EFD，∴DE∥平面AB1C1.[实力提升综合练]1．(2024·嘉兴高一检测)若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的全部直线中()A．不肯定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在多数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线解析：选D因为a与B确定一个平面，该平面与β的交线即为与a平行的直线，只有唯一一条．2．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线()A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，在平面α内C．有两条，不肯定都在平面α内D．有多数条，不肯定都在平面α内解析：选B如图所示，∵l∥平面α，P∈α，∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，∴P∈m，∴l∥m且m是唯一的．3．(2024·日照高一检测)过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，假如所得的交线为a、b、c、…，则这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且肯定交于同一点C．都相交但不肯定交于同一点D．平行或都相交于同一点解析：选D因为l⊄α，所以l∥α或l∩α＝A，若l∥α，则由线面平行性质定理可知，l∥a，l∥b，l∥c，…，所以由公理4可知，a∥b∥c…；若l∩α＝A，则A∈a，A∈b，A∈c，…，a∩b∩c∩…＝A，故选D.4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E、F，则四边形D1EBF的形态是()A．矩形B．菱形C．平行四边形D．正方形解析：选C因为过D1B的平面和左右两个侧面分别交于ED1、BF，所以ED1∥BF，同理D1F∥EB，所以四边形D1EBF是平行四边形．5．(2024·福州高一检测)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则MN＝________AC.解析：因为平面MNE∥平面ACB1，平面ABCD∩平面MNE＝MN，平面ABCD∩平面ACB1＝AC，所以MN∥AC.同理可证EM∥AB1，EN∥B1C.因为E是B1B的中点，所以M、N分别是AB、BC的中点，所以MN＝eq\f(1,2)AC.答案：eq\f(1,2)6．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．解析：∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，∴EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，∴点F是CD的中点，∴EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).答案：eq\r(2)7．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点