2024年高考数学一轮复习专题10.11定值问题练习含解析

PAGEPAGE1第十一讲定值问题【套路秘籍】【套路秘籍】千里之行始于足下一．定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所改变，但在改变过程中，某个量的值保持不变即为定值.二、常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.三、定值问题的处理技巧：（1）对于较为困难的问题，可先采纳特别位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般状况的处理供应一个方向.（2）在运算过程中，尽量削减所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）奇妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算【修炼套路】【修炼套路】为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一特别探究，一般证明【例1】过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F作始终线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则+等于（）A．2a B． C．4a D．【答案】C【解析】方法一：特别探究，一般证明令过焦点F直线与x轴垂直，则直线的方程为，所以图图1方法二：干脆推理求值如图所示：与抛物线联立∴，【举一反三】1.已知椭圆C：x2a2+y（1）求椭圆C的标准方程.（2）设直线l与C交于M，N两点，点D在C上，O是坐标原点，若OM+ON=OD，判定四边形【答案】(1)x2【解析】（1）因为椭圆C的离心率e=22，所以a2因为点(2,1)在椭圆C上，所以由a2=2b22a2（2）当直线l的斜率不存在时，直线MN的方程为x=-1或x=1，此时四边形OMDN的面积为6.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是y=kx+m，联立方程组y=kx+mx24+yΔ=8(4k2+2-m2y1+y点O到直线MN的距离是d=m由OM+ON=OD，得因为点D在曲线C上，所以有(-4km1+2k由题意，四边形OMDN为平行四边形，所以四边形OMDN的面积为SOMDN由1+2k2=2m2，得S2．已知椭圆E:x2a2+y2（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆E右焦点F的直线l与椭圆交于两点A、B，在x轴上是否存在点M，使得MA⋅MB为定值？若存在，求出点【答案】（1）x24+y【解析】（Ⅰ）∵抛物线y2=4x的焦点为(1,0)，∴F(1,0)，∴又因为椭圆的离心率为12，即ca=12，∴a=2因此，椭圆的方程为x2（Ⅱ）假设存在点M(x0,0)当直线l的斜率不为零时，可设直线l的方程为x=my+1，联立x24+设A(x1,y1)、MA=(x1∴MA=-9(要使上式为定值，即与m无关，应有6x0-153=-当直线l的斜率为零时，不妨设A(-2,0)、B(2,0)，当点M的坐标为(118,0)综上所述，存在点M(118,0)考向二干脆推理求值【例2】已知椭圆C：x2a2（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A（0，b），B（a，0），点P是椭圆C上位于第三象限的动点，直线AP、BP分别将x轴、y轴于点M、N，求证：|AN|•|BM|为定值．【答案】(1)x24+y【解析】（1）由题意可得：3a2+14b2=1，ca=32，a2=b2+∴椭圆C的方程为：x24+y（2）证明：设P（x0，y0），（x0＜0，y0＜0）A（2，0），B（0，1）．x02+4可得直线BP，AP的方程分别为：y=y0-1x0x+1，y=可得：M（x02-y0，0），∴|AM|•|BN|=（2-x02-y0）（1-2y02-x0【举一反三】1．已知椭圆C1：x2a2+y2b2（1）求椭圆C1（2）设点M是椭圆C1上的随意一点，射线MO与椭圆C2交于点N，过点M的直线l与椭圆C1有且只有一个公共点，直线l与椭圆C2交于A，【答案】（1）x2【解析】（1）因为C1的离心率为63，所以69将点(32,32联立①②，得a2=1，b2=1（2）证明：①当直线l的斜率不存在时，点M为(1,0)或(-1,0由（1）知椭圆C2的方程为x23将x=1代入椭圆C2的方程得y=±所以SΔNAB②当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，将y=kx+m代入椭圆C1得(1+3k由题意得Δ=(6km)2-4(1+3将y=kx+m代入椭圆C2的方程，得(1+3设A(x1,y1)，所以AB=设M(x0,y0)，N(x因为x02+3y02=1所以ON=3MO又因为点O到直线l的距离为d=m1+k2，所以点N到直线所以SΔNAB综上，ΔNAB的面积为定值2+2．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与椭圆C（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l的斜率为k(k≠0)，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，求证：|MF||PQ|【答案】（Ⅰ）x2【解析】（Ⅰ）由：x2a2+y2b则S四边形APBQ=∵e=ca=12，∴a=2c，a2=证明：（Ⅱ）由题意可知F(1,0)，直线l的方程为由x24设Px1,∴x1+x∴y1设PQ的中点为N，则N4则MN的过程为y+3k令y=0，可得Mk24∵|PQ|=1+k2考向三问题转化【例3】．已知定点F1,0，横坐标不小于0的动点在y轴上的射影为H，若TF（1）求动点T的轨迹C的方程；（2）若点P4,4不在直l:y=kx+m线上，并且直线l与曲线C相交于A,B两个不同点.问是否存在常数k使得当m的值改变时，直线PA,PB斜率之和是一个定值.若存在，求出k【答案】（1）y2【解析】（1）设点T在直线x=-1上的射影是R，则由于T的横坐标不小于0，所以TR=TH+1，又即点T到F1,0的距离与T到直线x=-1的距离相等，所以T的轨迹是以F1,0为焦点，以x=-1为准线的抛物线.即C（2）由于A,B在曲线C:y2=4xPA的斜率k1=a-4a又曲线C与直线l相交于A,B两点，所以k≠0，于是联立方程，得y2=4xy=kx+m∴k1+k此式随着m的改变，值也在改变，所以不存在k值满意题意.【举一反三】1.在直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=6y与直线l：y=kx+3交于M，（1）设M，N到y轴的距离分别为d1，d2，证明：d1（2）y轴上是否存在点P，当k改变时，总有∠OPM=∠OPN？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在,P(0,-3)【解析】（1）证明：将y=kx+3代入x2=6y，得设M(x1,y1)，（2）解：存在符合题意的点，证明如下：设P(0,b)为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k从而k1当b=-3时，有k1+k2=0对随意k恒成立，则直线PM的倾斜角与直线PN【运用套路】【运用套路】纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1．已知抛物线C:x2=2pyp>0,直线l经过抛物线(1)求抛物线C的方程；(2)已知P2,1，过(-2,0)的直线m与抛物线C相交于A,B两点，设直线PA与PB的斜率分别为k1和【答案】（1）x2=4y；（2）【解析】（1）由题意得抛物线C:x2=2py∴过焦点与对称轴垂直的直线为y=p∴直线y=p2与抛物线的两个交点为(-p,p∴抛物线C的方程为x2（2）由题意直线m的斜率存在，设其方程为y=k(x+2)，由y=kx+2x2∵直线m与抛物线交于两点，∴Δ=16k2+32k>0，解得k<-2设Ax1,∴k1∴k1⋅k2．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率不为0的直线与椭圆C相交于M，N两个不同点，且OMPN是平行四边形，证明：四边形OMPN的面积为定值.【答案】（1）x2【解析】（1）由题意得ca=12,（2）设直线MN的方程为y=kx+m(k≠0)，Mx1,y由y=kx+mx24∴x1∵OMPN是平行四边形，∴OP∴x0=∴64k2此时Δ=(8km)∴x1+∴|MN|=1+点O到直线MN的距离为d=|m|1+k3．已知抛物线的顶点为原点，关于y轴对称，且过点N(-1,1（1）求抛物线的方程；（2）已知C(0,-2)，若直线y=kx+2与抛物线交于A，B两点，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，求证：【答案】（1）x2【解析】（1）设抛物线为x2=2py(p≠0)，将N(-1,12)代入得p=1（2）设A(x1,y1)，则x1+x2=2k∴k1k2=y4．已知在平面直角坐标系中，坐标原点为O，点A(-3p,0)(p>0)，B、C两点分别在y轴和x轴上运动，并且满意AB⋅BQ=0，BC=1（1）求动点Q的轨迹方程；（2）作曲线M的随意一条切线（不含y轴）l，直线x=-2p与切线l相交于E点，直线x=2p与切线l、x轴分别相交于F点与D点，摸索究DE2-D【答案】（1）y2【解析】（1）设Q(x,y)，B(0,y0)，C(x0∵BC=12CQ，∴(x0,-y0又AB⋅BQ=0，∴y2=4px(p>0)（2）DE求解如下：由题可知切线l的斜率存在，设切线l的方程为y=kx+b，代入y2=4px可得由Δ=0可得kb=p.由题设及直线l方程易得E(-2p,b-2kp)，F(2p,b+2kp)，D(2p,0)，DE又kb=p，∴DE2-D5．已知O为坐标原点，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，直线l：y=kx+t交椭圆于A，B两点，（1）求椭圆方程；（2）摸索究四边形OAMB的面积是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）x2【解析】（1）由ca=12⇒设A(x1,y1)，两式相减整理得34当k=12时，34将y=12x+1与y=-32x联立，解得OM中点坐标为整理得3⋅(-1)2+4⋅322=12（2）设AB中点为(x1,y1把y=kx+t代入椭圆C，整理得(3+4kΔ=48(4k2-t2所以x0=-4kt设M(xM,yM代入椭圆C，得3⋅64y1①当k≠0时，设y=kx+t交x轴于点P，则xPSΔAOB②当k=0时，ΔAOB的面积为32，故ΔAOB面积为定值3因为S四边形OAMB=2S6．已知椭圆C:x2a2+（1）求椭圆C的标准方程；（2）不过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点，若三直线OM、l、ON的斜率与k1，k，k2点成等比数列，求直线l的斜率及【答案】(1)x24【解析】（1）依题意得c=3又a2-b2（2）设直线l的方程为y=kx+mm≠0，由y=kx+mx24∴x1由题设知k2∴kmx1+∵m≠0，∴k2此时(则OM==故直线l的斜率为k=±17．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为y=43x，右焦点F(5,0)，双曲线的实轴为A1A2，P为双曲线上一点（不同于A1，A2），直线A1（1）求双曲线的方程．（2）证明FM⋅【答案】（1）x29-【解析】试题分析：(Ⅰ)先设双曲线方程为:x2a2(Ⅱ)依据题意,易得A1(-3,0)、A2(3,0)、F(5,0),设P(x,y)，试题解析：（1）依题意可设双曲线方程为：x2则ba=4（2）A1(-3,0)、设P(x,y)，M95,y0∵A1、P、M三点共线，∴(x+3)y0-24同理得N95,-6y5(x-3)，FM∵x29-∴FM⋅FN=8.如图，为椭圆的左右焦点，是椭圆的两个顶点，，，若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”.直线与椭圆交于两点，两点的“椭点”分别为，已知以为直径的圆经过坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）摸索讨的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.【答案】（1）；（2）的面积为定值1.【解析】（1）由题可得解得，故椭圆C的标准方程为.（2）设，，则，.由，即.（*）①当直线AB的斜率不存在时，.②当直线AB的斜率存在时，设其直线为，联立得，则，，同理，代入（*），整理得，此时，，∴S=1.综上，的面积为定值1.9．已知椭圆C:x2a（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l经过点N2,1且与椭圆C相交于A,B两点（异于点M），记直线MA的斜率为k1，直线MB的斜率为k2【答案】(1)x2【解析】（1）由椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0（2）若直线l的斜率不存在，即直线的方程为x=2，与椭圆只有一个交点，不符合题意。设直线l的斜率为k，若k=0，直线l与椭圆只有一个交点，不符合题意，故k≠0。所以直线l的方程为y-1=k(x-2)，即y=kx-2k+1，直线l的方程与椭圆的标准方程联立得：x24+y2设A(x1,k1k1+k2=10．已知椭圆C：x2a2+y2（1）求椭圆C的方程；（2）A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.当A,B运动时，满意∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？假如为定值，恳求出此定值；假如不是定值，请说明理由.【答案】（1）x216【解析】Ⅰ）由题意可得ca=124a2+∴椭圆C的方程为x2（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当∠APQ＝∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3＝k（x﹣2），联立y=k(x-2)+3x216+y212=1，得（3+4k2）x2+8k（3﹣2k）同理直线PB的直线方程为y﹣3＝﹣k（x﹣2），可得x2+2=-8k(-2k-3)3+4kkAB∴AB的斜率为定值1211．已知椭圆E:x2a2+（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l:x=my+1m∈R与椭圆交于两点A，B，在x轴上是否存在点M，使得MA⋅MB【答案】(1)x2【解析】（1）∵F1-1.0和F21,0是椭圆E:∴依题意，c=1，又2a==故a=2.由b2+c2=a2（2）假设存在点Mx0,0联立x24设Ax1,，y1MA=x1-==要使上式为定值，即与m无关，应有6解得x0=所以，存在点M118,012．已知椭圆C1：x2a2+y2b2（1）求椭圆C1（2）设点M是椭圆C1上的随意一点