高三年级上册期中数学真题分类汇编（新高考）专题12空间向量与立体几何压轴大题（十二大题型）

专题12空间向量与立体几何压轴大题

|题型

01I线面平行、面面平行的判定定理

1.(山东省济宁市泗水县20222023学年高三上学期期中)如图，在三棱柱/8C—4氏。中，E,F,

G,“分别是/£AC,AiBi,4G的中点.求证：

(1)B,C,H,G四点共面；

(2)平面EFAiH平面BCHG.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)利用中位线定理与空间平行线的传递性，推得G/7//8C,由此得证;

(2)利用线面平行的判定定理证得EF〃平面BCHG,A1E〃平面BCHG,从而利用面面平行的判

定定理即可得证.

【详解】⑴,:G,“分别是小以，血。的中点

GH是△44。的中位线，，GH//B1C1,

又在三棱柱/BC-N/B/C/中，BiCiUBC,：.GH//BC,

：.B,C,H,G四点共面.

(2)YE,尸分别为48,4C的中点，

J.EFHBC,

'：EF<z平面BCHG,3Cu平面BCHG,

；.£F//平面BCHG,

•.•在三棱柱Z8C—48/C/中，4g//48，M=4B,

--AjG//EB,Afi=-4月=—AB=EB,

.••四边形出班G是平行四边形，.•.//£//G8,

AXE(Z平面BCHG,G3u平面BCHG,

〃平面BCHG,

■:AiECEF=E,AiE,所u平面E*

平面EFAiH平面BCHG.

2.(2022秋•江苏南通•高三统考期中)如图，在多面体4BCDEF中，四边形48co是菱形，EFHAC,

EF=1,ZABC=60°,CE_L平面4BCD,CE=C,CD=2,G是的中点.

(1)求证：平面/CG〃平面BEF；

(2)求直线AD与平面ABF所成的角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵手

【分析】(1)连接3。交/C于O,则。是3。的中点连结0G,贝IJOG//8E,从而。G〃平面

再由EF//AC,即可得到ACII平面BEF,由此能证明平面ACGH平面BEF.

(2)连接OF,即可证明OF-L平面羽。，如图以O为坐标原点，分别以。C、OD、OF为x、>、

z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线/。与面尸成的角的正弦值.

【详解】(1)证明：连接8。交ZC于。，则。是班的中点，

连接OG,「G是DE的中点，

BEu平面BEF,OG<z平面BEF,

OGH平面BEF；

又EFIIAC,/Ccz平面AEF,EFu平面BEF,ZC〃平面AEF,

又/C与0G相交于点O,/C,OGu平面/CG,

所以平面/CG〃平面5EF.

(2)解：连接。尸，因为四边形48CD是菱形，所以/CL8D,

又乙43c=60。，CD=2,所以A4BC为等边三角形，所以NC=2,又EF=I,

所以斯=OC且屏V/OC,所以四边形OCE厂为平行四边形，所以OF//CE,

因为CEL平面N3CD,所以。尸，平面N3CD,

如图，以O为坐标原点，分别以OC、OD、OF为X、>、z轴建立空间直角坐标系，

则/(-1,0,0),5(O,-V3,o),山石,0),F(0,0,73),

^45=(1,73,0),ZB=(1,-V3,O),AF=(1,0,43),

设面N8尸的法向量为玩=3仇。)，

ml~ABm•AB=a-y/3b=0

依题意有一，贝卜

mlAFm,AF=a+y[3c=0

令a=#>,b—1,c=—1,则成=(G,1,-1),

AD-m百+由V15

所以cosv4D,而>=______—.

"xJ4+15

所以直线/D与面48月成的角的正弦值是姮.

5

3.（2022秋・江苏徐州•高三统考期中）如图，在四棱锥P—4BCD中,四边形48co是菱形上4=PC,E为

P3的中点.求证：

（1）PD〃平面AEC;

（2）平面4BC_L平面PBD.

【答案】（1）证明见解析

⑵证明见解析

【分析】（1）设NCn8D=。,连接EO,根据中位线可得尸。〃EO,再根据线面平行的判定定理即可证

明；

（2）根据PA=PC可得AC±尸O,根据四边形43co为菱形，可得AC1助，再根据线面垂直的判断定

理可得平面尸&D,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果.

【详解】（1）设NCn8D=。,连接EO,如图所示：

因为O,E分别为助，尸8的中点，所以尸D〃E。，

又因为PDU平面NEC,EOu平面NEC,

所以PA〃平面/EC.

（2）连接尸。，如图所示：

因为尸/=PC,O为/C的中点，所以/C,尸O,

又因为四边形池⑺为菱形，所以/C工5D,

因为P。u平面PBD,BDu平面PBD，且尸OP!8。=O,

所以NC_L平面尸3。,又因为NCu平面/EC,

所以平面AEC±平面PBD.

4.（2022秋•福建福州•高三校联考期中）如图所示，正方形4D斯与梯形/2CZ）所在的平面互相

垂直，已知/B//CD,ADVCD,AB=2AD=-CD=2.

2

⑴求证：BF〃平面CDE；

（2）连接CF,求多面体ABCDEF的体积.

【答案】（1）证明见解析

（2）1

【分析】（1）依题意可得/尸〃。£,ABHCD,即可得到平面N班7/平面CDE,再根据面面平行的性

质得证；

(2)由面面垂直的性质得到CD，平面40£万，平面48cD,再根据匕=/一皿⑺+七一0防

计算可得；

【详解】(1)证明：由正方形4DEF与梯形48cD,可得AF//DE,ABHCD,

因为/尸0平面CDE,且DEu平面CDE,所以4尸〃平面CDE,

又因为平面CDE,且CDu平面CDE,所以平面CDE,

又由/尸cAB=/,且4F,48u平面CDE,所以平面N毋7/平面CDE,

因为BFu平面月，所以5F〃平面CDE.

(2)解：因为平面/DEF1平面48CD,平面40瓦7rl平面48co=40,

且。_L/D,CDu平面4BCD,所以CD_L平面4DE尸，

同理可证DE」平面48c0,

连接CF,故多面体ABCDEF的体积VABCDEF=-FS+VC_DEF

故多面体48co£下的体积为g.

II

题型02补全平行的条件

■।

5.(湖南省衡阳市第一中学20222023学年高三上学期期中数学试题)如图所示，在四棱锥尸-/BCD

中，3c〃平面尸ND,BC=-AD,E是PD的中点.

2

⑴求证：BC//AD；

(2)求证：CE〃平面尸48；

⑶若M是线段CE上一动点，则线段4。上是否存在点N,使MN〃平面尸说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)存在，证明见解析

【分析】(1)根据线面平行的性质定理即可证明；

(2)由中位线、线面平行的性质可得四边形BCE尸为平行四边形，再根据线面平行的判定即可证明;

(3)根据线面、面面平行的性质定理和判断定理即可判断存在性.

【详解】(1)在四棱锥尸-4BCD中，BC//PAD,BCu平面48CD,/Du平面尸

平面4BCDr)平面PND=/O,所以3c7740；

(2)如下图，取尸为/尸中点，连接EF,BF,由E是PD的中点，

11

所以斯〃/。且所=—4D,由（1）知3C〃4D,又BC=—AD,

22

所以EF〃BC且EF=BC,所以四边形BCE尸为平行四边形，故CE〃BF,

而CEu平面尸48,平面尸48,则CE〃平面「48.

（3）取/。中点N,连接CN,EN,

因为£,N分别为PD,4。的中点，所以EN〃PA,

因为ENU平面P/3,尸Nu平面尸N8,所以EN〃平面尸

线段工。存在点N,使得〃平面P48,理由如下：

由（2）知：CE〃平面P48,又CECEN=E,CEu平面CEN,ENu平面CEN,

所以平面CEN〃平面尸/B,又M是CE上的动点，MNu平面CEN,

所以〃平面尸N3,所以线段存在点N,使得〃平面P48.

6.（广东省梅州市大埔县虎山中学20222023学年高三上学期期中）如图，已知多面体E48CD尸的

底面A8CD是边长为2的正方形，底面ABCD,FD//EA,且阳」E4=L

2

（1）记线段3c的中点为K,在平面内过点K作一条直线与平面£CF平行，要求保留作图痕迹,

但不要求证明；

（2）求直线EB与平面ECF所成角的正弦值.

【答案】（1）答案见解析

【分析】（1）根据线面平行性质定理，可得所作直线必平行面9CD与面ECF的交线，因此先作两

平面交线，再在平面/BCD内作交线的平行线.

（2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面ECF的法向量，利用向量夹角公式求直线

EB与平面ECF所成角的正弦值.

【详解】（1）延长所，设其交点为N,连接CN,

则CN为平面48co与平面ECF的交线，

取线段CD的中点连接KM,直线K朋■即为所求.

证明如下：延长所，设其交点为N,连接CN,

则CN为平面4BCD与平面ECF的交线，

因为FDHEA,所以AFDASAEAN,又FD==EA,

2

所以

2

所以=又ND11BC,

所以四边形BCND为平行四边形，所以CN//8O,

取CD的中点M,连接KM,

•；K,M分别为8C,。的中点，

KMHBD,：.KM//CN.

；。^^（=平面斯。，KM.平面EFC,

KMH平面EFC.

（2）以点A为原点，所在的直线为x轴，4。所在的直线为了轴，建立空间直角坐标系，如图.

由已知可得2（0,0,0）,正（0,0,2）,8（2,0,0）,C（2,2,0）,尸（0,2,1）,

所以就=（2,2,-2）,丽=（2,0,-2）丽="2厂1）,

设平面ECF的法向量为n=（x,y,z）,

n-EC=0,x+y-z=0

则—得

n-EF=0.2y—z=0

取V=1得，x=l,z=2,

平面ECF的一个法向量以=（1,1,2）.

设直线£8与平面ECF所成的角为6,

贝|Jsin9=|cos（函万）|=巧,"J厂2B

，

\\/\\EB\-\H\242X466

所以直线£3与平面ECF所成角的正弦值为YL

6

7.（2022秋•黑龙江牡丹江•高三牡丹江市第二高级中学校考期中）如图，在矩形48co中，点E

在边CD上，且满足40=。后=/,。£=字，将VNDE沿4E向上翻折，使点。到点P的位置，构

成四棱锥尸-4BCE.

（1）若点尸在线段/P上，且EF〃平面PBC,试确定点厂的位置；

（2）若尸8=①，求锐二面角尸-EC-/的大小.

10

【答案】（1）点尸为线段/P上靠近点P的三等分点

【分析】（1）在取点G使26=变，根据线面平行的判定定理、面面平行的判定及性质定理即

2

得;

(2)取NE的中点O,建立空间直角坐标系，利用向量法求解锐二面角的大小.

【详解】(1)点尸为线段/P上靠近点尸的三等分点，

证明如下：

如图，

在取点G,连接FG,GE<变得BG=CE=旺,

2

又8G//CE,所以四边形BGEC为平行四边形，所以BC//GE,

又GE<z平面尸BC,3Cu平面PBC,所以GE〃平面P5C.

又£尸〃平面尸3C,EFC\GE=E,ERGEu平面EFG,

所以平面PBCII平面EFG,

又平面E/Gc平面尸4B=FG,平面尸BCc平面尸48=P8,

”=里=旦

所以FG//PB,所以在AP/3中，FP~GB~yj2~，所以尸尸=§/尸,

V

所以点尸为线段AP上靠近点尸的三等分点.

(2)如图，取/E的中点。，以。为原点。石为x轴建立如图所示的空间直角坐标系,

因为AE=2,AB=史,NBAE』,所以，(一1,0,0)*(1,0,0),4,-。］,

24<22；

乂反=：荔，贝《|,一)，

由题意，点尸在过点O且垂直的平面上，故设P(0,7",〃),

则OP=（0,m,n），尸8=［；

m2+n2=1

因为o-叫噜225/6

所以3j+/="‘解得根n=----

I+m-\——5

22110

故尸0,5，~5^、，则。石1=2匹，EC=

55

77

设平面尸EC的法向量为加=($,%,zj,

12面

PE•丽xz二0

=i~~yi——i—,~\1o

则＜_不妨取占=1,则机=1,1,鼻

11

EC-m=-M----%=0n

2121

―►―I

设平面EC4的一个法向量为〃=(0,0,1),则3〈外"〉=丽=5，

记锐二面角尸-EC-4的平面角为6,所以cos8=|cos〈玩,砌=；，

又0<0<],贝1|6=三，所以锐二面角P-EC-/的大小为:.

8.(2022秋•辽宁•高三校联考期中)如图：在正方体488-4片。]。中，M为的中点.

⑴求证：BD、H平面AMC；

(2)在线段CG上是否存在一点N,使得平面ZMC〃平面8沟，说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，理由见解析

【分析】(1)连接8。交/C于。，连接MO,通过证明8〃可证明结论；

(2)CG上的中点N即满足平面AMCH平面BNDX,通过证明。声〃平面AMC结合8,〃平面AMC

可证明结论.

【详解】(1)连接3。交/C于O,连接MO.

；4BCD-4BCDi为正方体,底面48co为正方形，二。为2。的中点.

•••”为。2的中点，在△D82中，。河是△08,的中位线，所以OM"BD、.

又。Mu平面4WC,平面平面4WC；

(2)CG上的中点N即满足平面〃平面的VR,

为CQ的中点，”为。，的中点，，。丫〃皿，且CN=MA，

二四边形CN^M为平行四边形，.♦.2N〃MC,

,?MCu平面AMC,D、N<z平面AMC,

：.D,NH平面AMC■,

由(1)知3。〃平面AMC,

又：BDQDN=D”

平面AMCII平面BND1.

线面平行、面面平行的性质定理

9.（福建省福州华侨中学等多校2023届高三上学期期中）已知四棱锥尸-N3CD,底面为菱形

TT

ABCD,PD.L^ABCDPD=AD=CD=2,NBAD=—,E为PC上一点、.

93

⑴平面尸4。c平面PBC=/,证明：BC//1；

（2）当二面角E-BD-C的余弦值为?时，试确定点E的位置.

【答案】（1）证明见解析

（2）点£为棱尸C中点

【分析】（1）由〃/。，利用线面平行的判定定理得到BC〃平面尸4D,再利用线面平行的性质

定理证明；

（2）取中点尸，以。为坐标原点，。厂尸所在直线分别为x轴、歹轴、z轴建立如图所示

空间直角坐标系.，设E（0,y,2-田（04yW2）,分别求得平面的一个法向量点=（a,ac）和平面

3a1的一个法向量为1=（0,0,1）,利用夹角公式求解.

【详解】（1）证明：因为8C〃/平面平面尸

所以5c〃平面HLD,

又因为平面尸40c平面尸8C=/,所以8C〃/.

（2）取48中点下，则。FLOC,

以。为坐标原点，。己DC,OP所在直线分别为x轴、了轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.

所以0（0,0,0）,P（0,0,2）,C（0,2,0）,B（百,1,0）,

设E（0/,2-y）（0"V2）,

所以丽=（0）,2-y）,丽=（后1,0）,

设平面BDE的法向量％仇c）,则有

DEn[=Q即by+c（2-y）=0,

DB-=0-\/3a+6=0,

令。=i,贝I4=i,.

I2-y）

平面8co的一个法向量为元=（0,0,1）,

所以kosR，E

解得y=i,

即当点E为棱尸C中点时满足条件.

10.（山东省济南市章丘区第四中学20222023学年高三上学期期中）已知四棱锥尸-4BCD,底面

7T

48co为菱形，尸。，平面48CD,PD=AD=CD=2,ABAD=-,£为尸。上一点.

（1）平面尸4。c平面P5C=/,证明：BC///.

JT

（2）当直线3E与平面3co的夹角为：时，求三棱锥尸-ADE的体积.

6

【答案】（1）证明见解析

（2）^

【分析】（1）由线面平行的判定定理和性质定理证明即可；

（2）过点£作CD的垂线，垂足为M,所以EW_L平面3a）,由题意可求得直线BE与平面5co的

jr

夹角为NEBM=7,可得点E为尸C中点，由等体积法求解即可.

【详解】（1）因为BC〃/D,2CcZ平面平面尸

所以3c〃平面尸4D,BCu平面「5C,

又因为平面尸40c平面尸BC=/,所以3C///.

（2）过点E作CD的垂线，垂足为则尸D//EM,

因为PD_L平面/BCD,所以EM_L平面BCD,

若点E为尸C中点，则点M为CD的中点，

止匕时EM=-PD=l,BM±CD,BM=拒,

2

1T

所以直线BE与平面BCD的夹角为NEBM=-,

6

即点£为PC中点时满足题意，

因为尸。，平面N3CD,所以平面N3CD,所以尸D_L8M,

又因为即/_LCD,PDcCD=D,尸。,。。＜=平面尸。，

所以8M1平面PCD,所以点B到平面PCD的距离为3=V3,

故Vp-BDE=^B-PDE=-X1X^3=.

11.(河北省石家庄市部分学校2023届高三上学期期中)如图，在四棱锥尸-N3C。中，平面

ABCD,且四边形48co是正方形，E,F,G分别是棱BC,AD,P4的中点.

⑴求证：PE〃平面BFG；

(2)若NB=2,求点C到平面3FG的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)—

5

【分析】(1)连接DE,推导四边形BEDF是平行四边形，从而得到DE//BF,再得到FG//PD,从

而PD〃平面AFG,平面3PG,进而得到平面尸〃平面AFG,因此得证尸£〃平面瓦7G；

(2)由尸。_L平面4BCD,FG//PD,可得尸G_L平面/BCD,作CM_LAF,垂足为则/G_LCM,

进而得到CM平面BFG,即CM的长是点C到平面BFG的距离，再利用等面积法求解即可.

【详解】(1)连接DE,

•••48CD是正方形，E,尸分别是棱3C,的中点，

:.DF=BE,DFHBE,

：.四边形3瓦加是平行四边形，DE//BF,

；G是以的中点，/.FG//PD,

'：尸。DE<Z平面BFG,FG,5尸u平面BFG,

PDH平面BFG,DEH平面BFG,

,:PD\DE=D,直线尸。,DE在平面尸内，

平面PDEH平面BFG,PEu平面PDE,

:.PE〃平面BFG.

(2)；PZ)_L平面4BCD,FG//PD,

.•.尸G_L平面4BCD,

过C在平面4BCD内，作CA/_LBF,垂足为则户G_LCM,

•:FG1BF=F,又直线FG,2尸在平面8FG内，

CM_L平面BFG,

CM的长是点C到平面BFG的距离，

：ABC/中，FB=CF=旧,

2x24亚

/.由等面积可得CM=

5

.•.点C到平面BFG的距离为汇一.

5

12.（安徽省合肥市肥东县综合高中20222023学年高三上学期11月期中）如图，在四棱柱

48CD—48cB中，底面四⑺为梯形，ADHBC,平面/QCE与交于点£.求证：ECHA.D.

【答案】证明见解析

【分析】根据四棱柱性质可证明平面3CE〃平面44。，再利用面面平行的性质定理即可证明

EC//A.D.

【详解】由四棱柱43CD-44cl2可知，BEHAA,,皿U平面44。，平面幺4。，

所以3E〃平面44。；

又ADUBC,40u平面44。，3CU平面44。，

所以BC〃平面幺4。；

又BCC\BE=B,BEu平面3CE,8Cu平面8CE；

所以平面5c£7/平面AAXD,

又平面AXDCEc平面BCE=EC,平面AQCEc平面AA,D=AtD,

所以EC//4。

|题型04|

线面垂直、面面垂直的判定定理

13.（2022秋•江苏南通•高三统考期中）如图所示，直三棱柱48C-44G中，AB1AC,

AB=AC=AA.=?>,AD=-AC,CE=-CC..

33

（1）求证：Afi1.BE-

（2）求直线4。与平面BDE所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

2K/H5

230

【分析】（1）根据题意证得平面/CG4,得到进而证得4。，平面/BE,利用你

线面垂直的性质，即可证得4QL3E；

(2)以A为坐标原点，建立的空间直角坐标系，求得平面80E的一个法向量为3=(1,3,-6)和

4。=(0,1,-3),结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】(1)证明：因为三棱柱4G为直三棱柱，且=CE=；CG，

AAAT

在直角与直角△ZCE中，可得旦=2,

ADCE

所以"〔ADs"CE,所以ZAA.D=ZCAE,

所以ZAAlD+=ZCAE+“DA=90。，所以AXD1AE.

因为44]J_底面46C,/8u底面/8C,所以74,48,

又ABJ.4C,AA^AC^A,且4<,/Cu平面NCCH,所以48/平面/CC/,

又因为4Du平面/CG4,所以

因为48p|/E=/,且48,NEu平面ABE,所以平面/BE,

又因为BEu平面ABE,所以4D_LBE.

(2)解：以A为坐标原点，以48,AC,44]分别为x,y,z轴建立的空间直角坐标系，

如图所示，则4(0,0,3),5(3,0,0),D(0,l,0),£(0,3,1),

则丽=(-3,1,0),丽=(-3,3,1),40=(0,1,-3),

设平面的法向量为力=(x,y,z),贝!1{_—.,

n-BE=—3x+3y+z=0

令x=l,可得y=3,z=-6,所以平面ADE的一个法向量为3=(1,3,-6).

设直线4。与平面BDE所成角的大小为6,

n.AD(1,3,-6)《0,1,-3)_21VHJ

则sin0=X

746x710230'

故直线AXD与平面BDE所成角的正弦值为电叵.

230

14.(2022秋•安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校考期中)如图，在四棱柱/BCD-44CQ中,

底面ABCD,底面N3CD满足/D〃3C,S.AB=AD=AAl=2,BD=DC=2®.

(1)求证：481平面ND。/；

(2)求四棱锥C-BDDXBX的体积.

【答案】(1)证明见解析

16

⑵了

【分析】(1)根据线面垂直的性质可得利用勾股定理逆定理可得4。，再根据线面

垂直的判定定理即可证明1平面ADDXAX；

(2)根据题目中各边的长度由勾股定理可得再由直棱柱性质可得DC为四棱锥

的高，根据椎体体积公式求出结果即可.

【详解】(1)由44]，底面/BCD,/Bu平面/BCD,

所以,

又因为A8=AD=2,BD=2V2.

满足/笈+/h=m2,可得N3_L4。，

又AAXnAD=A,AAVADcz平面ADDXAX,

所以451平面

(2)由(1)中AB_L/O,且/Z)〃8C,BD=DC=2V2,可得BC=4,

因止匕=8。2,即B£)_LDC,

又44,平面4BCD,AAJ/DD,,

可得平面/BCD,DCu平面/BCD,

即DDX1DC,

又DDJBD=D,DR,BDu平面BDRB],

所以。C，平面BDD他,即DC为四棱锥C-BDDX用的高，

即四棱锥C-BDDXBX的体积.Vc_BDDiBi=j5S1.J8r)-DC=|x2x2V2x2V2=y.

15.(福建省泉州市晋江二中、鹏峰中学、广海中学、泉港五中2023届高三上学期10月期中)在如

图所示的几何体中，DEHAC,NCL平面BCD,AC=2DE=4,BC=2,DC=\,ZBCD=60°.

⑴证明：平面/CDE；

(2)过点。作一平行于平面/BE的截面，画出该截面(不用说明理由)，并求夹在该截面与平面/BE之

间的几何体的体积.

【答案】（1）证明见解析

（2）截面为平面。口，体积为地

6

【分析】（1）由余弦定理和勾股定理可得3。LCD,结合线面垂直的性质可得8DL/C,由线面垂

直的判定可得结论；

（2）取NC的中点尸，8C的中点由面面平行的判定可知所求截面为平面的f；利用棱锥体

积公式可得所求体积为V=VB_ACDE-VF_CDM.

【详解】（1）在△BCD中，AC=2DE=4,BC=2,DC=1,ZBCD=60°,

由余弦定理得：5£>2=4+l-4cos600=3,BC2=BD2+DC2,：.BD±CD,

又4C_L平面5c»,5。匚平面30）,；.&0_1/。，

■：ACS}CD^C,/C,CZ）u平面/CDE,BD1ACDE.

（2）取ZC的中点F,8C的中点M,连接。b,,则平面DW即为所求.

理由如下：

DEIIAC,DE=4F,.,.四边形NED尸为平行四边形，DFHAE,

•：DF（Z平面ABE,AEU平面ABE,DFH平面ABE,

同理可得：FMH5F®ABE,

•：DFnFM=F,。F,Wu平面£>K1/，，平面DEW〃平面/BE；

由（1）可知：BDl^^ACDE,且尸C_L平面COM,

V

B-ACDE=-x-x（2+4）xlxV3=V3,VF_CDM=^x^xlxlxsin600x2=堂,

Jz326

夹在该截面与平面ABE之间的几何体的体积V=VB_ACDE-VF_CDM=—.

6

16.（2022秋•重庆沙坪坝•高三重庆一中期中考试）如图，正方形/BCD中，点£,/分别为N8,

8c的中点.将ABEF,ADCF分别沿EF,折起，使/,B,C三点重合于点P.

⑴求证：/<0_1平面尸斯；

（2）若48=6,且K为尸D的中点，求三棱锥K-EFD的体积.

【答案】（1）证明见解析

2

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可得证；

（2）由题意求得S&EF，由（1）知尸平面PER求得七一^^二九根据K为尸。的中点，即可

求解.

【详解】（1）在正方形4BCD中，AD1AE,CD1CF,

折叠后即有PD_LP£,PD1PF,

又因为PECPF=P,尸平面尸£尸，所以PD_L平面尸防；

10

（2）由题意知PE=PP=3,PE1PF,故S^PEF.XPEXPF.,

由（1）知尸4_L平面PE产，

119

故%>-EFD=—D-PEF=马乂S^PEFX尸。=§*/*6=9;

因为K为PD的中点，

119

所以三棱锥K一EFD的体积VK_EFD=-VP_EFD=-x9=-.

17.（湖南省长沙市长郡中学2023届高三上学期期中）在三棱台/3C-DEF中，G为/C中点，

AC=2DF,AB1BC,BC1CF.

（1）求证：3c工平面DEG；

jr

（2）若4B=3C=2,CF1AB,平面EFG与平面/CEO所成二面角大小为§,求三棱锥E-。尸G的

体积.

【答案】（1）证明见解析

（2）?

【分析】（1）易证得四边形GCFD为平行四边形，由此可得5CLDG,结合8CLDE,由线面垂

直的判定可得结论；

（2）根据垂直关系，以G为坐标原点可建立空间直角坐标系，设。G=CF=M（%>0）,由二面角

的向量求法可构造方程求得m,利用体积桥VE_DFG=%可求得结果.

【详解】（1）在三棱台43C-DE尸中，G为NC中点，则4C=2GC,

又4C=2DF,GC=DF,

■：ACIIDF,四边形GCFD为平行四边形，.1OG//。尸，

又BCLCF,BCLDG,

■：DEI/AB,ABIBC,BCVDE,

■.■DEP\DG=D,OE,DGu平面。EG,BC_L平面DEG.

（2）---CFAB,DG//CF,DGVAB,

又DGJLBC,ABcBC=B,u平面/3C,DG_L平面43C,

连接8G,•:AB=BC=2,ABIBC,G为ZC中点，GBVAC■.

以｛行，品,&｝为正交基底，可建立如图所示空间直角坐标系G-平,

则G（0,0,0）,可行,0,0）,C（0,V2,0）,

设OG=CF=w（机>0）,则。（0,0,机），F（0,V2,w）,

:.GE=GD+DE=GD+（0,0/M>^（^,^,0）=y-,j,而=（0,血,切），

设平面EFG的一个法向量为〃=（x,y,z）,

-7^-也I◎,_n

,n,（jh=--xH------y+1TIZ=0,—,—/r—\

则T22,令z=-6，解z得：y=m,x=m,「.〃=（加，加,—J2）；

n-GF=V2y+mz=0

又平面4C7*的一个法向量加=（1,0,0）,

I/——\I|加,“Im1

.」cos（加,"）|=曰|_|=—=彳,解得：m=l,即。G=1,

1''\m\-\n\v2w+22

DGmABC,平面NBC〃平面。E尸，DG_L平面。E尸，

VE-DFG=VG-DEF=^S^DEF-DG=-xlxlxl=-.

18.（2022秋•山东青岛•高三山东省青岛第一中学校考期中）如图，直四棱柱4BCD-4用G。的

底面N3CD为菱形，S.ZABC=60°,44=4B=2,E,尸分别为3C,4。的中点.

(1)证明：平面EFC、±平面A1AD.

(2)求平面EFC.和平面AXBXCD的夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

⑵k

【分析】(1)连接4G，根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，面面垂直的判定推理作答.

(2)连接NE,以n为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面夹角余弦作答.

【详解】(1)在直四棱柱4BCD-48cl。中，底面48co为菱形，ZABC=60°,连接4G，如图,

显然A4G2为正三角形，由尸为4。的中点，得G尸，42,而平面

c^u平面44G2，则a尸又4/n42=4,4442u平面42。，

因此£尸，平面z/。，又。bu平面EFQ,

所以平面EFG，平面4"。.

（2）连接ZE,/C,由（1）知“8C是正三角形，£为8c的中点，贝1JNE_L8C,而/D//BC,即有

AE1AD,

又平面48cD,于是/£,40,"4两两垂直，

以工为原点，分别以所在直线为x,修z轴建立空间直角坐标系，如图,

由=48=2,得40,0,0)西(百,0,0)，4(0,0,2),(7(百,1,0),。(0,2,0)6(百,1,2),歹(0,1,2),

的1=(0,1,2),而=(—6,1,2),4C=(V3,l,-2),4D=(0,2,-2),

一[n-EC.=y}+2z,=0一

设平面及G的法向量为〃=区,如zj,贝lj_J八厂1,令4=1,得"=(0,-2,1),

n-EF=-y/3xl+yl+2z1=0

—m-AC=+y9-2z?=0

设平面4As的法向量为加=(9,%,Z2),则二222,令工2=1，得

m^D=2y2-2z2=0

m=(1,V3,V3),

n-m_0xl-2xV3+lxV3V105

因此cos〈〃,M

I«11^1府+(-2『+12xJ12+(V3)2+(V3)235'

所以平面EFQ和平面AgCD的夹角的余弦值为喈.

[题型05]补全垂直的条件

19.（2022秋•河北沧州•高三任丘市第一中学校考期中）如图，在五面体/8CDE中，/Z5_L平面

ABC,ADHBE,AD=2BE,AB=BC.

（1）问：在线段CD上是否存在点尸，使得PEI平面/CD?若存在，请指出点尸的位置，并证明；若

不存在，请说明理由.

（2）若48=6，4c=2,AD=2,求平面ECD与平面ABC夹角的余弦值.

【答案】（1）存在，即当P为线段CD的中点时，尸£，平面4CD；证明见解析

⑵手

2

【分析】（1）先判断出结论；证明时分别取的中点为。，尸，连接OBFEQP,根据线面垂直

的判定定理即可证明；

(2)延长交于一点凡连接CF,说明CF为平面ECD与平面N8C的交线，进而证明//CD

即为平面ECO与平面/2C夹角，解直角三角形，即可求得答案.

【详解】(1)当尸为线段CD的中点时，PEL平面NCD；

证明：分别取/。，。。的中点为O,P,连接O3FEQP,

则。尸〃=而AD//BE,AD=2BE,

故。P〃3瓦。尸=BE,即四边形OBEP为平行四边形，

则BO//PE;

因为4D_L平面/8C,。8匚平面48。,故/。_1_。8,则1PE；

由/B=3C,。为/C中点，故08L/C,则PEL/C,

又4(7门/。=4/仁/。＜=平面/8,

故PE±平面ZCD；

(2)在平面/BED中延长48,交于一点尸，连接C尸，

则CF为平面ECD与平面ABC的交线，

由于AD=2BE,故8为肝的中点，

而。为/C的中点，故OB〃CF,

由(1)知03〃尸E,PE1平面/CD,故08_L平面/CD,

所以CF_L平面/CO,NC,CDu平面/CD,

故C尸_L/C,C产_LCD,/Cu平面48C,CDu平面EC。，

且4D_L平面/2C,/Cu平面4BC,故4D_L/C,则//CD为锐角，

故ZACD即为平面ECD与平面ABC夹角,

在Rt^/CD中，AC=2,AD=2,所以CD=2万，

贝lJcos//CD=^=^,

CD2

即平面ECD与平面ABC夹角的余弦值为变.

2

20.(江苏省盐城市四校2023届高三上学期期中)如图，在直三棱柱/8C-4吕G中，NBAC=90。,

AB=AC^\.

(1)试在平面48c内确定一点〃，使得AHL平面48C,并写出证明过程；

(2)若平面43c与底面4片G所成的锐二面角为60。，求平面48c与平面44CC所成锐二面角的余

弦值.

【答案】(1)答案见解析；

⑵半.

4

【分析】(1)根据线面垂直和面面垂直的判定定理，结合面面垂直的性质定理进行证明即可;

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】(1)取棱8c的中点。，连接4。，AD.在等腰直角4/台。中，AD1BC,

又BC工=4,2加1u平面刈>4，故5cl平面4D4.

又SCu平面48C,故平面43C，平面这两个平面的交线为4。.

在中，作则有/〃，平面43C；

(2)如图，建立空间直角坐标系4-肛Z,设44]=。(。＞0)，

则8(1,0,a),C(0,l,a),A8=(l,0,a),麻=(0,1,a).

设平面AXBC的法向量应=(x,y,z),

m-A,B=0,[x+az=0,一,、

则,即:可取而=.

而-4C=0,〔〉+az=0,

可取平面4