2025年高考数学一轮复习讲练测 重难点突破08 利用导数解决一类整数问题（四大题型）（原卷版）

重难点突破08利用导数解决一类整数问题目录TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧与总结 202题型归纳与总结 2题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离 2题型二：整数解问题之直接限制法 3题型三：整数解问题之虚设零点 4题型四：整数解问题之必要性探路 503过关测试 7

利用导数解决一类整数问题常见技巧有：1、分离参数、分离函数、半分离2、直接限制法3、虚设零点4、必要性探路题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离【典例1-1】（2024·高三·江西·期末）若集合中仅有2个整数，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例1-2】若函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式1-1】（2024·高三·福建泉州·期中）关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式1-2】已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1-3】若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式1-4】（多选题）（2024·高三·广东揭阳·期末）已知函数，且存在唯一的整数，使得，则实数a的可能取值为（

）A． B． C． D．【变式1-5】（2024·河南·模拟预测）已知函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是.题型二：整数解问题之直接限制法【典例2-1】（2024·全国·模拟预测）若对于，，使得不等式恒成立，则整数x的最大值为．【典例2-2】（2024·河南南阳·一模）已知函数在区间上有最小值，则整数的一个取值可以是．【变式2-1】（2024·高三·重庆·期中）若关于x的不等式的解集中恰有三个整数解，则整数a的取值是（

）(参考数据:ln2≈0.6931，ln3≈1.0986)A．4 B．5 C．6 D．7【变式2-2】（2024·海南海口·模拟预测）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为．【变式2-3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的图象在处的切线过原点．(1)求的值；(2)设，若对总，使成立，求整数的最大值．【变式2-4】已知函数.(1)当时，证明：；(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.【变式2-5】（2024·江西·模拟预测）已知函数.(1)求函数在区间上的最大值；(2)若为整数，且关于的不等式恒成立，求整数的最小值.题型三：整数解问题之虚设零点【典例3-1】已知函数．(1)若，求在处的切线方程；(2)当时，恒成立，求整数a的最大值．【典例3-2】（2024·高三·陕西西安·期末）已知函数，对任意的，关于的方程有两个不同实根，则整数的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）当时，恒成立，则整数的最大值为（

）A．3 B．2 C．1 D．0【变式3-2】（2024·浙江·三模）已知函数，，对任意，存在使得不等式成立，则满足条件的的最大整数为.【变式3-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值．题型四：整数解问题之必要性探路【典例4-1】（2024·安徽合肥·三模）对于定义在上的函数，若存在，使得，则称为的一个不动点．设函数，已知为函数的不动点．(1)求实数的取值范围；(2)若，且对任意满足条件的成立，求整数的最大值．（参考数据：，，，，）【典例4-2】已知函数，对，不等式恒成立，则整数的最大值是.【变式4-1】（2024·浙江台州·一模）设(1)求证：；(2)若恒成立，求整数的最大值．（参考数据，）【变式4-2】已知，函数，．(1)若，求证：在上是增函数；(2)若存在，使得对于任意的成立，求最大的整数的值．【变式4-3】已知函数.(1)当时，求的最小值；(2)若在上恒成立，求整数a的最小值.【变式4-4】，对，，求整数的最小值．1．已知函数，若有且只有两个整数使得，且，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．2．（2024·全国·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的最小整数为．3．（2024·云南·三模）设函数，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是.4．（2024·广东深圳·模拟预测）若关于x的不等式对任意的恒成立，则整数k的最大值为.5．（2024·甘肃·三模）若关于的不等式对任意的恒成立，则整数的最大值为.6．（2024·江苏常州·模拟预测）已知函数，若的解集中恰有一个整数，则m的取值范围为．7．（2024·高三·上海宝山·期中）若不等式的解集中仅有2个整数，则实数k的取值范围是．8．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数．(1)若，求证：；(2)当时，对任意，都有，求整数的最大值．9．（2024·贵州·一模）已知．(1)讨论的单调性；(2)若对恒成立，求整数a的最小值．10．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上的最大值在区间内，求整数m的值．11．（2024·广西桂林·模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，且存在整数使得恒成立，求整数的最大值.（参考数据：，）12．设函数(1)求的单调区间(2)若，k为整数，且当时，求k的最大值13．已知，R．(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的，恒成立，求整数a的最小值．14．已知函数.(1)若函数在定义域内单调递增，求a的取值范围；(2)若，在上恒成立，求整数k的最大值.（参考数据：，）15．（2024·陕西汉中·二模）已知函数，曲线在点处切线方程为.(1)求实数a的值及函数的单调区间；(2)若时，，求整数m的最大值.16．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数.(1)判断函数的单调性；(2)若对于任意的，都有，求整数的最大值.17．已知函数