圆锥曲线-椭圆（教师版）

圆锥曲线椭圆知识点一：椭圆的定义知识点一：椭圆的定义平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在．焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程统一方程参数方程第一定义到两定点的距离之和等于常数2，即（）题型一、椭圆的定义【典例11】已知F1、F2是定点，|F1F2|＝6．若动点M满足|MF1|+|MF2|＝6，则动点M的轨迹是（）A．直线 B．线段 C．圆 D．椭圆【解答】对选项进行分析：在平面内，若动点M到F1、F2两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点F1、F2的距离，则动点M的轨迹是以F1，F2为端点的线段．故选：B．【典例12】如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）A．圆 B．椭圆 C．一条直线 D．两条平行直线【解答】解：本题其实就是一个平面斜截一个圆柱侧面的问题，因为三角形面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P在以AB为轴线的圆柱面与平面α的交线上，且α与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆；故选：B．【典例13】已知椭圆C上任意一点都满足关系式，则椭圆C的标准方程为.【答案】【解析】由题可知椭圆C的焦点在x轴上，其坐标分别为，，故，，所以椭圆C的标准方程为.故答案为：.【典例14】已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（

）A． B．9 C．16 D．251．D【分析】利用椭圆的定义及基本不等式可求答案.【详解】因为，所以，当且仅当时，取到最大值.【变式11】方程表示的曲线是，其标准方程是.【答案】椭圆【解析】方程，表示点Px,y到两点的距离之和等于，而，所以方程表示的曲线是椭圆，且长轴长，焦距，所以，所以半短轴长，所以其标准方程为.题型二、椭圆标准方程【典例21】已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为．【答案】【解析】由题知：，①又椭圆经过点，所以，②又，③联立解得：，故椭圆的标准方程为：.【典例22】已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过和两点，则椭圆的标准方程为.【答案】【解析】设所求椭圆方程为：(，，)将和的坐标代入方程得：，解得，所求椭圆的标准方程为：.【典例23】过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是．【答案】【解析】由题意设椭圆的方程为，，将点代入，，整理可得：，解得或（舍，所以椭圆的方程为：【变式21】过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为．【答案】【分析】由椭圆方程可得焦点坐标，假设所求椭圆方程，代入点即可构造方程求得，由此可得椭圆方程.【解析】将椭圆的方程化为标准方程可得：，焦点坐标为，可设所求椭圆方程为：，代入点坐标可得：，即，解得：或（舍），所求椭圆方程为：.【变式22】已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．若直线MN在y轴上的截距为3，且，则椭圆C的标准方程为．【分析】根据给定条件，借助几何图形及比例式求出点M，N的坐标，再代入椭圆方程求解作答.【详解】由对称性不妨令点M在第一象限，令直线交y轴于点A，过N作轴于B，令，

因为轴，则，而O为的中点，又A为中点，而，于是，由知，，显然，因此，于是，又，则，解得，而，则，所以椭圆C的标准方程为.题型三、椭圆方程的充要条件表示椭圆的充要条件为：表示椭圆的充要条件为：；表示双曲线方程的充要条件为：；表示圆方程的充要条件为：.【典例31】方程表示椭圆的充要条件是（

）A． B．C． D．或【答案】D【解析】若表示椭圆，则有，解得或.【典例32】已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（

）A．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆B．当曲线表示双曲线时，的取值范围是C．当时，曲线表示一条直线D．存在，使得曲线为等轴双曲线【答案】A【解析】对于A，当时，，，，表示焦点在轴上的椭圆，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，A正确；对于B，若曲线表示双曲线，则，解得：或，即实数的取值范围为，B错误；对于C，当时，曲线，即，即曲线表示两条直线，C错误；对于D，若曲线为等轴双曲线，则，解集为，不存在，使得曲线为等轴双曲线，D错误.【变式31】对于方程表示的曲线，下列说法正确的是（

）A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则其焦点在轴上【答案】B【解析】对A，当，即时，曲线的方程为，此时曲线为两条平行的直线，故A错误；对B，若为负角，即，则，此时曲线为双曲线，故B正确；对C，若为正角，即，当时，，则曲线的方程为1，是圆，故C错误；对D，若为椭圆，则，又可变形为，则为焦点在轴上的椭圆，故D错误．知识点2:椭圆的性质知识点2:椭圆的性质范围且且顶点、、、、轴长长轴长，短轴长长轴长，短轴长对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称焦点、、焦距离心率焦点三角形面积焦点三角形面积①，（为短轴的端点）②③题型一、焦点三角形【典例11】该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为．【答案】9【解析】解法一：由，得，则，设，则由题意得，由，得，所以，得，所以的面积为解法二：由，得，因为所以由焦点三角形的面积公式得．【典例12】已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【解析】由椭圆，得，，.设，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.【典例13】（多选题）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P是C上一点，则（

）A． B．的最大值为8C．的取值范围是 D．的取值范围是【答案】CD【解析】由椭圆定义得，，，A错误；，当时取等号，B错误；，设，则，，，，由，得，C正确；，，D正确.【变式11】（多选题）已知椭圆的左､右顶点分别为，左焦点为为上异于的一点，过点且垂直于轴的直线与的另一个交点为，交轴于点，则（

）A．存在点，使B．C．的最小值为D．周长的最大值为8【答案】BCD【解析】对于A,设椭圆的上顶点为，则直角三角形中，，则，故A错误；对于B，设，则，，且，即，又,则，又，故，则B正确；对于C，，，，则当时，取最小值为，故C正确；对于D，设椭圆的右焦点为,的周长为：,当且仅当三点共线时，等号成立，故D正确，故选：BCD.【变式12】已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设椭圆的长半轴为，则设关于平分线的对称点为Q，由椭圆对称性及角平分线性质可知P，，Q三点共线且又因为，所以是正三角形，设，由椭圆定义可得，，又，所以，所以，即，，所以的面积.故选：C.题型二：椭圆上两点距离的最值问题【典例42】已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】设，，且，所以，又因为，所以当时取最大值，所以【典例42】如果点P是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，那么的最大值是，最小值是．【答案】102【解析】由椭圆方程可得，，则.则当点位于右端点时，；当点位于左端点时，.故答案为：10；2【典例43】已知动点在椭圆上，过点P作圆的切线，切点为M，则的最小值是．【答案】【解析】圆的圆心，椭圆的焦点为，，因为，即求焦半径的最小值.先证焦半径公式：设是椭圆上任一点，是椭圆的两焦点，则因为，所以，.由焦半径公式知，则当时，取得最小值，则.题型三：椭圆上两点距离的最值问题【典例31】已知点在椭圆上，点，则的最大值为（

）A． B．4 C． D．5【答案】C【解析】作椭圆的左焦点，则，当且仅当点为线段的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得，故，C正确，【典例32】已知椭圆的右焦点为，点，点是上的动点，则的最小值为（

）A．5 B． C．10 D．【答案】B【解析】若为椭圆左焦点且，则，故，所以，而，所以，仅当共线时取等号，综上，的最小值为，取值条件为共线且在之间.【典例33】设实数x，y满足，则的最小值为（

）A． B．C． D．前三个答案都不对【答案】C【解析】点是椭圆上的点，设，如图．记题中代数式为M，则，等号当点E，A，P依次共线时取得．因此所求最小值为．【典例34】若平面向量满足，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，则，且，不妨设，则，由，即，故点的轨迹为以为焦点的椭圆，∴，则，当且仅当点为的延长线与椭圆的交点时等号成立，，当且仅当点为的延长线与椭圆的交点时等号成立，即，故.【变式31】已知椭圆外一点A(5，6)，l为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到l的距离为d，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为F(－3，0)，根据圆锥曲线的统一定义有：＝e＝，即，所以，可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时，最小，最小值＝10．故的最小值为10．【典例32】已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（

）A．1 B．－1 C． D．【答案】A【解析】设椭圆的左焦点为，则，可得，所以，如图所示，当且仅当，，三点共线（点在线段上）时，此时取得最小值，又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1．故选：A．知识点三：直线与椭圆的位置关系知识点三：直线与椭圆的位置关系位置关系将直线方程与椭圆方程联立，消去(或)，得到关于(或)的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交⇔；（2）直线与椭圆相切⇔；（3）直线与椭圆相离⇔.弦长公式设直线与椭圆的两个交点为，，，则弦长（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）点差法（1）是椭圆的一条弦，中点，则的斜率为，运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上，所以，两式相减得所以即，故 题型一：直线与椭圆的位置关系【典例11】直线与曲线的公共点的个数是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】当时，曲线，即，双曲线右半部分；一条渐近线方程为：，直线与渐近线平行；当时，曲线，即，椭圆的左半部分；画出曲线和直线的图像，如图所示：根据图像知有个公共点.【典例12】直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于直线恒过点，要使直线与椭圆恒有公共点，则只要在椭圆的内部或在椭圆上即可，即，解可得且，故实数m的取值范围为.【典例13】已知离心率为的椭圆的右焦点为，点为椭圆上第一象限内的一点，满足垂直于轴，且.(1)求椭圆的方程；(2)直线的斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于直线对称，证明：直线过定点.【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】（1）因为椭圆的离心率为，所以，点在椭圆上，代入椭圆方程，有，解得，且，可得所以椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，由消去，整理得，因为直线交椭圆于两点，所以，设Ax1,因为直线和直线关于直线对称，所以kAF所以，所以，解得.所以直线的方程为，所以直线过定点.题型二：椭圆的弦长问题【典例21】已知椭圆的离心率为e，且过点和．(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C上有两个不同点A，B关于直线对称，求．【解析】（1）由题意知：，∴，∴，所以椭圆；（2）法一

设及AB中点，由题意知，，以上两式相减得：，可化为：即，故，又∵M在直线上，所以，解得：，即，直线，化简为：联立整理得：，由韦达定理知由弦长公式得：．法二

设直线，联立，整理得：，则中点，满足直线方程，解得所以AB：【典例22】已知点B是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点P.（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）直线与E交于点M，N，且，求m的值.【解析】（1）由条件可得所以动点P的轨迹E是以为焦点的椭圆，设其方程为所以，所以所以方程为（2）设联立可得所以由得因为所以可解得【变式21】已知椭圆C：的焦距为，离心率为.(1)求C的标准方程；(2)若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值.【解析】（1）由题意得，，，又，则，则，所以C的标准方程为.（2）由题意设，，如图所示：联立，整理得，，则，，故.设直线l与x轴的交点为，又，则，故，结合，解得.题型三：点差法的应用【典例31】若椭圆的弦恰好被点平分，则的直线方程为.【答案】【解析】由题意，直线斜率存在，设，，则有，，在椭圆上，有，，两式相减，得，即，得，即直线的斜率为，则的直线方程为，即.【典例22】已知为椭圆内一点，经过作一条弦，使此弦被点平分，则此弦所在的直线方程为.【答案】【解析】易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为