高考一轮复习-计数原理排列组合

计数原理、排列组合要点一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2方案中有n种不同的方法。那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。要点诠释：如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中哪一种方法都能完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，有些题目在解决时需要进行分类讨论，分类时要适当地确定分类的标准，按照分类的原则进行，做到不重不漏。2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。要点诠释：如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理。解题时，关键是分清楚完成这件事是分类还分步，在应用分步乘法计数原理时，各个步骤都完成，才算完成这件事，步骤之间互不影响，即前一步用什么方法，不影响后一步采取什么方法，运用分步乘法计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取。3．两个计数原理的综合应用（1）在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同应用计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成的，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求。另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定。解题时经常是两个原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分类的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步。（2）对于复杂问题，只用分类加法计数原理或分步乘法计数原理不能解决时，可以综合应用两个原理，可以先分类，在某一类中再分步，也可先分步，在某步中再分类。类型一、分类计数原理【例1】某电脑用户计划使用不超过500元购买单价分别为60元、70元的电脑软件和电脑元件，根据需要，软件至少买3个，元件至少买2个，则不同的选购方法有（）A.5B.6C.7D.8【总结升华】选择恰当的分类标准，作到不重不漏。本题也可以用线形规划的整数解的方法解决。【例2】.在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?举一反三：【变式1】将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（）A．18种B．12种 C．10种 D．4种【变式2】在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A、B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种。类型二、分步计数原理【例3】某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2无。某人想先选定吉利号18，然后从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注。若这个人要把符合这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？【总结升华】解题时，关键是分清楚完成这件事是分类还分步，在应用分步计数原理时，各个步骤都完成，才算完成这件事，步骤之间互不影响，运用分步计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取。【例题4】己知六个函数:①;②;③;④;⑤;⑥,从中任选三个函数,则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有_______种.举一反三：【变式1】（1）四名运动员争夺三项冠军，不同的结果最多有多少种？（2）四名运动员参加三项比赛，每人限报一项，不同的报名方法有多少种？【点评】弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和条件.这两个原理都是指完成一件事而言的.其区别在于：（1）分类计数原理是“分类”，分步计数原理是“分步”；（2）分类计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事，分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事.【变式2】小明同学要从教学楼的一层到四层，已知从第一层到第二层有4个扶梯可走，从第二层到第三层有3个扶梯可走，从第三层到第四层有2个扶梯可走，那么小明同学从第一层到第四层有多少种不同的走法？【变式3】从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）=ax2+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有_____________个，其中不同的偶函数共有_____________个.（用数字作答）要点二、排列与组合基础知识定义、公式排列与排列数组合与组合数定义1．排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。2．排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。1．组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。2．组合数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。公式排列数公式组合数公式性质（1）（2）备注要点诠释：区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题。排列数、组合数计算（1）排列数公式：右边第一个因数为n，后面每个因数都比它前面那个因数少1，最后一个因数是nm+1,共m个因数。公式主要用于含有字母的排列数的式子的变形与论证；（2）组合数公式有乘积形式与阶乘形式两种，与排列数公式的应用一样，前者多用于数字计算，后者多用于对含有字母的组合数的式子进行变形和论证。还应注意组合数公式的逆用，即由写出。要点诠释：在排列数、组合数计算过程要注意阶乘的运算及组合数性质的运用，注意含有排列数或组合数的方程都是在某个正整数范围内求解。类型三、排列数、组合数计算【例5】计算下列各式的值（1）（2）（3）【总结升华】在排列数、组合数计算过程要注意阶乘的运算及组合数性质的运用，注意含有排列数或组合数的方程都是在某个正整数范围内求解。举一反三：【变式1】解方程：（1）；（2）.要点三、排列应用题求排列应用题的主要方法有：（1）直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；（2）特殊元素（或位置）优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；（3）排列、组合混合问题先选后排的方法；（4）相邻问题捆绑处理的方法。即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；（5）不相邻问题插空处理的方法。即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；（6）分排问题直排处理的方法；（7）“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；（8）定序问题除法处理的方法。即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列；（9）正难则反，等价转化的方法。要点四、组合应用题组合问题常有以下两类题型变化：（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取。（2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解。用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理。要点五、排列、组合应用题1.排列、组合问题几大解题方法：①直接法.②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法.⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有.⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为显然，故（）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应.即方程的解的组数等于插隔板的方法数.注意：若为非负数解的x个数，即用中等于，有，进而转化为求a的正整数解的个数为.2.解排列组合的应用题要注意以下几点：（1）仔细审题，判断是排列问题还是组合问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分类；（2）深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑；（3）对限制条件较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决；（4）由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同。在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复。（5）排列组合综合题目，一般是符合要求的元素取出（组合）或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列。其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准。类型四、排列组合常见问题及解法一、分析题意明确是分类问题还是分步问题，是排列还是组合问题【例6】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数。（1）选其中5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成一排，男生互不相邻；（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人。【总结升华】计数原理的应用问题，采用特殊位置优先考虑的原则，注意分类与分步计数原理的应用，考查计算能力。举一反三：【变式1】某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?【变式2】从1，2，3，……17，18，这18个数中，任意取出3个，满足3个数的和恰好被3整除，这样的取法共有多少种？【变式3】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，女生必须站在一起；(4)全体排成一排，男生互不相邻；(5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；(6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.二、特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑【例7】六人站成一排，求(1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数【思路点拨】先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而要考虑分类。【总结升华】站队问题是排列组合中的典型问题，解题时，要先从特殊元素和特殊位置入手。举一反三：【变式1】由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数．（1）若x=5，其中能被5整除的共有多少个？（2）若x=9，其中能被3整除的共有多少个？（3）若x=0，其中的偶数共有多少个？（4）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x．三、捆绑与插空【例8】停车场有一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法是_____种。举一反三：【变式1】有n个不同的小球和n个不同的小盒，现将这n个小球放入到小盒中，恰有1个空盒的放法共有多少种？【变式2】马路上有编号为1，2，3，……，10十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉，求满足条件的关灯方法共有多少种？四、间接法【例9】从10人中选4人参加一个会议，其中甲、乙、丙三人中至少有1人参加的与会方法有多少种？【总结升华】对于某些排列组合问题的正面情况较复杂而其反面情况却较简单时，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面的情况，一般含有“至多”、“至少”、“所有”等词的问题采用间接法。举一反三：【变式1】正方体8个顶点中取出4个，可组成多少四面体？【变式2】7人选5人排成一队，其中甲不能排在中间，有多少种不同的排法?五、隔板法【例10】把20台电脑分给18个村，要求每村至少分一台，共有多少种分配方法?【总结升华】对于相同元素的分配问题，常采用隔板法，灵活运用隔板法能处理一些较复杂的排列组合问题,但使用时有三点要求：①元素相同；②每组均“非空”,即每组中至少分一个元素；③不能有剩余元素。举一反三：【变式1】15个相同的球，放入标有1，2，3，4的四个盒子内，求分别满足下列条件的放法种数：(1)每个盒子放入的球数不小于盒子的号码；(2)15个球随意放入四个盒，使得每个盒子不空。六、定序问题【例11】5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法？【总结升华】当某些元素次序一定时，先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列，解题方法是：n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法。举一反三：【变式1】有4名男生、5名女生，全体排成一行，甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定，有多少种不同的排法