81成对数据的统计相关性（单元教学设计）-【大单元教学】高二数学（人教A版2019选择性）

8．1成对数据的统计相关性（单元教学设计）一、【单元目标】（1）了解变量的相关关系，结合散点图识别相关关系的类型．（2）结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系．（3）结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性．二、【单元知识结构框架】三、【学情分析】在必修课程中，学生习惯了单个变量样本数据的直观表示方法和统计特征的刻画方法，本单元中学生对于双变量统计关系的处理方法可能感到生疏和无方向，教学中要适时引导学生回顾单变量的研究方法和思想，如先直观描述后定量刻画、核心思想是样本估计总体等，用类比迁移的方式帮助学生克服心理障碍和畏难情绪．四、【教学设计思路/过程】课时安排：约2课时教学重点：两个变量间的相关关系，散点图，样本的相关系数．教学难点：了解样本相关系数的统计含义．教学方法/过程：五、【教学问题诊断分析】环节一、情景引入，温故知新情景：“瑞雪兆丰年”是一句流传比较广的农谚，它的意思是适时的冬雪预示着来年是丰收之年，是来年庄稼获得丰收的预兆．但是冬天下几场大雪，来年一定会获得丰收吗？环节二、抽象概念，内涵辨析1．相关关系问题1：下列两个变量是否具有函数关系？（1）球的面积与半径的关系；（2）人的身高和体重的关系；（3）角度和它的余弦值的关系；（4）父母的身高和子女的身高的关系．【破解方法】（1）（3）是函数关系；（2）（4）不是函数关系．【归纳新知】（1）相关关系两个变量间的关系有函数关系，相关关系和不相关关系两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．2．散点图问题2：在一次对人体的脂肪含量和年龄之间关系的研究中，研究人员获得了成对样本数据如下表．年龄/岁23273941454950脂肪含量/%9．517．821．225．927．526．328．2年龄/岁53545657586061脂肪含量/%29．630．231．430．833．535．234．6其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数．根据上述数据，你能推断出人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗？【破解方法】用横轴表示年龄，纵轴表示脂肪含量，可将成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来，得到相应的统计图如图所示，图中的点散布在从左下角到右上角的区域，大致在一条直线附近，推断脂肪含量变量和年龄变量之间存在着相关关系．【归纳新知】（1）散点图为直观地描述成对样本数据中两个变量间的关系，用横轴表示其中的一个变量，纵轴表示另一个变量，则成对样本数据都可以用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图．（2）正相关、负相关从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这个两个变量负相关．（3）线性相关一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条线附近，我们就称这两个变量线性相关．一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关．3．样本相关系数问题3：设和的均值分别为和．将数据以为零点进行平移，得到平移后的成对数据为，并绘制散点图，则绘制的散点图有什么特征？你能利用正负相关变量的成对样本数据平移后呈现的规律，构造一个度量成对样本数据是正相关还是负相关的数字特征吗？【破解方法】正相关时散点大多数分布在第一象限，第三象限，负相关时散点大多数分布在第二象限，第四象限．构造一个量：一般情形下，表明成对样本数据正相关；表明成对样本数据负相关．问题4：你认为的大小一定能度量出成对样本数据的相关程度吗？【破解方法】不一定．因为的大小与数据的度量单位有关，所以不宜直接用它度量成对样本数据相关程度的大小．【归纳新知】（1）相关系数的计算注意：相关系数是研究变量之间线性相关程度的量假设两个随机变量的数据分别为，对数据作进一步的“标准化处理”处理，，分别除和（和分别为，和的均值），得，为简单起见，把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为，则变量和变量的样本相关系数的计算公式如下：．（2）相关关系的强弱样本相关系数的取值范围为．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．环节三：例题练习，巩固理解例1．有人收集了某城市居民年收入（即所有居民在一年内收入的总和）与商品销售额的年数据，如表．表第年居民年收入/亿元商品销售额/万元画出散点图，判断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数判断居民年收入与商品销售额的相关程度和变化趋势的异同．【解析】画出成对样本数据的散点图，从散点图看，商品销售额与居民年收入的样本数据呈现出线性相关关系．设第年居民的年收入为亿元，商品销售额为万元，则，，所以，样本相关系数．由此可以推断，商品销售额与居民年收入正线性相关，即商品销售额与居民年收入有相同的变化趋势，且相关程度很强．例2．已知变量和变量的4对随机观测数据为，，计算成对样本数据的样本相关系数，并推断它们的相关程度（保留3位小数）．附：．【解析】依题意，，，，，因此，所以这组成对的样本数据相关系数为0．999，具有很强的相关性．例3．氮氧化物是一种常见的大气污染物，下图为我国2015年至2023年氮氧化物排放量（单位：万吨）的折线图，其中年份代码1~9分别对应年份2015~2023．已知，，，．（1）可否用线性回归模型拟合与的关系？请分别根据折线图和相关系数加以说明．（2）若根据所给数据建立回归模型，可否用此模型来预测2024年和2034年我国的氮氧化物排放量？请说明理由．附：相关系数．【解析】（1）从折线图看，各点落在一条直线附近，因而可以用线性回归模型拟合与的关系，由题意知，相关系数．故可以用线性回归模型拟合与的关系．（2）可以预测2024年的氮氧化物排放量，但不可以预测2034年的氮氧化物排放量．理由如下：①2024年与所给数据的年份较接近，因而可以认为短期内氮氧化物排放量将延续该趋势，故可以用此模型进行预测；②2034年与所给数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在短期内可能保持不变，但从长期看很有可能会变化，因而用此模型预测可能是不准确的．环节四：小结提升，形成结构问题5：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容：（1）相关关系的定义和特点是什么？（2）什么是散点图？散点图有什么优势和弊端？（3）散点图和样本相关系数之间的关系是怎样的？【破解方法】先让学生思考并小组交流，再让小组代表发言分享，教师协助完善，师生一起归纳．六、【教学成果自我检测】环节五：目标检测，检验效果1．观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（

）

A．a为正相关，b为负相关，c为不相关 B．a为负相关，b为不相关，c为正相关C．a为负相关，b为正相关，c为不相关 D．a为正相关，b为不相关，c为负相关【答案】D【解析】根据散点图，由相关性可知：图a各点散布在从左下角到右上角的区域里，是正相关；图b中各点分布不成带状，相关性不明确，所以不相关；图c中各点分布在从左上方到右下方的区域里，是负相关．故选：D2．对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（

）A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关【答案】B【解析】由变量，的散点图，知随增大，也增大，变量与正相关，由变量，的散点图，知随增大，减小，与负相关．故选：B3．根据如下两组数据，下列说法正确的是（

）5678910Y54．83．543224679349711A．和呈正相关，和呈正相关B．和呈负相关，和呈负相关C．和呈正相关，和呈负相关D．和呈负相关，和呈正相关【答案】D【解析】由所给数据可知，当增大时减小，和呈负相关；当增大时和增大，和呈正相关．故选：D4．下列散点图中，两个变量呈负相关的个数是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则这两个变量为负相关．结合散点图可知，①②满足题意，即两个变量呈负相关的个数为2个．故选：B5．已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为负数，对此描述正确的是（

）A．气候温度高，海水表层温度就高B．气候温度高，海水表层温度就低C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势【答案】D【解析】由于相关系数表示一个变量变化对另一个变量变化趋势的影响，所以随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势．故选：D6．以下散点图经过标准化后，相关系数最大的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】对于，散点呈上升趋势，线性相关系数为正数，这些点紧密的聚集在一条直线的附近，线性相关性强；对于，散点分布呈曲线趋势，线性相关程度比弱；对于，散点呈下降趋势，线性相关系数为负数；对于，散点分布比较分散，线性相关程度比弱；所以相关系数最大的是．故选：．7．为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对进行线性回归分析．若在此图中加上点后，再次对进行线性回归分析，则下列说法正确的是（

）A．不具有线性相关性 B．相关系数变大C．相关系数变小 D．相关系数不变【答案】C【解析】对于A，加入点后，变量与预报变量相关性变弱，但不能说不具有线性相关性，故A错误；对于B，C，D，由于点远离其他点，故加上点后，回归效果会变差，所以相应的样本相关系数的绝对值会变小，根据题中散点图，显然，所以会变小，故C正确，B，D错误．故选：C．8．现有一组样本数据点，则该组样本数据点的相关系数（

）A． B． C． D．1【答案】D【解析】根据题意可知：这些样本数据点均在直线上，故，由直线的斜率为正，可知，所以．故选：D．9．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由图知：（1）（3）变量呈正相关，且（1）的相关性比（3）要强，则，（2）（4）变量呈负相关，且（2）的相关性比（4）要强，则，所以．故选：A10．甲、乙、丙各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，则这三人中，研究的两个随机变量的线性相关程度最高．【答案】甲【解析】由甲、乙、丙的两个随机变量的线性相关系数分别为，可得，所以这三人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高．故答案为：甲．11．某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示：1212．51313．51414131198（1）求该纪念品定价的平均值和销量的平均值；（2）计算与的相关系数；（3）由（2）的计算结果，判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由．参考数据：．参考公式：相关系数．【解析】（1）由题可知，；（2）计算得，故；（3）由（2）可知，与的相关系数的绝对值近似为0．992，大于0．75且非常接近1，说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与之间的关系．【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容．环节六：布置作业，应用迁移作业：教科书第103~104页习题1．1第1、3题．【设计意图】巩固本节课的知识点．七、【教学反思】通过引入生活实例，如身高与体重、广告投入与销售量等，让学生直观感受统计相关性的实际