高考数学复习专题二函数与导数第1讲函数的图象与性质理

第1讲函数图象与性质专题二函数与导数1/45热点分类突破真题押题精练2/45Ⅰ热点分类突破3/45热点一函数性质及应用1.单调性：单调性是函数在其定义域上局部性质.利用定义证实函数单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论.复合函数单调性遵照“同增异减”标准.2.奇偶性(1)奇函数在关于原点对称区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称区间上单调性相反.4/45(2)在公共定义域内：①两个奇函数和函数是奇函数，两个奇函数积函数是偶函数；②两个偶函数和函数、积函数都是偶函数；③一个奇函数、一个偶函数积函数是奇函数.(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(4)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|).(5)图象对称性质：一个函数是奇函数充要条件是它图象关于原点对称；一个函数是偶函数充要条件是它图象关于y轴对称.5/453.周期性定义：周期性是函数在定义域上整体性质.若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a≠0)，则其一个周期T＝|a|.常见结论：(1)f(x＋a)＝－f(x)⇒函数f(x)最小正周期为2|a|，a≠0.6/45答案解析例1

(1)(届河北省衡水中学六调)已知f(x)是奇函数，且f(2－x)＝f(x)，当x∈[2,3]时，f(x)＝log2(x－1)，则f等于A.2－log23 B.log23－log27C.log27－log23 D.log23－2√思维升华思维升华能够依据函数奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式范围内函数值.7/45解析因为f(x)是奇函数，且f(2－x)＝f(x)，所以f(x－2)＝－f(x)，所以f(x－4)＝f(x)，又当x∈[2,3]时，f(x)＝log2(x－1)，8/45(2)(届四川省资阳市期末)已知函数f(x)＝x3＋3x(x∈R)，若不等式f(2m＋mt2)＋f(4t)<0对任意实数t≥1恒成立，则实数m取值范围是答案解析√思维升华思维升华利用函数单调性解不等式关键是化成f(x1)<f(x2)形式.9/45解析由题意得f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数且f(x)在R上单调递增，不等式f(2m＋mt2)＋f(4t)<0对任意实数t≥1恒成立，则2m＋mt2<－4t在t≥1时恒成立，10/45跟踪演练1

(1)(届河南南阳一中月考)已知函数y＝f(x)是R上偶函数，设a＝ln，b＝(lnπ)2，c＝ln，当对任意x1，x2∈(0，＋∞)时，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，则A.f(a)>f(b)>f(c) B.f(b)>f(a)>f(c)C.f(c)>f(b)>f(a) D.f(c)>f(a)>f(b)答案解析√11/45解析由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0可知，又因为函数y＝f(x)是R上偶函数，所以y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以f(c)>f(a)>f(b)，故选D.12/45(2)(届安徽省池州市东至县联考)设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－

，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，则f(2018)＝_____.答案解析－8解析由条件可得f(x＋6)＝f(x)，函数周期为6，f(2018)＝f(6×336＋2)＝f(2)＝f(－2)＝－8.13/45热点二函数图象及应用1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.2.利用函数图象能够判断函数单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象特点.14/45例2

(1)(·深圳调研)函数y＝f(x)＝·cosx图象大致是答案解析√思维升华解析易知函数定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝－f(x)，所以函数图象关于原点对称.当自变量从原点右侧x→0时，y→＋∞，故选C.15/45思维升华依据函数解析式判断函数图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出函数图象进行全方面分析，有时也可结合特殊函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题基本方法.16/45(2)(届菏泽期末)若函数y＝f(x)图象上存在两个点A，B关于原点对称，则称点对[A，B]为y＝f(x)“友情点对”，点对[A，B]与[B，A]可看作同一个“友情点对”，若函数f(x)＝

恰好有两个“友情点对”，则实数a值为A.－2 B.2 C.1 D.0答案解析√思维升华思维升华判断复杂函数图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选.要注意函数求导之后，导函数发生了改变，故导函数和原函数定义域会有所不一样，我们必须在原函数定义域内研究函数极值和最值.17/45解析首先注意到(0，a)没有对称点.当x>0时，f(x)＝－x3＋6x2－9x＋a，则－f(－x)＝－x3－6x2－9x－a，即－x3－6x2－9x－a＝2(x<0)有两个实数根，即a＝－x3－6x2－9x－2(x<0)有两个实数根.画出y＝－x3－6x2－9x－2(x<0)图象如图所表示，由图可知当a＝2时有两个解.18/45跟踪演练2

(1)(届山西晋中榆社中学月考)函数f(x)＝(16x－16－x)log2|x|图象大致为答案解析√19/45解析由定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－f(x)⇒f(x)是奇函数，可排除B，C，20/45答案解析√21/45若a＝0，则选项D是正确，故排除D.22/45三次函数g(x)＝a2x3－2ax2＋x＋a，所以选项B图象错误，故选B.23/45热点三基本初等函数图象和性质1.指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象中两种情况公共性质.2.幂函数y＝xα图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，

，－1五种情况.24/45思维升华指数函数、对数函数、幂函数是高考必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力.例3

(1)(·深圳调研)设a＝0.23，b＝log0.30.2，c＝log30.2，则a，b，c大小关系正确是A.a>b>c B.b>a>cC.b>c>a D.c>b>a√解析依据指数函数和对数函数增减性知，因为0<a＝0.23<0.20＝1，b＝log0.30.2>log0.30.3＝1，c＝log30.2<log31＝0，所以b>a>c，故选B.答案解析思维升华25/45答案解析√思维升华比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数单调性.思维升华26/45跟踪演练3

(1)(·全国Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则A.2x<3y<5z B.5z<2x<3yC.3y<5z<2x D.3y<2x<5z答案解析√27/45解析令t＝2x＝3y＝5z，∵x，y，z为正数，∴t>1.28/45∴2x>3y.∴2x<5z，∴3y<2x<5z.故选D.29/45(2)(届四川雅安中学月考)对任意实数a，b定义运算“Δ”：aΔb＝

设f(x)＝3x＋1Δ(1－x)，若函数f(x)与函数g(x)＝x2－6x在区间(m，m＋1)上均为减函数，则实数m取值范围是A.[－1,2] B.(0,3]C.[0,2] D.[1,3]答案解析√30/45∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，函数g(x)＝(x－3)2－9在(－∞，3]上单调递减，若函数f(x)与g(x)在区间(m，m＋1)上均为减函数，31/45Ⅱ真题押题精练32/45真题体验1.(·全国Ⅲ改编)函数y＝1＋x＋

部分图象大致为_____.(填序号)④1234答案解析33/452.(·天津改编)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c大小关系为________.b<a<c解析依题意a＝g(－log25.1)＝(－log25.1)·f(－log25.1)＝log25.1f(log25.1)＝g(log25.1).因为f(x)在R上是增函数，可设0＜x1＜x2，则f(x1)＜f(x2).从而x1f(x1)＜x2f(x2)，即g(x1)＜g(x2).所以g(x)在(0，＋∞)上亦为增函数.又log25.1＞0,20.8＞0,3＞0，且log25.1＜log28＝3,20.8＜21＜3，而20.8＜21＝log24＜log25.1，所以3＞log25.1＞20.8＞0，所以c＞a＞b.答案解析123434/456解析若0＜a＜1，由f(a)＝f(a＋1)，若a≥1，由f(a)＝f(a＋1)，得2(a－1)＝2(a＋1－1)，无解.答案解析123435/454.(·全国Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝____.答案解析123412解析方法一令x＞0，则－x＜0.∴f(－x)＝－2x3＋x2.∵函数f(x)是定义在R上奇函数，∴f(－x)＝－f(x).∴f(x)＝2x3－x2(x＞0).∴f(2)＝2×23－22＝12.方法二

f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.36/45押题预测答案解析押题依据指数、对数函数图象识别问题是高考命题热点，意在考查其基本性质灵活利用，题目难度普通不大，位于试卷比较靠前位置.押题依据12341.在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax图象可能是√37/45123解析方法一分a>1,0<a<1两种情形讨论.当a>1时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；当0<a<1时，y＝xa为增函数，y＝logax为减函数，排除A.因为y＝xa递增较慢，故选D.方法二幂函数f(x)＝xa图象不过(0,1)点，排除A；B项中由对数函数f(x)＝logax图象知0<a<1，而此时幂函数f(x)＝xa图象应是增加越来越慢改变趋势，故B错，D正确；C项中由对数函数f(x)＝logax图象知a>1，而此时幂函数f(x)＝xa图象应是增加越来越快改变趋势，故C错.438/452.(届甘肃肃南裕固族自治县一中月考)设函数y＝f(x)(x∈R)为偶函数，且∀x∈R，满足

，当x∈[2,3]时，f(x)＝x，则当x∈[－2,0]时，f(x)等于A.|x＋4| B.|2－x|C.2＋|x＋1| D.3－|x＋1|答案解析押题依据利用函数周期性、奇偶性求函数值是高考传统题型，很好地考查学生思维灵活性.押题依据123√439/45则当x∈[－2，－1]时，x＋4∈[2，3]，f(x)＝f(x＋4)＝x＋4＝x＋1＋3；当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，2－x∈[2，3]，f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝2－x＝3－x－1，故选D.123440