高考数学复习第二章函数导数及其应用第17讲导数与函数的极值最值配套理

第17讲导数与函数极值、最值1/42考纲要求考点分布考情风向标1.能利用导数研究函数单调性，会求函数单调区间(其中多项式函数普通不超出三次).2.会用导数求函数极大值、极小值(其中多项式函数普通不超出三次)；会求闭区间上函数最大值、最小值(其中多项式函数普通不超出三次).3.会利用导数处理一些实际问题年新课标Ⅰ第20题(1)(2)考查导数几何意义、单调性、极大值等；年新课标Ⅱ第21题考查函数极值充要条件及利用单调性讨论参数取值范围；年新课标Ⅰ第12题以函数零点为背景，考查导数应用；年新课标Ⅱ第12题结构函数利用其单调性解不等式；年新课标Ⅰ第21题考查函数单调性本节复习时，要尤其注意三次函数、指数函数与对数函数(以e为底)综合题.要深入体会导数应用中蕴含数学思想方法.分类讨论思想(如参数问题讨论)；数形结合思想(如经过从导函数图象特征解读函数图象特征或求两曲线交点个数)；等价转化思想(如将证实不等式问题等价转化为研究对应问题最值等)2/421.函数极值f′(x)＜0f′(x)＞0(1)判断f(x0)是极值方法：普通地，当函数f(x)在点x0处连续时，①假如在x0附近左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；

②假如在x0附近左侧____________，右侧___________，那么f(x0)是极小值.3/42(2)求可导函数极值步骤：①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0根；

③检验f′(x)在方程f′(x)＝0根左右两边导函数值符号.假如左正右负，那么f(x)在这个根处取得__________；假如左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；假如左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点.极大值4/422.函数最值(1)函数f(x)在[a，b]上有最值条件：假如在区间[a，b]上，函数y＝f(x)图象是一条连续不停曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)①若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数最小值，f(b)为函数最大值；②若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数最大值，f(b)为函数最小值.5/42

(3)求y＝f(x)在[a，b]上最大(小)值步骤： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内________； ②将函数y＝f(x)各极值与__________比较，其中最大一个是最大值，最小一个是最小值.极值端点值6/423.利用导数处理实际生活中优化问题基本步骤

(1)分析实际问题中各变量之间关系，建立实际问题数学模型，写出对应函数关系式y＝f(x)并确定定义域；(2)求导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)判断使f′(x)＝0点是极大值点还是极小值点；(4)确定函数最大值或最小值，还原到实际问题中作答，即取得优化问题答案.7/428/42答案：A9/42C.x＝2为f(x)极大值点D.x＝2为f(x)极小值点D10/4211/424.(年陕西)函数

xex在其极值点处切线方程为____________.12/42考点1函数极值

例1：(2013年新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处切线方程为y＝4x＋4. (1)求a，b值；

(2)讨论f(x)单调性，并求f(x)极大值.

解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.

由已知，得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8.

从而a＝4，b＝4.13/4214/42【规律方法】(1)求可导函数单调区间普通步骤和方法：①确定函数f(x)定义域；

②求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内一切实根；

③把函数f(x)间断点[即f(x)无定义点]横坐标和上面各实数根按从小到大次序排列起来，然后用这些点把函数f(x)定义区间分成若干个小区间；④确定f′(x)在各个开区间内符号，依据f′(x)符号判定函数f(x)在每个对应小开区间内增减性.15/42(2)可导函数极值存在条件：①可导函数极值点x0一定满足f′(x0)＝0，但当f′(x1)＝0时，x1不一定是极值点.如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点；②可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)符号不一样.16/42【互动探究】A1.(年新课标Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1极值点，则f(x)极小值为()A.－1

B.－2e－3C.5e－3

D.1解析：由题可得f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因为f′(－2)＝0，所以a＝－1，f(x)＝(x2－x－1)ex－1.故f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1.令f′(x)>0，解得x<－2或x>1，所以f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递增，在(－2，1)上单调递减.所以f(x)极小值为f(1)＝(1－1－1)·e1－1＝－1.故选A.17/422.已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a取值范围是()A.(－∞，0)C.(0,1)D.(0，＋∞)18/42答案：B19/42考点2函数最值例2：(2017年北京)已知函数f(x)＝excosx－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处切线方程；

解：(1)因为f(x)＝excosx－x， 所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0.

又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处切线方程为y＝1.20/4221/42【规律方法】求函数f(x)在[a，b]上最大值、最小值步骤：①求函数在(a，b)内极值；②求函数在区间端点函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)极值与f(a)，f(b)比较，其中最大为最大值，最小为最小值.22/42【互动探究】3.(年河南郑州模拟)已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上最小值.23/42x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减－ek－1单调递增解：(1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.当x改变时，f(x)与f′(x)改变情况以下表：所以f(x)单调递减区间是(－∞，k－1)，单调递增区间是(k－1，＋∞).24/42(2)①当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上最小值为f(0)＝－k.②当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上最小值为f(k－1)＝－ek－1.③当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上最小值为f(1)＝(1－k)e.总而言之，当k≤1时，f(x)min＝－k；当1＜k＜2时，f(x)min＝－ek－1；当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e.25/42考点3利用导数处理生活中优化问题

例3：(2016年江苏)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分形状是正四棱锥P­A1B1C1D1，下部分形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图2-17-1)，并要求正四棱柱高是PO1

四倍. (1)若AB＝6m，PO1＝2m，则仓库容积是多少？

(2)若正四棱锥侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库容积最大？图2-17-126/42解：(1)由PO1＝2m，知OO1＝4PO1＝8m.因为A1B1＝AB＝6m，正四棱柱ABCD­A1B1C1D1体积V柱＝AB2·OO1＝62×8＝288(m3).所以仓库容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3).27/4228/4229/42

【规律方法】本题在利用导数求函数单调性时要注意，求导后分子是一个二次项系数为负数一元二次式，在求f′(x)>0和f′(x)<0时要注意，本题主要考查考生对基本概念掌握情况和基本运算能力.30/42【互动探究】31/4232/42

(2)由(1)解答可知f′(r)＝0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞)上单调递减.

所以x＝r是f(x)极大值点，所以f(x)在(0，＋∞)内极大值为f(r)＝100，f(x)在(0，＋∞)内无极小值.

总而言之，f(x)在(0，＋∞)内极大值为100，无极小值.33/42

难点突破 ⊙利用转化与化归思想讨论函数中恒成立(