2024-2025学年广东省佛山市南海区大沥镇八年级（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省佛山市南海区大沥镇八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知一个等腰三角形的顶角等于140°，则它的底角等于(

)A.10° B.20° C.30° D.40°2.在平面直角坐标系中，点P(3,2)到原点的距离是(

)A.1 B.13 C.5 3.若a>b>0，则下列不等式正确的是(

)A.a−2<b−2 B.−8a>−8b C.a>4.如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是(

)A.等边对等角 B.等角对等边

C.垂线段最短 D.等腰三角形“三线合一”5.如图，△ABC中，∠B=∠C，AD为BC边上的高，下列结论中不正确的是(

)A.AB=AC

B.AD=BC

C.BD=CD

D.∠BAD=∠CAD6.不等式−x+1<x−3的解集在数轴上表示正确的是(

)A. B.

C. D.7.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，连接AD.若∠B=40°，BA=BD，则∠DAC为(

)A.25°

B.30°

C.35°

D.40°8.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，BC=7，BD=4，则点D到AB的距离是(

)A.3

B.4

C.5

D.79.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AB=17，则正方形AEDC和正方形BCGF的面积之和为(

)A.225

B.289

C.324

D.17010.如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH=PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是(

)

A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.一个等腰三角形的两边长分别为4cm、9cm，则这个三角形的周长为______．12.使得不等式11x−4<6x+1成立的解集是______．13.如图，在△ABC中，点E在AB的垂直平分线上，且AC=AE，AD平分∠EAC.若AC=3，CD=1，则BC=______．14.某校组织开展了“读书立志，强国有我”的知识竞赛，共20道竞赛题，选对得6分，不选或错选扣2分，得分不低于80分获奖，那么同学们要获奖至少应选对______道题．15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，点P是边BC上一动点，连接AP，将AP绕点A顺时针旋转60°得到AQ，连接CQ，则CQ长的最小值为______．三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题6分)

解不等式x−(3x−1)≤x+2，并将它的解集表示在数轴上．17.(本小题6分)

如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，DE//AB，交AC于点E.求证△AED是等腰三角形．18.(本小题8分)

学校准备用2000元购买名著和词典，其中名著每套70元，词典每本40元，现已购买名著20套，最多还能买多少本词典？19.(本小题8分)

如图，在△ABC中，DE垂直平分边AC，若△ABD的周长为28cm，BC=18cm，则AB的长为多少．20.(本小题10分)

如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．

(1)用尺规作图作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E．

(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)；

(2)连接BD，求证：BD平分∠CBA．21.(本小题10分)

为了庆祝建党102周年，学校准备举办“我和我的祖国”演讲比赛.学校计划为比赛购买A、B两种奖品.已知购买1个A种奖品和4个B种奖品共需120元；购买5个A种奖品和6个B种奖品共需250元．

(1)求A，B两种奖品的单价；

(2)学校准备购买A，B两种奖品共60个，且B种奖品的数量不少于A种奖品数量的13，购买预算不超过1285元，请问学校有哪几种购买方案．22.(本小题13分)

已知关于x，y的方程组3x+y=3a+9x−y=5a+7的解均为非负数，

(1)用a的代数式表示方程组的解；

(2)求a的取值范围；

(3)化简：|2a+4|−|a−1|．23.(本小题14分)

在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，将直角边AC绕点A顺时针旋转得到AP，旋转角为a(0°<a<180°)，连接CP，PB．

(1)如图1，当a=45°时，求BP的长；

(2)如图2，若∠CPB=135°，且D为AB中点，连接PD，猜想CP和DP的数量关系，并说明理由；

(3)在旋转过程中，当CP=BP时，求旋转角α的度数．

参考答案1.B

2.B

3.C

4.D

5.B

6.C

7.C

8.A

9.B

10.D

11.22cm

12.x<1

13.5

14.15

15.2

16.解：∵x−(3x−1)≤x+2，

∴x−3x+1≤x+2，

x−3x−x≤2−1，

−3x≤1，

则x≥−13，

解集表示在数轴上如下：

17.解：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，

∵AD⊥BC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵DE//AB，

∴∠ADE=∠BAD，

∴∠ADE=∠CAD

∴AE=ED，

∴△AED是等腰三角形．18.解：设还能买x本词典，

根据题意得：70×20+40x≤2000，

解得：x≤15，

∴x的最大值为15．

答：最多还能买15本词典．

19.解：∵△ABD的周长为28cm，

∴AB+BD+AD=28cm，

∵DE垂直平分边AC，

∴AD=DC，

∴AB+BD+DC=AB+BC=28cm，

∵BC=18cm，

∴AB=10cm．

20.解：(1)如图所示，DE就是要求作的AB边上的中垂线；

(2)证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A=30°，

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠A=30°，

∵∠C=90°，

∴∠ABC=90°−∠A=90°−30°=60°，

∴∠CBD=∠ABC−∠ABD=60°−30°=30°，

∴∠ABD=∠CBD，

∴BD平分∠CBA．

21.解：(1)设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，

由题意得：x+4y=1205x+6y=250,

解得：x=20y=25．

答：A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为25元；

(2)设购买A种奖品m个，则购买B种奖品(60−m)个，

由题意得：60−m⩾13m20m+25(60−m)⩽1285,

解得：43⩽m⩽45，

∵m为整数，

∴m可取43或44或45，

∴60−m=17或16或15，

∴学校有三种购买方案：

方案一：购买A种奖品43个，购买B种奖品17个；

方案二：购买A种奖品44个，购买B种奖品16个；

方案三：购买A22.解：(1)3x+y=3a+9①x−y=5a+7②，

①+②得：4x=8a+16，

解得x=2a+4，

把x=2a+4代入②得：2a+4−y=5a+7，

解得y=−3a−3，

∴方程组的解为x=2a+4y=−3a−3；

(2)∵关于x，y的方程组3x+y=3a+9x−y=5a+7的解均为非负数，

∴2a+4≥0−3a−3≥0，

∴−2≤a≤−1；

(3)∵−2≤a≤−1，

∴a−1<0，2a+4≥0，

∴|2a+4|−|a−1|

23.解：(1)α=45°时，点P落在AB上，

在等腰直角△ABC中，AC=2，

∴AB=AC2+BC2=2AC，

∴BP=AB−AP=AB−AC=2−2．

(2)如图，延长PD到点F，使得PD=DF，连接AF，

∵AD=BD，∠ADF=∠BDP，

∴△ADF≌△BDP(SAS)，

∴AF=BP，∠DAF=∠DBP，

∵AP=AC，AC=BC，

∴AP=BC，

∵∠APB+∠DAP+∠DBP=180°，

∴∠FAP=∠DAF+∠DAP=∠DBP+∠DAP=180°−∠APB，

在△PAC中，PA=AC，∠PAC=α，

∴∠APB=∠ACP=12(180°−α)=90°−12α，

∴∠APB=360°−∠CPB−∠APC=360°−135°−(90°−12α)=135°+12α，

∴∠FAP=180°−∠APB=45°−12α，

∴∠BCP=90°−∠ACP=90°−(90°−12α)=12α，

∴∠CBP=180°−∠CPB−BCP=180°−135°−12α=45°−12α，

∴∠FAP=∠CBP，

∴△FAP≌△PBC(SAS)，

∴PF=CP，

∵PD=DF，

∴CP=2DP．

(3)分两种情况：①当点P在△ABC内部，如图，过点P作PG⊥BC，交BC于点G，过点C作CD⊥AP，垂足为E，

∵CP=BP，

∴CG=BG=12BC，

在Rt△ACE中，∠AC