2025年河北省沧州市高考数学质检试卷（4月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年河北省沧州市高三4月质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知非空集合A，B，C互不相等，且A∩B=A，B∪C=C，则A∪C=(

)A.A B.B C.C D.⌀2.已知复数z满足(z+2)i=1−2i，则|z|=(

)A.5 B.23 C.3.已知随机变量X～N(2,4)，若P(X<4)=a，P(X<−2)=b，则P(−2≤X≤0)=(

)A.1+a−b B.1−a+b C.1−a−b D.a+b−14.在正四棱台A1B1C1D1−ABCDA.32 B.67 C.5.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1=1，S3A.9 B.8 C.7 D.56.将5个大小相同、颜色不同的小球放入编号为1，2，3，4，5的5个盒子中，恰好有2个空盒的放法共有(

)A.1500种 B.1800种 C.2340种 D.2400种7.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)为奇函数，当x<1时，f(x)=ex−e，则关于a的不等式f(aA.[−1,2] B.[−2,1]

C.(−∞,−1]∪[2,+∞) D.(−∞,−2]∪[1,+∞)8.已知倾斜角为2π3的直线l经过抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点，且与C交于不同的两点A，B，过A，B分别作直线y=−p2的垂线，垂足分别为M，N，若梯形AMNB的面积为48A.1 B.2 C.3 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数y=f(x)的图象与函数y=−ln(−x)的图象关于直线y=−x对称，则(

)A.f(x)−ex≤0 B.f(x)≥x+1 C.(1−x)f(x)≤1 D.f(x)−lnx>210.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<2)，其最小值为−2，∀x∈R，f(−x)=f(2a+x)，f(−π6−x)+f(−π6+x)=0，且|a+A.f(7π12)≤f(x)

B.f(x)的图象在区间(−π,0)内只有2个对称中心

C.f(x)的图象向左平移5π6个单位长度得到函数y=−2sin2x的图象

D.当x∈(5π1211.在光纤通信中，用光信号的不同强度或状态来代表二进制中的1和0，因此常用0和1组成的有序数组u=(a1,a2,a3,…,ai,…,an)(i,n∈N∗,1≤i≤n,ai=0或1)的形式表示信息，u被称为一个长为n的字，设u=(a1,A.若u=(0,1,0,1)，v=(1,1,1,0)，则d(u,v)=3

B.若u=(0,1,0,0,1)，则满足d(u,v)=2，字长为5的字v的个数为5

C.若u=(1,0,1,0,0,1)，则满足d(u,v)=3，字长为6的字v中有且仅有3个1相邻的字v的概率为15

D.若w=(1,1,1,…,1,1,1)，a=(a1,三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知非零向量a，b，c满足(c+3b)⋅a=0，若|b|=2，a，b13.已知直线x3+y2=114.已知Sn为数列{an}的前n项和，且∀n∈N∗，4an+a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=−|x|+ln(|x|+a)，曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线与直线2x−y=0垂直．

(1)求实数a的值；

(2)求函数f(x)16.(本小题15分)

如图，六面体ABCDEF的侧面ABFE为矩形，BC//AD，AB⊥BC，FB=AD=3，AB=BC=2，FD=22．

(1)求证：平面ABFE⊥平面ABCD．

(2)线段AE上是否存在点P，使得CP//平面DEF？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．

(3)求平面EFD与平面FDC夹角的余弦值．17.(本小题15分)

已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且2b−3asinC=0．

(1)若tanC=1，求cos2B；

(2)若tanA+tanB+tanC>0，求tan2C+18.(本小题17分)

“你好!我是DeepSeek，很高兴见到你!我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：

单位：人学历使用情况合计经常使用不经常使用本科及以上6535100本科以下5050100合计11585200(1)依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？

(2)某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得−10分，比赛结束累加得分为正数者获胜.两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为35,12．

(i)求比赛结束后甲获胜的概率；

(ii)求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率．

附：χα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82819.(本小题17分)

“极点与极线”是圆锥曲线的一种基本特征，已知圆锥曲线C：Ax2+By2+2Dx+2Ey+F=0(A2+B2≠0)，点P(x0,y0)(x0y0≠0)，直线l：Ax0x+By0y+D(x0+x)+E(y0+y)+F=0，则称点P(x0,y0)和直线l是圆锥曲线C的一对极点和极线.已知E为圆M：(x+5)2+y2=16上一点，点N(5,0)，动点Q满足：(QE+QN)⋅(QE−QN)=0，且Q，M，E三点共线，动点Q的轨迹为Γ．

(1)若P(x0,y0)(x0>0)为Γ上一点．

(i)对于曲线Γ参考答案1.C

2.D

3.C

4.B

5.D

6.A

7.C

8.C

9.BCD

10.ABD

11.AC

12.313.3131314.(3n−4)⋅15.解：(1)依题意，当x>0时，f(x)=−x+ln(x+a)，

所以f′(x)=−1+1x+a，

则f′(3)=−1+13+a=−12，解得a=−1．

(2)由(1)可知，f(x)=−|x|+ln(|x|−1)，

函数f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)，

当x>1时，f(x)=−x+ln(x−1)，f′(x)=−1+1x−1=2−xx−1，

令f′(x)=0，解得x=2，

当x∈(1,2)时，f′(x)>0，则函数f(x)在(1,2)上单调递增；

当x∈(2,+∞)时，f′(x)<0，则函数f(x)在(2,+∞)上单调递减．

所以当x=2时，函数f(x)取得极大值f(2)=−2，即2为f(x)的极大值点，

又f(−x)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，

所以当x=−2时，函数f(x)取得极大值f(−2)=−2，即−2为f(x)的极大值点．

综上，函数f(x)的极大值点为2，−2，极大值为−2，无极小值点，也无极小值．

16.解：(1)证明：如图，连接AF，则AF=13，

因为FD=22，AD=3，所以AD2+AF2=FD2，

所以AD⊥AF，

因为AB⊥BC，BC//AD，所以AB⊥AD，

又AB∩AF=A，AB，AF⊂平面ABFE，

所以AD⊥平面ABFE，

因为AD⊂平面ABCD，

所以平面ABFE⊥平面ABCD；

(2)线段AE上存在点P，使得CP//平面DEF，

如图，过C作CM⊥AD于M，则AM=2，

过M作MP//ED交AE于点P，则AMAD=APAE，得AP=2．

下面证明AP=2时，CP//平面DEF，

因为CM//AB，AB//EF，所以CM//EF，

因为EF⊂平面DEF，CM⊄平面DEF，

所以CM//平面DEF，因为MP//ED，ED⊂平面DEF，MP⊄平面DEF，

所以MP//平面DEF，

又CM∩MP=M，CM，MP⊂平面CMP，

所以平面CMP//平面DEF，又CP⊂平面CMP，

所以CP//平面DEF．

(3)依题意，以AB，AD，AE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，C(2,2,0)，D(0,3,0)，E(0,0,3)，F(2,0,3)，

FD=(−2,3,−3)，FC=(0,2,−3)，FE=(−2,0,0)，

设平面EFD的法向量为u=(x,y,z)，

则FE⋅u=−2x=0,FD⋅u=−2x+3y−3z=0,

不妨令y=1，则x=0，z=1，

则17.解：(1)由正弦定理可得2sinB−3sinAsinC=0，

即2sin(A+C)−3sinAsinC=0，即2sinAcosC+2cosAsinC=3sinAsinC，

则2tanC+2tanA=3，因为tanC=1，所以tanA=2，

所以tanB=−tan(A+C)=−tanA+tanC1−tanAtanC=3，

则cos2B=cos2B−sin2B=cos2B−sin2Bcos2B+sin2B=1−tan2B1+tan2B=−45；

(2)由(1)可知，2tanC+2tanA=3，即1tanC+1tanA=32，

由tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanB，

可得tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1−tanAtanB)+tanC=−tanC(1−tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC>0，

即tanA，tanB，tanC∈(0,+∞)，所以△ABC为锐角三角形，

由21tanC+1tanA≤tan2A+tan2C2，

即tan2A+tan2C2≥43，所以tan2C+tan2A≥329，

当且仅当tanA=tanC=43时等号成立，故tan2C+tan2A的最小值为329．

18.解：(1)零假设H0：DeepSeek的使用情况与学历无关，

根据列联表中的数据，可得χ2=200×(65×50−35×50)2100×100×115×85≈4.604<6.635，

依据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关；

(2)(i)当甲，乙同时回答第i(i=1,2,3)道题时，甲得分为Xi，

P(Xi=10)=35×12=310，P(Xi=0)=35×12+25×12=12，P(Xi=−10)=25×12=15，

比赛结束甲获胜