陕西省西安市长庆二中2024-2025学年高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页陕西省西安市长庆二中2024-2025学年高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z满足(1+i)z=2i，则|z|=(

)A.12 B.22 C.2.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE⋅BD=A.−2 B.6 C.2 D.−63.已知点O是△ABC所在平面内一点，点D为BC边的中点，且AO=2OD，mOA+OB+A.1 B.2 C.−1 D.−24.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB=(1,−2)，AD=(2,1)，则AB⋅A.5 B.4 C.3 D.25.已知|a|=10，a⋅b=−530A.2m3 B.3π4 C.5π66.复数z在复平面内表示的点Z如图所示，则使得z2⋅z1是纯虚数的一个z1A.4+3i

B.3+4i

C.4−3i

D.3−4i7.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为a2+b2−c24A.1 B.2 C.3 D.48.已知a=(sinα,1−4cos2α)，b=(1,3sinα−2)，α∈(0,π2)，若aA.17 B.−17 C.29.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是棱CC1A.存在点E，使得A1C1//平面BED1F

B.对于任意的点E，平面A1C1D⊥平面BED1F

C.10.已知AB⊥AC，|AB|=1t，|AC|=t，若点P是△ABCA.13 B.15 C.19 D.2111.已知向量OB=(1,0)，OC=(0,1)，CA=(cosθ,sinθ)，则|ABA.[1,2] B.[22,4] C.[12.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法画出的图形，A′D′=2B′C′=2，A′B′=1，则平面图形ABCD的面积为(

)

A.2 B.22 C.3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量a=(−x,2x)，b=(3x,2)，若a与b的夹角是钝角，则x的取值范围是______．14.已知A(1,1)，B(5,3)，向量AB绕点A顺时针旋转π2到AC位置，则点C的坐标为______．15.若复数z满足3z+z=1+i，其中i是虚数单位，则z=______．16.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为______．三、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

(Ⅰ)已知i为虚数单位，计算(1+i1−i)2013；

(Ⅱ)已知z是复数，z+3i−与z3−i均为实数(为虚数单位18.(本小题12分)

△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，sin(A+π6)=2cosA．

(1)求A的值；

(2)若a=3，BC边上的高为19.(本小题12分)

如图，已知矩形ABCD，AB=2，AD=3，点P为矩形内一点且|AP|=1，设∠BAP=α．

(1)当α=π3时，求证，PC⊥PD20.(本小题12分)

已知正三棱锥的高为1，底面边长为26，其内有一个内切球，球心到该三棱锥的四个面的距离都相等.求：

(Ⅰ)棱锥的表面积；

(Ⅱ)球的半径R21.(本小题12分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a、b、c，已知a=(cosA,cosB)，b=(a,2c−b)，且a//b．

(Ⅰ)求角A的大小；

(Ⅱ)若b=3，△ABC的面积S△ABC=3答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了复数的四则运算，复数的模，考查了计算能力，属于基础题．

根据复数的运算可得z=1+i，再根据模长公式求解即可．【解答】解：∵(1+i)z=2i，

∴(1−i)(1+i)z=2i(1−i)，

∴z=1+i，

则|z|=2．

故选2.【答案】C

【解析】解：根据题意，如图：以B为坐标原点建立坐标系，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立坐标系，

则C(2,0)A(0,2)，D(2,2)，

则E(2,1)，

则AE=(2,−1)，BD=(2,2)，

则AE⋅BD=2×2+(−1)×2=2，

故选：C．

根据题意，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立坐标系，据此可得A、C、D、E的坐标，由向量的坐标公式可得向量AE、3.【答案】A

【解析】解：∵D为BC的中点，

∴2OD=OB+OC，

∴AO=OB+OC，

∴mOA+AO=(m−1)OA=0，4.【答案】A

【解析】解：AC=AB+AD=(3,−1)，

AB⋅AC=1×3+(−2)×(−1)=5，

故选：A．5.【答案】C

【解析】解：因为(a−b)⋅(a+b)=−15，所以a2−b2=−15，

所以|b|=5，因为a⋅b=−5302，6.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

由图可得：z=−2+i，设z1=a+bi(a,b∈R)，再利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．

【解答】

解：由图可得：z=−2+i，设z1=a+bi(a,b∈R)．

z2⋅z1=(−2+i)2(a+bi)=(3−4i)(a+bi)=3a+4b+(3b−4a)i为纯虚数，

则7.【答案】A

【解析】解：由△ABC的面积为a2+b2−c24，

可得12absinC=a2+b2−c24，

即sinC=a2+b2−c22ab=cosC，

8.【答案】B

【解析】解：因为a=(sinα,1−4cos2α)，b=(1,3sinα−2)，且a/​/b，

所以1−4cos2α=sinα(3sinα−2)，

即1−4(1−2sin2α)=3sin2α−2sinα，

即5sin2α+2sinα−3=0，

解得sinα=−1或sinα=35，

因为α∈(0,π2)，

则sinα=39.【答案】C

【解析】解：对于A：当E为棱CC1上的中点时，此时F也为棱AA1上的中点，

此时A1C1/​/EF；满足A1C1/​/平面BED1F成立，∴A正确；

对于B：连结D1B，则D1B⊥平面A1C1D，而B1D⊂平面BED1F，

∴平面A1C1D⊥平面BED1F成立，∴B正确；

对于C：BD1⊂平面BED1F，∴若存在点E，使得B1D⊥平面BED1F，

则B1D⊥BD1，则矩形BDD1B1是正方形或菱形，

在正方体中，BD=2BB1，则矩形BDD1B1不可能是正方形或菱形，

∴不可能存在点E，使得B1D⊥平面BED1F，∴10.【答案】A

【解析】解：∵AB⊥AC，∴以A为原点，直线AB，AC分别为x轴，y轴，建立如图平面直角坐标系，则根据条件得：

P(1,4)，B(1t,0),C(0,t)，

∴PB⋅PC=(1t−1,−4)⋅(−1,t−4)

=−1t+1−4t+16

=−(4t+1t)+17≤−24t⋅1t+17=13，当且仅当4t=1t，即t=12时取等号，

∴PB⋅PC的最大值为11.【答案】C

【解析】【分析】本题考查向量模的坐标表示，两角和差公式，属于中档题．

设A(x,y)，得到(x,y−1)=(cosθ,sinθ)，进而得到AB=(1−cosθ,−1−sinθ)，结合两角和差公式得到|AB|=【解答】

解：OB=(1,0)，OC=(0,1)，CA=(cosθ,sinθ)，

设A(x,y)，可得(x,y−1)=(cosθ,sinθ)，

可得AB=(1−cosθ,−1−sinθ)，

|AB|=1−cosθ2+−1−sinθ2=3−2cos12.【答案】C

【解析】解：如图，

作平面直角坐标系x−O−y，使A与O重合，AD在z轴上，且AD=2，AB在y轴上，且AB=2，

过B作BC/​/AD，且BC=1，则四边形ABCD为原平面图形，其面积为S=12(1+2)×2=3．

故选：C．

由题意还原原四边形，再由梯形面积公式求解．13.【答案】(−∞,−1【解析】解：∵向量a=(−x,2x)，b=(3x,2)，若a与b的夹角是钝角，

∴a⋅b=−3x2+4x<0，且a与b不共线，即x(3x−4)>0，且

−x3x≠2x2．

解得x<0，且x≠−13，或x>43，故x14.【答案】(3,−3)

【解析】解：设C(x,y)，则AB=(4,2)，AC=(x−1,y−1)，

∴AB⋅AC=0，|AB|=|AC|，

则4(x−1)+2(y−1)=0，且42+22=(x−1)2+(y−1)2，

联立解得x=−1，y=5或x=3，y=−3，

∵向量AB绕点A顺时针旋转π215.【答案】14【解析】解：设z=a+bi，则z=a−bi(a,b∈R)，

又3z+z=1+i，

∴3(a+bi)+(a−bi)=1+i，

化为4a+2bi=1+i，

∴4a=1，2b=1，

解得a=14，b=12．

∴z=14+12i16.【答案】3π4【解析】【分析】

本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．

推导出该圆柱底面圆周半径r，由此能求出该圆柱的体积．

【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，

∴该圆柱底面圆周半径r=12−(12)2=17.【答案】(Ⅰ)i．

(Ⅱ)9−3i．

【解析】解：(Ⅰ)(1+i1−i)2013=i2013=(i4)503⋅i=i；

(Ⅱ)设z=x+yi(x,y∈R)，

z+3i−=x−(y+3)i为实数，

则y=−3，

z3−i=x−3i3−i=11018.【答案】解：(1)∵sin(A+π6)=2cosA，

∴sinA=3cosA，∴tanA=3，

∵0<A<π，∴A=π3．

(2)由已知，12×3【解析】(1)利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用同角三角函数基本关系式求解即可．

(2)利用三角形的面积以及余弦定理，转化求解即可．

本题考查余弦定理的应用以及三角形的面积的求法，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．19.【答案】解：(1)建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0,0)，B(2,0)，C(2,3)，D(0,3)，

当α=π3时，P(12,32)，

则PC=(32,32)，PD=(−12,32)，

则PC⋅PD=32×(−12)+(3【解析】本题考查了平面向量数量积的坐标运算及三角函数最值的求法，属中档题．

(1)利用两个向量数量积等于零证明向量垂直即可；

(2)由平面向量数量积结合三角函数便可得出结果．20.【答案】(Ⅰ)92+63；

【解析】解：(Ⅰ)因为正三棱锥的高为1，底面边长为26，

所以底面正三角形的中心到正三角形边的距离为13×32×26=2，

所以侧面三角形的斜高为12+(2)2=3，

所以棱锥的表面积为3×12×221.【答案】解：(Ⅰ)∵a//b，

∴(2c−b)⋅cosA−a⋅cosB=0，

∴cosA⋅(2sinC−sinB)−sinA⋅cosB=0，

即2cosAsinC−c