《浅析行列式的计算方法及其应用研究》7500字（论文）

浅析行列式的计算方法及其应用研究目录摘要 摘要：行列式是高等代数的一个重要内容，学习好行列式对今后的学习有着至关重要的作用。首先介绍了解行列式的背景和概念，以及它的研究意义和作用。接着学习定义法、行列式性质、降阶法、数学归纳法、范德蒙德行列式等计算方法，介绍这几种方法适用于哪些行列式，并应用在解线性方程组、初等代数、解析几何等方面，最后给出具体的例题进行研究，探究行列式的计算方法在这几个方面的应用。关键词：行列式；降阶；范德蒙德行列式；计算方法；应用1绪论1.1研究背景及研究意义行列式求解这个概念的最早提出是来源于线性方程组问题的数学求解，它可能是借由与日本数学家关孝的和德国数学家格特弗里的莱布尼茨在公元前十七世纪所得出的结果，当时线性方程组中解方程组的个数也是借由一个行列式的解来得到确定的。到了十八世纪，人们开始研究行列式。十八世纪末的四五十年代，德国学者瑞士和俄国数学家克莱姆等都曾经详细无误的详细系统的介绍发展出了行列式定理的一种基本的定义法则和展开式法则，并能进而推导得出解齐次线性方程组中非零解方程根地唯一符号方法-系数的行列式。十八世纪七十年代，拉普拉斯对于范德蒙德德得出的一些规则进一步给出证明，并对他的方法进行推广。行列式的乘法定理是由柯西在1815年给出了比较完整的阐述。雅可比是他在大约1841年发表的在由他以前首次正式发表出版过的两篇关于线性函数论及行列式的理论基础的两篇重要的论文当中，探讨与分析研究了线性函数间的线性相关性与雅可比行列式的线性相互关系。1850年矩阵理论中的许多核心概念也是首次同时被威廉凯莱尔和威廉詹姆斯以约瑟夫西尔维斯特的形式分别提出来描述的，行列式矩阵之间以及和线性矩阵理论概念之间一直存在着的这样某种密切的相互依赖关系在使得线性矩阵论被快速地发展推广开来的同时它同样也会因此地带来了许多其它地重要地关于线性的行列式矩阵问题方面的新研究以及新结果。例如正交行列式、对称行列式、范德蒙德行列式、Cauchy行列式等等。与此同时，行列式表也同样常常是被数学家广泛应用于经济社会以及各种自然科学等领域或工作中。1.2研究现状行列式问题的数值优化和计算求解法这无疑是这一重要前沿研究热点课题近年来它一直来是都备受众多的国内外前沿科研理论学者家们的研究重点的关注,对此近年来的许多知名国外知名学者专家也都是已经着手尝试着对一些行列式计算问题的进行过一些初步探讨研究或研究,得出有了目前国内外学术界许多具较为重要理论意义的一些科学结论模型与一些数学的计算的研究方法。其中包括有当前国内的一些著名研究成果:如黄娟皮、胡乔林、陈黎钦、李辉、毋光先等一些著名中国学者对行列式矩阵中的一些常用主要数值计算方法等已开始做出系统全面深刻的基本理论研究归纳,主要数值常用处理方法等主要成果有:三角化法、拆分项法、加边法、递推因子项法、分离线性因子项等法、数学归纳法等,而在其他的几种性质相对很特殊的矩阵领域使用到的矩阵方法中也是主要使用的方法有按过的范德蒙德矩阵定理行列式法、微积分法、软件法、按过的拉普拉斯矩阵定理展开公式法等。对于一些特殊形式的行列式，许多专家学者也进行了研究，其中主要是对范德蒙德行列式及Cauchy行列式的研究，这两种特殊的行列式由于其形式的差异性，其计算方法有着很大的差别，对这样行列式的计算方法的研究，不仅对于数学学科方而有很大的突破，对于其他科目也有建设性的意义。最近几年，许多国外的专家对这两种特殊行列式得出了很多重要的结论.例如：Krattenthaler介绍了一些行列式的计算方法，并且还得到了更加简便的求解行列式的计算公式[1]。探究经典组合序列的行列式，并得出许多重要结论总而言之，行列式的计算对于数学屈的发展有着重要的意义。Cauchy行列式也是线性代数领域著名的行列式研究之一,Cauchy行列式概念的相关研究领域一直也倍受各国学者专家广泛的密切关注,它已不仅能在多重椭圆等超纯几何级数研究中都有着较为基本成功的研究应用,而且已在泛对称函数的理论领域中亦具有其举足轻重的地位。1.3研究内容对于初等行列式,要先特别仔细深入地系统科学地比较研究探讨一下解决它一般采用到的有哪几种的常用数学解题及其基本思想方法以及如何利用好这几种作为主要数学解题思路的基本方法及其如何在直接应用解决一般解析线性方程组、初等代数几何问题和还有各种初等解析和微分几何组合问题方法基础上而得到有效的数学综合的应用。首先,我们还应该是要使自己形成有个很高良好理论基础上的高中数学知识的基本储备,知道到底是什么意思或者是一个行列式,行列式中的各种简单定义与方法以及理解各种简单行列式中的几个基本数学概念,掌握了各种复杂行列式最常见的行列式中的数学定义法、行列式中的几种基本物理性质、降阶法、数学归纳法、范德蒙德行列式这是几种数学简单概念解题最好的一种方法,有了这样扎实的数学的理论学习这个基础,对我们以后的和接下来的学习研究行列式上的这几种初等数学和计算科学基本解题方法以及它们在解复杂线性方程组、初等代数问题以及它在解析某些复杂代数几何问题方法上提出的一系列实际工程应用数学问题上将就会觉得相对地更加地简单而轻松,才有助于我们对每种方法在这三个方面的应用的适应度。总的来说这下面几个步骤：第一理解行列式以及它的相关概念，能够帮助理解行列式的计算方法等相关知识，为后面深入探究行列式的计算以及应用做好基础准备工作。第二知道行列式的几种计算方法的定义以及概念，对几种计算方法的概念进行梳理，理解它们的相关概念以及熟练掌握几种计算方法，把这几种计算方法熟练应用到具体例题中去。2行列式计算方法行列式的性质的各种数值计算规律及求解方法数学理论一直都也是当前中国计算数学理论所重点研究并探索研究的其中一种理论重点内容,对于利用各种有行列式的特性做的各种数学计算中又就有很多种数学计算的方法,其中主要还就包括利用了的有行列式特性的数学定义法、利用了的有各种有行列式的数学性质、降阶法、数学归纳法、范德蒙德行列式等,下面详细介绍这几种方法。2.1行列式的定义在研究学习行列式之前，先介绍其涉及到的相关定义知识，方便我们后面的研究学习。组成的每一个有秩数组称为一个级排列；②在任意的一个有序排列的系统次序中,如果它前后面两个的顺序数排列中它前面的数的位置都和它前后面三个数中的它们前面的位置次序恰好完全相反还有且和它们后面数中的它前后数大小顺序刚好也正好完全地相反,即它们的前面两个位置上的逆序数总和要恰好大于它前后面几个位置中的顺序数,那么它们这个顺序数就能够互称为它是一个顺序排列或逆序,一个排列的次序数中它所有的逆序数字的总数的相加也就能相互成为它这个系统次序的排列中的每一个是逆序数,排列式中的每个是逆序数记做为③逆序数为偶数的排列称为奇偶式排列;逆序数为正奇数时的排列又被人们称为正奇序的排列。在给出n阶行列式之前，先来看一下二、三阶行列式的定义如下从二、三阶行列式的内在规律引出阶行列式的定义。④阶行列式等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积(1.1)的代数和，这里是的一个排列，每一项(1.1)都按照下面的规则带有符号；当是偶排列时(1.1)带正号；当是奇排列时，(1.1)带负号。这个定义可以写成这里表示对所有级排列求和[10]。2.2行列式的性质①行列式中的某一行(或某一列)中的所有元素都乘以同一个数,等于用数乘以这一行或这一列，其计算的结果等于。②行列式等于它的转置行列式(的第行为的第列)。③如果行列式的其中一行(或其中的一列)的所有元素都是两个数的和，用式子表示为,那么就可以把行列式拆成两个行列式相加。④行列式中两行(或列)互换,其结果等于。

⑤把行列式的其中一行(或一列)中每个元素都乘以同一个数后加再到另一行(或列)中每个对应元素上，最后得到的结果仍然是。⑥行列式中如果有两行或者有两列的对应元素相除后得到的结果等于同一个数，那么这个行列式的计算结果为零。⑦如果一个阶行列式中的某一行或者某一列的每一个元素都等于一个确定的数，那么数叫做这一行或者这一列的公因子，公因子可以提到行列式符号的外面[1]。2.3求解行列式2.3.1用定义法求解行列式观察行列式的结构，如果符合行列式定义中的其中一个就可以用行列式的定义来求解，这样的解题方法就叫做定义法。当行列式中行和列有比较多元素等于零的时候，这时就可以选择使用定义法，这样计算起来比较快速和简单。例1计算行列式解题方法：当行列式除了主对角线以外其他元素都为零，计算结果等于主对角线上的元素相乘。解：例2计算行列式解题简单的几种方法:观察行列式表元素中的列元素的列数比哪几一行比较多或者是观察到哪几一列中元素的中数列中的所有的元素个数只为的一个零这样的这种情况就比较的多,这就是两个题式列中所有的在第一行的元素个数的都是没有零的数和所有在第三列元素中数的所有列元素数量的中数的都是只有的一个零,这是两种问题是都可以直接的利用行列式表中值的定义法来去展开计算,按照在第一行的来去展开,行列式表中的值也就是等于在第一行列中第二列上的所有元素的元素数目之和除以与等于它们的数量相应数列的所有代数余子式中数的和乘积后的再数相加。解：由定义2.3.2利用行列式性质计算行列式运用行列式的几何性质去计算行列式数是最为常用到的另一种数学方法,一般会将一个行列式数化为一个上的三角形式或者称为下的三角的形式,再根据行列式的定义来求解[6]。可以化为上三角的行列式的行列式也必须至少具有满足下述的这些条件的基本特征:第一行所有元素或在第一列元素中的除了主列对角线元素以外所有剩余列的其余任何列元素都至少必须表示为归零化后的行列式。例3计算行列式解：(K型)(上三角)例4计算4阶行列式解：2.3.3利用降阶法计算行列式降一阶展开运算法通常也是可以直接先按照某一个行列式中的某一行字段(或一列)来进行展开,这样就至少还可以再降低很多一个阶,更一般用过的展开公式也是可以用拉普拉斯定理,这样还至少还是可以再降低很多一个阶,为了也可使展开的运算和过程也更加地灵活与简便,往往也是可直接先利用某一个行列式中的性质化简公式,使行列式表中都能看到有一个相对元素较多的归整零项的出现。降阶法的其中一种解题简便的方法就是先要将一个行列式表中列的元素任意的某一行或者甚至是将某一归整列项都变成只有列其中任意一个项的元素都不一定都为零,其它元素全部为零，这时行列式就比原来降低了一阶，继续这个操作，直到算出行列式的值[8]。例5计算解：例6计算解：2.3.4利用数学归纳法计算行列式不完全归纳和完全归纳这两种方法都是数学归纳法，一般使用不完全归纳法来找出行列式的猜想，再运用数学归纳法来证明寻找出的猜想是否正确。数学归纳法的基本步骤如下：①先计算时的行列式的值；②观察的值猜想出的值；③用数学归纳法证明。例7若阶行列式的所有元素等于1或-1，证明当n≥3时，证明：对进行数学归纳法。①当时，设,先将的第一列元素全变为1，如果第一列某个元素为-1，则用-1乘以这一行的每一个元素，但是的绝对值是不变的，然后用第一列分别加到第2、3列上去，则,这里的为0或2，而不会有其他情况，故②假设时成立，证明时成立。事实上，对按第一行展开得到,bij为1或-1，为的代数余子式，这样因为，所以2.3.5利用范德蒙德行列式计算行列式范德蒙德行列式是一种非常重要的行列式，在很多线性代数问题中都有应用。范德蒙德行列式的概述行列式称为范德蒙德行列式[2]，其特点在于，行列式中每一列都是一个以为公比的等比数列。范德蒙德行列式是非常重要的，在很多行列式的计算中都有应用，所以我们在学习行列式的时候必须牢牢记住范德蒙德行列式的计算方法和它的计算公式。范德蒙德行列式的计算公式例8计算行列式解题基本方法:首先注意观察行列式本身的几何结构和是否与其和范德蒙德标准行列式一样的基本结构之间有着一定形式的数学联系,然后考虑将这些行列式简化成近似范德蒙德标准行列式那样的一种标准形式,最后是根据范德蒙德标准行列式的基本计算公式重新计算行列式。根据范德蒙德行列式，求得例9计算行列式解：根据范德蒙德行列式，求得例10计算行列式解：根据范德蒙德行列式，求得3行列式的计算方法在其他方面的应用行列式微积分是可在理工科大学一年级上册和初中二年级开始学习用到的,主要地出现于在高等代数基础中,行列式微分不仅仅只应用到在解高等代数问题中,在解简单线性方程组、初等代数几何以及高等解析向量几何等中同样都可有较为广泛深入的具体应用。首先你想要完全利用行列式概念解决线性方程组、初等代数几何以及空间解析微分几何组合这是三个主要方面上的基本问题,首先我们就要学会理解行列式基本的几何概念还有就要掌握行列式矩阵的一般定义、性质以及行列式矩阵的几种常见计算和方法,其中包括它们的计算公式还有计算技巧。3.1行列式在解线性方程组的应用行列式定理在线性代数中这几方面研究的结果应用都非常地广泛,它实际上是所有线性代数中的最核心部分和最基础,是所有线性代数理论领域中非常的重要的一组成性部分,不仅仅是这样,行列式定理在对解决其他某些重要方面中的各种数学问题都提供起了一些方便,不仅它可以直接用来直接求平面方程组中的矩阵解,判断该矩阵方程是否为可逆,还可以被用来直求一个通过定点的平面方程。例11计算二元线性方程组解题方法：首先，先列出常规的二元线性方程组，然后抽取出这个方程组的所有系数，此时，我们用行列式的定义法得出行列式的值。接下来，我们将方程组的另一边的值与其中一组数据交换，算出一个值，另一边的值再和另一对数据再次交换。得出两个值后，我们将它除去行列式的值，就得到两个未知数的值了。解：由二次线性方程组得到的一个系数行列，并求得,表示这个线性方程组有唯一解，因为所以例12判断矩阵是否可逆。解题方法：如果这个矩阵的行列式值为零，则这个矩阵不可逆，如果不为零，则这个矩阵可逆[13]。解：因为所以行列式A可逆。例13求四个平面相交于一点的充分必要条件解：平面方程可以写成其中：(看成以为未知量，为系数的齐线性方程组)[12]。根据齐线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式的计算结果等于零，即得四平面相交于一点的充分必要条件为例14问取什么值的时候，齐次线性方程组有非零解。解：其次线性方程组有非零解的必要条件是未知数的系数行列式的计算结果等于零[3]。设系数行列式为，即，所以，齐次线性方程组有非零解。3.2行列式在初等代数的应用3.2.1用行列式因式分解利用行列式因式数分解问题中的一个解题之关键,是要求先能把该题目中所列规定所给的多项式写成每一个行列式数的分解排列形式,并还必须时刻注意各种行列式因数的分解与排列形式的特殊规则,下面笔者将通过列举下面这几个实际解题例子进行一一来说明。例15已知求此因式分解成立[15]。解：所以有因式分解3.2.2用行列式证明不等式和恒等式根据这个行列式中的这些基本的性质我们现在就应该知道,把在这个基本行列式当中存在的其中任何的某一行元素的所有或者只任意其中某一行列中对应元素的或者全部元素数都被同时连续的分别乘以到其中同一列的个数中去后再连续分别地加到其所有对应另每一行元素数量或者只是每行列中元素对应的所有对应一行的全部元素数量总体上,行列式都是具有基本的不动变式特征的,如果将某一个基本行列式中的仅有对应的每一行对应的元素或者仅只有与这每一列元素对应的其他所有元素如果全部列数都是和大于为零,那么这说明了这个行列式也就应该等于或者为了零。利用了行列式的本身存在的所有的这些的数学性质,我们一般都希望可以能够通过一些用数学构造的行列式证明的一种基本数学方法来能够快速地证明一些等式定理和不等式。例16已知，求证证明：令，则=0.命题得证。例17已知,求证.证明：令，则命题得证。例18已知证明：令，则而，则，命题得证。3.3行列式在解析几何的应用行列式在解析几何中的应用非常广泛。下面，用行列式表示三角形面积、直线方程[14]。例19以平面内三点为定点的三角形的面积是的绝对值。证明：将平面三点扩充到三位空间，其坐标分别为，其中为任意常数，由此可得则所以的面积为例20是平面上两个不同的点，那么过的直线是证明：设直线的方程为(3.1)这里不全为零，由于在直线上，故它们满足方程(3.1)代入后得(3.2)将(3.1)和(3.2)合并，得到方程组(3.3)这是一个关于待定系数的齐次线性方程组，由于不全为零，所以(3.3)有非零解，于是方程组的系数行列式为零，即(3.4)凡是在直线上的点必须满足(3.4)。反之，满足(3.4)的每一点必在经过两点的直线上。因此，方程(3.4)是通过平面上两点的直线方程。总结对于行列式来说,想要准确地、快速地求解行列式,就要学会灵活去使用这些计算方法,当我们发现其中用一种方法求解困难或不能求解的时候,不要死磕,换另一种计算方法去计算,或是先观察其构成形式,看是否可以用定义法和降阶法或者行列式的性质来计算,如果不可以,再考虑其他两种方法。同时,从另一个方面来说,求解行列式和利用行列式解决线性方程组、初等代数、解析几何的问题的过程也折射出了生活中的一部分缩影,这告诉我们,在生活中做事也要灵活,学会变通,才能达到良好的效果。参考文献