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文档简介

矩阵的满秩分解6.2矩阵的满秩分解就是将矩阵分解为一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积，这在后面的广义逆矩阵的问题中也非常重要．任意一个矩阵,其秩为

，都可以经过有限次初等变换，化为它的等价标准形即总存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使得

也即矩阵可以分解为

矩阵的满秩分解定义6．2设若存在秩为的矩阵，使得

则称其为的一个满秩分解.注：（1）为列满秩矩阵，即列数等于其秩；为行满秩矩阵，即行数等于其秩．（2）矩阵的满秩分解不唯一，对任意阶可逆方阵,都有

其中且矩阵的满秩分解矩阵的满秩分解定义

矩阵的满秩分解定理6．4任何非零矩阵都存在满秩分解．证：设采用构造性证明方法．由矩阵的初等变换理论知，则存在阶初等矩阵，使化为阶梯形矩阵，即

其中是行满秩矩阵．记,则可逆，于是并把写成下面的分块形式

其中,即是列满秩矩阵．因此可得的一个满秩分解

矩阵的满秩分解定理的证明过程表明，可以使用矩阵的初等变换求解满秩分解，具体总结如下：因为因此有可逆矩阵，使得

从而

行满秩矩阵和可逆矩阵可通过下面的初等变换求得：

其中，为的前列，是矩阵化为阶梯形矩阵中的非零行，进而得.

矩阵的满秩分解例6.4求矩阵的满秩分解解矩阵的满秩分解求得取的前两列构成，则定理6.4虽然能够求出的满秩分解，但需要求，进而得到，而求逆矩阵有时是比较麻烦的，为此，介绍另一种满秩分解的方法．设则有个线性无关的列向量，不妨设前个列向量线性无关．于是后个列向量均可以表示为前个列向量线性组合．用分块矩阵表示就是（6-5）其中是的前个列向量构成的列满秩矩阵，是一个阶矩阵，于是（6-6）其中，是行满秩矩阵．具体分解方法总结如下：对进行初等行变换化为行最简型矩阵，再跟据中单位矩阵对应的列，找出矩阵中对应列向量令，则列满秩.则

就是的一个满秩分解．矩阵的满秩分解矩阵行最简形求满秩分解矩阵的满秩分解例6.5求矩阵的一个满秩分解解矩阵的满秩分解故，的前两列构成单位矩阵，因此的前两列构成矩阵，取

因此的满秩分解为

矩阵的满秩分解定理6.5设则下列结论成立（1）与都是半正定Hermite

矩阵；（2）证明因为所以是Hermite矩阵，并且都有

故是半正定矩矩阵．同理可证也是半正定矩阵．（2）只要证明即可.这只需要证明线性方程组与同解就可．事实上，设是的解，显然也是的解．反之，设

是的解，则，从而，即，故，即是的解．所以线性方程组与的基础解系所含向量的个数相等，故，从而同理可证矩阵的满秩分解行满秩矩阵或列满秩矩阵的性质推论6.3

设，则当且仅当证明:充分性显然．必要性因为，则由定理6.5中的(2)可得,故.

推论6.4设，则下列结论成立（1）若列满秩，则可逆，从而方程组有

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