高考文科数学解析几何练习题+导数训练题+经典过关试题附答案+模拟试卷

高考文科数学解析几何练习题

+导数训练题+经典过关试题附答案+模拟试卷

解析几何单元易错题练习（附参考答案）

一.考试内容：

椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程.

双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质.

抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质.

二.考试要求：

掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.

掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.

掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.

了解圆锥曲线的初步应用.

【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型

的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位

置关系的问题.

三.基础知识：

椭圆及其标准方程

椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点6、尸2的距离的和大于|A居|这个条

件不可忽视.若这个距离之和小于|巴尸2则这样的点不存在；若距离之和等于|£尸2|,

则动点的轨迹是线段

2TV/

2.椭圆的标准方程：b~>Z?>o）,a~b~（fl>Z?>0）.

3.椭圆的标准方程判别方法:判别焦点在哪个轴只要看分母的大小:如果/项的分母大于V

项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.

4.求椭圆的标准方程的方法：（1）正确判断焦点的位置；（2）设出标准方程后，运用待定系数

法求解.

椭圆的简单几何性质

K+g=l

椭圆的几何性质：设椭圆方程为〃2产（a>b>o）.

（1）范围：-aWxWa,-bWxWb,所以椭圆位于直线x=±。和y=土力所围成的矩形里.（2）对

称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.

（3）顶点：有四个.（a0）、4（a,0）与（0,七）、B?（o,b）.

线段4%2、修殳分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫

做椭圆的长半轴长和短半轴长.所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.

⑷离心率：椭圆的焦距与长轴长的比。叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程

度.OVeVl.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于。时，椭圆就越接近于圆.

2.椭圆的第二定义

_c

（1）定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数。（e

Vl=时，这个动点的轨迹是椭圆.

--十----1

⑵准线：根据椭圆的对称性，/〃（。>匕>0）的准线有两条，它们的方程为

2）2

X=二+三=1

C.对于椭圆。2b2（a>b>0）的准线方程，只要把X换成y就可以了，即

C.

3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.

，।y2_]

设K（-c,0）,“2（C,0）分别为椭圆。2b23>b>0）的左、右两焦点，M（X,

y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为眼周=0+夕""周二"一百

椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.

椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有〃，/+/、。两个关系，因此确定椭圆的标准

方程只需两个独立条件.

4.椭圆的参数方程

丫22\x=aco^0

_2_=1<

椭圆。2+b1的参数方程为Iy二AinO（9为参数）.

说明（D这里参数o叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角0与直线OP的倾斜角a不同:

b八

tan«=—tan0

1+£=1

（2）椭圆的参数方程可以由方程一〃与三角恒等式COS?夕+5皿2夕=1相比较而得

22

=+==13">0）

到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.92.椭圆。3的参数方程是

x=acos3

《

y=bs\nO

5.椭圆的的内外部

x-222

--+当=l(〃>b>0)=鸟+与<1

（1）点尸3。'打）在椭圆"b的内部/b-

（2）点P{X0'%）在椭圆/卡从-IS>>0）的外部0H+/>1.

6.椭圆的切线方程

x2y2...八、yy1

+=1+-o=1

TTT（^>^>0）p（）2^-

椭圆。b上一点r%'%）处的切线方程是。b

x2y2

—+2^=\(a>b>0)

(2)过椭圆々b外一点P（X。，％）所引两条切线的切点弦方程是

Xy

-7y=1（〃>6>。）ADZ-，n〉〉〉〉、

（3）椭圆/力与直线井+B）'+C=O相切的条件是A~a-+3%-=c

双曲线及其标准方程

双曲线的定义：平面内与两个定点匕、“2的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|6「2|）

的动点”的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a<|匕&这一条件可以用“三

角形的两边之差小于第三边“加以理解.若2a=|匕尸2],则动点的轨迹是两条射线；若2a

>声尸2|,则无轨迹.

若周时，动点”的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若明用」“用时，轨迹

为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.

/y2y2/

双曲线的标准方程：/川和〃2b?（a>0,b>0）.这里其中

|乙乙|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.

3.双曲线的标准方程判别方法是：如果一项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果）J项的

系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b,因此不能像椭圆那样，通过比

较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.

4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，

运用待定系数法求解.

双曲线的简单几何性质

，/C

---------1e=-

双曲线^的实轴长为2a,虚轴长为2b,离心率。＞1,离心率e越大，双曲

线的开口越大.

x2y2x2y2

--TT=y=±—X--TT=0

双曲线如b的渐近线方程为。或表示为b-.若已知双曲线的渐

,m

y=±-x_

近线方程是〃，即〃优士那n么双曲线的方程具有以下形式：

m2x2-n2y2=k其中k是一个不为零的常数.

双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常

占_q=1

2八2-1

数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线。,它的焦点坐标是（-c,0）

a2a2

x-----x——

和（c,0）,与它们对应的准线方程分别是C•和C.双曲线

===1(。>00>0)

b~的焦半径公式

22

\PF]=le(x+—)\\PF2\=\e(--x)\

9・

双曲线的内外部

P(\鸟一£-1(々>0,6>0)0司_耳

点了@0,No)在双曲线4b~的内部才b-

2222

点尸（"0）在双曲线＞方=叱。…）的外部=今一患＜1

双曲线的方程与渐近线方程的关系

兰-亡=1x2

--77=0<=>y=±—x

（1）若双曲线方程为/b-=渐近线方程:b-a

二士纥^±2=o=x

若渐近线方程为aQab=双曲线可设为。b

二-2=1二-乙=九

若双曲线与//有公共渐近线，可设为//（入焦点在x轴上,

入〈°,焦点在y轴上).

双曲线的切线方程

=-《二1(。>0,力〉0)

双曲线。一厅上一点P(x。，为)处的切线方程是a2b2

22

~i—=1(。>0,b>0)pz、

(2)过双曲线〃-扩外一点所引两条切线的切点弦方程是

v.)v=1

a2b2

—2---=1(。>0,8>0)ADCI

(3)双曲线。b与直线人反■“寸©相切的条件是

4储一丽二。2

抛物线的标准方程和几何性质

1.抛物线的定义：平面内到一定点(F)和一条定直线(I)的距离相等的点的轨迹叫抛物

线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线I叫抛物线的准线。

需强调的是，点F不在直线I上，否则轨迹是过点F且与I垂直的直线，而不是抛物线。

2.抛物线的方程有四种类型：

2222

y=2Px、y=-2px、x=2py、x=-2py・

对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一

次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向X轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲

线的开口方向向x轴或y轴的负方向。

3.抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例

(1)范围：x20；

(2)对称轴：对称轴为y=0,由方程和图像均可以看出；

(3)顶点；O(0,0),注；抛物线亦叫无心圆锥曲线(因为无中心)；

(4)离心率：e=l,由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；

x__E

(5)准线方程2.

(6)焦半径公式：抛物线上一点P(xl,yl),F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半

径公式分别为(p>0)：

22

y=2px:\PF\=x]+^-\y=-2px:\PF\=-x^^~

22

2

d=2py:|PF|=y1+|;x=-2py:\PF\=-yi+^

(7)焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过

抛物线y2=2px(p>0)的焦点FH勺弦为AB,A(xl,yl),B(x2,y2),AB的倾斜角为a,

则有①|AB|=x〔+x?+p

@|AB|=—

sina

以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。

(8)直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x2+bx+c=O,

当a#0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0,

则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个

公共点。

4.抛物线产=2px上的动点可设为p(2p'",£P(2p/2,2p3p(2),其中

丁=2px

"t4ac-b?

y=ax2\bx\c=a(xI

5.二次函数”2。4a(4工°)的图象是抛物线：(i)顶点坐标

b4ac~b2b4ac-Z?2+1

III

为(2)焦点的坐标为2/4a.(3)准线方程是

4ac-b2

y二;

4a

6.抛物线的内外部

点尸(%，%)在抛物线/=2Px(P>°)的内部oVv2PMp>0)

点尸(与，为)在抛物线/=2*(”0)的外部=尸>2px(p>0)

2

点P(x。，为)在抛物线J=-2px(p>0)的内部=V<-2px(p>0)

点尸(/，%))在抛物线V=-2px(p>0)的外部0y2>-2px(p>0)

点P(%，%)在抛物线f=2py(p>。)的内部=/v2p)，(p>0)

点产(%，为)在抛物线/=2〃y(P>0)的外部<=>x2>2py(p>0)

点P(%，%)在抛物线f=2py(p>0)的内部=d<2py(p>0)

点P5,%)在抛物线-=-2py(p>0)的外部oV>_2py(p>0)

7.抛物线的切线方程

抛物线V=2Px上一点尸(%,%)处的切线方程是%y=P(x+%).

（2）过抛物线V=2px外一点P（%,y0）所引两条切线的切点弦方程是%），=pa+%）（3）

抛物线V=2PMp>0）与直线Ax+By+C=o相切的条件是P^2=2AC

（六）.两个常见的曲线系方程

过曲线工（苍y）=0/（%y）=°的交点的曲线系方程是

/a，y）+"a，y）=°（a为参数）.

22

厂।厂一122

共焦点的有心圆锥曲线系方程/一改从-&，其中&<max{/,从}当

k>min{〃,〃}时，表示椭圆；当）<^<max{/,〃}时,表示双曲线.

直线与圆锥曲线相交的弦长公式|AB|=也-工2）-+（x-片厂或

I=J（1+A）（工2—x）2=1x-1Jl+tan2a=|M-%|J1+coFa（弦端占

y=kx+b

人（项，必）,8。2，力），由方程1F（x,y）=°消去y得到“+版+C=0,A>。,。为直线

A8的倾斜角，女为直线的斜率）.

（八）.圆锥曲线的两类对称问题

（1）曲线/（乂）'）=0关于点P（％/。）成中心对称的曲线是尸（2%）女2%一丁）=0

（2）曲线厂（苍y）二°关于直线石+5），+C=0成轴对称的曲线是

-2A{Ax+By+C）2B{Ax+By+C\八

A（X------72~^2----，y------72~^2----）二U

A~+A?+B

四.基本方法和数学思想

32

工+汇=1

2

椭圆焦半径公式：设P（xO,yO）为椭圆标b（a>b>0）上任一点，焦点为Fl（-c,0）,F2（c,0）/

则归耳=。+穴"闾=a一穴（e为离心率）；

双曲线焦半径公式：设P（xO,yO）为双曲线6r方（a>0,b>0）上任一点，焦点为

Fl（-c,0）,F2（c,0）,则：

（1）当P点在右支上时，归耳1=。+气"用=一。十用;

(2)当P点在左支上时，忸器।二一“一气」尸用二。一气;(e为离心率)；

2212

x__y_1__2_=o

另：双曲线滔"立一=1(a>0,b>0)的渐进线方程为方正一；

抛物线焦半径公式：设P(xO/YO)为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F为焦点，则

2；y2=2px(pV0)上任意一点，F为焦点，2；

涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；

,b/俨_】

共渐进线一。的双曲线标准方程为b1为参数，2^o)：

计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，

一般地，若斜率为k的宜线被圆锥曲线所截得的弦为AB,A、B两点分别为A(xl,yl)、B(x2,y2),

则弦长Mq"J"公1|^2~引=”+公)3+/)2-4+2]

1+产口2fl=(1+正)[(必+必)--4,p2]

，这里体现了解析几何“设而不求”的解

题思想;

椭圆、双曲线的通径(最短弦)为〒,焦准距为p=C，抛物线的通径为2p,焦准距为

二_zl=i

2

p;双曲线/b(a>0,b>0)的焦点到渐进线的距离为b;

中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax2+Bx2=l；

抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)为AB,A(xl,yl)、B(x2,y2),则有如下结论：(1)

—

''=xl+x2+p;(2)yly2=—p2,xlx2=4；

片+片-1IH

过椭圆不下一(a>b>0)左焦点的焦点弦为AB,则陷=2々+6(芭+/)，过右焦点的

妨同=2a一直西+5).

对于y2=2px(pW0)抛物线上的点的坐标可设为(2P,y0)，以简化计算；

处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(xl.yl)、B(x2,y2)为椭圆

/Vb2

----+—=I—-----

/b-3b>0)上不同的两点，M(xO,yO)是AB的中点，则KABKOM=/；对于双曲

/y2।b2

线。2类似可得：对于抛物线有

2b（a>0,b>0）,KAB.K0M="2：y2=2px（pW0）KAB=

2P

兄+%

求轨迹的常用方法：

（1）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F（x,y）=O,是求轨迹的最基本的方法；

（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所

求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；

<3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P（x,y）依赖于另一动点Q（xl,yl）的变化而变化，

并且Q（xl,yl）又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示xl、yl,再将xl、yl带入已

知曲线得要求的轨迹方程；

（4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写

出方程；

（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可

考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。

例题1求过点（2,1）且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程。

率=1

错解：设所求直线方程为。bO

21।

—4—=1

・・・（2,1）在直线上，・•・。力，①

—ab=4

又2,即ab=8,②

由①、②得a=4,b=2。故所求直线方程为x+2y=4。

剖析：本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示c上述解法中，由于对

截距概念模糊不清，误将直线在x轴和y轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。

事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为5时回，而不是Wo。

故所求直线方程应为：

x+2y=4,或（&+1）x-2（亚-1）y-4=0,或（拒-1）x-2（拒+1）y+4=0。

例题2求过点A（-4,2）且与x轴的交点到（1,0）的距离是5的直线方程。

2

错解：设直线斜率为k,其方程为y-2=k（x+4）,则与x轴的交点为0）,

:.k，解得k=-5。故所求直线的方程为x+5y-6=0。

剖析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A且垂直于x轴的

直线，落入“陷阱”。其实x=-4也符合题意。

例题3求过点(1,1)月.横、纵截距相等的直线方程。

XV1

----1----—1

错解：设所求方程为。Q，将(1,D代入得a=2,

从而得所求直线方程为x+y-2=0。

—।——1

剖析：上述错解所设方程为。〃，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上，横、

纵截距为0且过点(1,1)的直线y=x也符合条件。

例题4已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=O,一定点为A(1,2),要使过A点作圆的

切线有两条，求a的取值范围。

a4-3fl2

错解：将圆的方程配方得：(x+2)2+(y+l)2=4。

a,4-342

•・•其圆心坐标为C(一2,—1),半径r=丫4。

当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，则>r。

J(l+9+(2+4

即V2><4。即a2+a+9>0,解得a£R。

剖析：本题的“陷阱”是方程乂2+丫2+2乂+2丫+22=0表示圆的充要条件，上述解法仅由条

件得出MO>r,即a2+a+9>0,却忽视了a的另一•制约条件4-3a2>0。

二乙2再

事实上，由a2+a+9>。及4-3a2>0可得a的取值范围是(33)。

例撅5已知直线L：y=x+b与曲线C：丫="-£有两个公共点，求实线b的取值范围。

y=x+Z?,

*

错解：由〔'=41一’消去x得：2y2-2by+b2-l=0。(*)

丁L与曲线C有两个公共点，・•・A=4b2-8(b2-l)>0,解得一枝Vb<J^

剖析：上述解法忽视了方程y中y》o,一iwxW1这一限制条件，得出

了错误的结论。

事实上，曲线C和直线L有两个公共点等价于方程(*)有两个不等的非负实根。

A=4b2-8(b2-l)>0

-2b八

y.+y2=-—>°

b2-\

解得1Wb0叵。

例题6等腰三角形顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨

迹方程。

错解：设另一个端点的坐标为(x,y),依题意有：

用」的，即：J(X-4)2+“-2)2=J(4—3)2+(2—5)2

(x-4)2+仅・2)2=10即为C点的轨迹方程。

这是以A(4,2)为圆心、以为半径的圆。

剖析：因为A、B、C三点为三角形三个顶点，所以A、B、C三点不共线，即B、C不能重合,

且不能为圆A一直径的两个端点，这正是解题后没有对轨迹进行检验，出现增解，造成的

解题错误。

x+3

w4

X。3且匕

2

事实上，c点的坐标须满足3工5,。

故端点C的轨迹方程应为(x-4)2+(y-2)2=10(乂。3,产5；x*5zy*-l)o

它表示以(4,2)为圆心，以可为半径的圆，除去(3,5)(5,-1)两点。

5x+3y<15

y<1

x-5y<3

例题7求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x，丫满足约束条件:

错解：作出可行域如图1所示，过原点作直线L0：3x+5y=0o

由于经过B点且与L0平行的直线与原点的距离最近，

剖析：上述解法中，受课本例题的影响，误认为在对过原点的直线L0的平行移动中，与原

点距离最大的直线所经过的可行域上的点，即为目标函数Z取得最大值的点。反之，即为Z

取得最小值的点，并把这一认识移到不同情况中加以应用，由此造成了解题失误。

事实上，过原点作直线LO：3x+5y=0,由于使z=3x+5y>0的区域为直线L0的

右上方，而使z=3x+5y<0的区域为L0的

左下方。由图知：z=3x+5y应在A点取得最大值，在C点取得最小值。

y=x+1

解方程组［x-5y=3,得c(—2,-1)O

...z最小=3X(-2)+5X(-1)=-llo

例题8已知正方形ABCD对角线AC所在直线方程为丁二1.抛物线/*)=/+公+。过

B,D两点

(1)若正方形中心M为(2,2)时，求点N(b,c)的轨迹方程。

(2)求证方程〃幻="的两实根再，马满足1的一马1>2

解答：(1)设3(2+s,2-s),D(2-s,2+s),s

2+s=(2—S)2+b(2—S)+c

因为B,D在抛物线上所以〔2-S=(2+S)2+b(2+S)+c两式相减得

2s=-8s-2sb则人=-5代入(1)

得2+s=512—4s+4—10+5s+cc=8—s2V8

故点"Ac)的方程x=-5(y<8)是一条射线。

(2)设3。+5"-5),。。-5"+5)5工0

f+S=(f+Z?。-S)+C(1)

<

同上f—s=(/+s)~+6(/+s)+c(2)

b+\

⑴.(2)得2⑶

(1)+(2)得『+3-1»+/+。=0(4)

2b2-\(Hl)?

52=--------C>0n

(3)代入(4)消去f得24

得("一1尸一4c>4又/(x)=xgpx2+(b-\)x+c=0的两根玉,£满足

%1+x2=1-/?玉•占=c

22

xx-x21=（%+x2）-4X[X2=（b--4c＞4

故I%-小＞2。

易错原因：审题不清，忽略所求轨迹方程的范围。

1,

斤户py~—3+1）~+[

例题9已知双曲线两焦点其中♦为4的焦点，两点A（-3,2）B（1,2）

都在双曲线上，（1）求点6的坐标；（2）求点名的轨迹方程，并画H轨迹的草图；（3）若

宜线与K的轨迹方程有且只有一个公共点，求实数t的取值范围。

解答：⑴由'一Z“+i）+1得：（%+i）2=T（yT）,故耳（T，°）

（2）设点玛《）’）’则又双曲线的定义得牝|快0

又|46|旦4耳|=2夜

IAF2H"2I或I鸟川+1鸟8wA£|+|8用=4应

•••点鸟的轨迹是以A8为焦点的椭圆

（x+l）2।（y-2）、]

・.・x+l=°除去点（T°）＜T4）或84除去点

（-1,0）,（-1,4）图略。

y=x+t

.（x+l）2।（y-2）]

（3）联列：84消去丁得

（x+1）?+2（x+£—2y=8整理得.+（4,一6）元+2f2—8f+1=0

当二°时得，=3±2百从图可知：，£（YO,3-2石）53+2后+8）,

又因为轨迹除去点（一1，°），（一1，4）所以当直线过点（一1，°），6L4：时也只有一个交点，即

，二1或5

二，£（-oo,3-2百）u（3+26,+oo）kj{l,5）

易错原因：（1）非标准方程求焦点坐标时计算易错；（2）求点’2的轨迹时易少种情况;

(3)对有且仅有一个交点误认为方程只有一解。

例题io已知圆a：%+»'=1,圆°2：/+》-1°1+9=°都闪切于动圆，试求动画

圆心的轨迹方程。

错解：圆02：,+/一10x+9=°,即为(x-5)2+y2=16

所以圆。2的圆心为°2(5。),半径弓二4,

而圆a-x2+y2=i的圆心为a(o,°)泮径。=1,

设所求动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r

则TQM|+1且”15〃1乜所以|。附|一|。2M1=3

即Jx?+y?-y](x—5)2+y~=3,化简得16x?—80x—9y2+64=0

即4为所求动圆圆心的轨迹方程。

剖析：上述解法将1702M片看成IT。2Mli=3,误认为动圆圆心的轨迹

为双曲线，这是双曲线的概念不清所致。

事实上，|°幽T°2M1=3表示动点乂到定点°】及°2的距离差为一常数3。

/5、，

('-5V

—_一亍=心")

且10021=5>3,点乂的轨迹为双曲线右支，方程为4

盛,3)

例题11点P与定点F(2,0)的距离和它到直线x=8的距离比是1：3,求动点P与定点4

距离的最值。

\PF\=\

错解：设动点P(x,y)到直线x=8的距离为d,则d3?

•J(x-2)2+y2_1

即次一813

£

十9

2一

两边平方、整理得

(x--)2=(l--y2)x2

由此式可得：49"

ipqi=Ja_》2+(y_3)?(l-1/)x(^)2+(y-3)2

因为V4

1,〜、21377

盛("24)+行

所以四心

剖析由上述解题过程知，动点P（x,y）在一椭圆上，由椭圆性质知，椭圆上点的横纵坐标都是

--y[2<y<-y[2

有限制的，上述错解在于忽视了22这一取值范围，由以上解题过程知,

16Pl的最值可由二次函数在区间上的单调性给予解决

即：当、=《正时，丹扃=3+|拉

X2V2

2T=1（。>0/>0）

例题12已知双曲线。方的离心率©=过点A（0，％和晌。）

V3

的直线与原点的距离为2,直线忏kx+m（"0°，加工°）与该双曲线交于不同两点C、D,且

C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m的取值范围。

⑶24

e2=1+

3

ab_y/3

2解之得：/nN/=1

错解由已知，有

厂21

------y=1

所以双曲线方程为3

把直线y=kx+m代入双曲线方程，并整理得：（1-3左2）/-6%的一3"2-3二0

所以△=/+1—3左2>0(1)

3kmtn

1-3^2，？0-1-3^2

设CD中点为则AP^CD,且易知:

所以l-3k2=>3k2=4/n+l（2）

将⑵式代入⑴式得疝->°解得m>4或相<°

故所求m的范围是相£（一8,0）U（4,+8）

剖析上述错解，在于在减元过程中，忽视了元素之间的制约关系,

.2+1

K.="

将3代入（1）式时，m受k的制约。

2m>———<w<0

因为％>°所以4故所求m的范围应为m>4或4

石n3

例题13椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率2,已知点p（2）到椭圆上

的点最远距离是S,求这个椭圆的方程。

-+TV=1（。>b>0）

错解设所求椭圆方程为少b

2=2三=目=；

因为。V。2,所以a=2b

——4-^—=1

于是椭圆方程为4/b2

3

（0,A

设椭圆上点M（x,Y）到点P2的距离为d,

d~=x2+(y--)2=4Z?2(l-^-)+y2-3y+-=-3(y+-)2+4/72+3

则：42

'-2时，有d2max=4/+3=7,Z?=1

所以当

2

X2

—y

所以所求椭圆方程为4

~7+>力>。）/八

剖析由椭圆方程"b-得一。Sy"

1

由⑴式知/是v的二次函数，其对称轴为2

上述错解在于没有就对称轴在区间［一反句内或外进行分类,

-3(y+-)2+4/+3

其正解应对f(y)=2的最值情况进行讨论:

-b<--b>—

(1)当2,即2时

1工2

^=/(--)=4^2+3,।—+/=1

2=7="=1,方程为4

--<-bb<-

(2)当2,即2时,

3\_\_

d?max=f(-b)=7=b=拒22,与2矛盾。

X29

—+y~=1

综上所述，所求椭圆方程为4

U=1

例题15已知双曲线2，问过点A(1,1)能否作直线/，使/与双曲线交于P、Q

两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线/的方程，若不存在，说明理由。

错解设符合题意的直线/存在，并设尸(吊，电)、°(七，)’2)

再2吟=1(1)

V

--¥=i⑵

则i2

⑴.⑵得372)5+/厂3(弘72)(,+必乂3)

x+x=2(4)

V12

因为A(l,1)为线段PQ的中点，所以〔必十%二2(5)

七一冗2=1(M一%)

将⑷、⑸代入(3)得

^^1=2

若X工々，则直线/的斜率/一超

所以符合题设条件的直线/存在。其方程为21一丁一1二°

剖析在（3）式成立的前提下，由（4）、（5）两式可推出⑹式，但由⑹式不能推出（4）（5）两

式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。

y=2x-i

_）产T

应在上述解题的基础上，再由12得2x-4x+3=0

根据△=-8v。，说明所求直线不存在。

c；（x-l）i+/=1

例题15已知椭圆43,F为它的右焦点，直线/过原点交椭圆C于A、B

两点。求1尸4”歹团是否存在最大值或最小值？若不存在，说明理由。

错解设A、B两点坐标分别为（/，%）、（/，为）

c\a2

22f-1-----1-g=—=——=4

因为〃~=4,"=3,所以c=、。一匕=1,a2'c

\FA\1

■=—

又椭圆中心为（1，0）,右准线方程为x=5,所以5一42

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