河南省平顶山郏县2024-2025学年下学期八年级数学期中测试卷（原卷版+解析版）

2024~2025学年下学期期中学情检测八年级数学注意事项：1．本试卷共4页，三个大题，满分125分，其中试题120分，卷面5分，考试时间100分钟．2．本试卷上不要答题，按答题卡上注意事项的要求把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效．3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳4个标志，其中是中心对称图形的是（）．A. B. C. D.2.若，下列各式中错误的是（）A. B. C. D.3.平面直角坐标系中，点坐标，将点向右平移5个单位长度得到的对应点的坐标是（）A. B. C. D.4.用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应先假设这个直角三角形中（）A.有一个锐角小于B.每一个锐角都小于C有一个锐角大于D.每一个锐角都大于5.有下列命题：①两直线平行，内错角相等；②若，则；③相等的角是对顶角；④等边三角形的其中一个角是，它们的逆命题是真命题的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.7.下列说法正确的是（）A.等边三角形中只有两个内角相等B.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等C.到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上D.有两条边及其中一条边的对角分别相等的两个三角形全等8.过射线上一点分别向的两边作垂线，得到垂线段与，若垂线段，则可以得到一对全等三角形，为了证明，运用到的全等三角形判定定理是（）A B. C. D.9.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（）A.10 B.12 C.9 D.610.风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，每小题3，共15分）11.在平面直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点是____________．12.如果不等式组无解，那么取值范围是____________．13.如图，在中，，，作边的垂直平分线，交于点，交于点．若，则的长为____________．14.一商家进了一批商品，进价为每件元，如果要保持销售利润不低于，则售价不低于______．15.如图，已知正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将线段绕点E旋转得到线段，连接，当时，的长为______．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16.解不等式组（1）（2）17.如图，已知线段，．求作：，使，高．（不写作法，保留作图痕迹）18.如图所示，各顶点坐标为，，将先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到．（1）在图中画出；（2）直接写出的坐标；（3）如果将看成是由经过一次平移得到的，请直接指出这一平移的平移方向（平移的方向可看作某条直线）和距离．19.如图，是的角平分线，，交于点E．（1）求证：．（2）当时，请判断与的大小关系，并说明理由．20.在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如下图），两直线交于点，分别与轴交于两点．已知点，观察图象并回答下列问题：（1）关于的方程的解是____________；关于的不等式的解集是____________．（2）若点的坐标为，直接写出关于的不等式的解集并求出的面积．21.如图，已知四边形中，为边上的一点，，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿边向点运动，连接，设点运动的时间为．（1）求的长；（2）若为等腰三角形，且为其中一条腰，求的值．22.河南省整合全省文旅资源，推出特色活动和优惠政策，省内100多家景区提供门票减免和打折优惠，某校组织315名师生进行研学游，行李共180件．现有甲、乙两种型号的汽车，学校计划租用甲、乙两种汽车共10辆，已知1辆甲种汽车最多能载30人和20件行李，1辆乙种汽车最多能载35人和15件行李．（1）请写出所有可能的租车方案．（2）若1辆甲种汽车的租金是400元，1辆乙种汽车的租金是450元，请写出租金最少的租车方案，并求出租金．23.综合与实践—探究特殊三角形中的相关问题．问题情境：某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置．现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转（0°＜＜90°），如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．（1）初步探究：勤思小组的同学提出：当旋转角=时，△AMC是等腰三角形；（2）深入探究：敏学小组的同学提出：在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明；（3）拓展延伸：在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，请求出旋转角度数；若不能，请说明理由．

2024~2025学年下学期期中学情检测八年级数学注意事项：1．本试卷共4页，三个大题，满分125分，其中试题120分，卷面5分，考试时间100分钟．2．本试卷上不要答题，按答题卡上注意事项的要求把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效．3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳4个标志，其中是中心对称图形的是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出答案．【详解】解：A、此图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、此图形是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意．

故选：C．【点睛】此题主要考查了中心对称图形的定义，关键是找出图形的对称中心．2.若，下列各式中错误的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了不等式的性质．根据不等式的性质，逐项判断即可求解．【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意；B、若，则，故本选项不符合题意；C、若，则，故本选项不符合题意；D、若，且，则，故本选项符合题意；故选：D3.平面直角坐标系中，点坐标，将点向右平移5个单位长度得到对应点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查坐标与图形的变化，将点的横坐标加，纵坐标不变即可求解．【详解】解：点坐标，将点向右平移5个单位长度得到的对应点的坐标是，故选：C．4.用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应先假设这个直角三角形中（）A.有一个锐角小于B.每一个锐角都小于C.有一个锐角大于D.每一个锐角都大于【答案】D【解析】【分析】本题考查反证法．熟练掌握反证法的第一步，假设结论不成立，是解题的关键．用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设每一个锐角都大于．故选：D．5.有下列命题：①两直线平行，内错角相等；②若，则；③相等的角是对顶角；④等边三角形的其中一个角是，它们的逆命题是真命题的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了逆命题的判定、平行线的性质、等边三角形的性质等知识点，理解相关性质是关键.先写出各命题的逆命题，再对逆命题的真假进行判断即可．【详解】解：①两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题；②若，则的逆命题是若，则，是假命题；③相等的角是对顶角的逆命题是对顶角是相等的角，是真命题；④等边三角形的其中一个角是的逆命题是有一个角是三角形的是等边三角形是假命题；它们逆命题是真命题的个数是2个.故选B.6.已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据点在第二象限，得到，求出解集并表示在数轴上，即可得到答案．【详解】解：∵点在第二象限，∴，解得，将解集表示在数轴上为，故选：A．【点睛】此题考查了直角坐标系中点坐标的特点，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，综合掌握各知识点是解题的关键．7.下列说法正确的是（）A.等边三角形中只有两个内角相等B.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等C.到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上D.有两条边及其中一条边的对角分别相等的两个三角形全等【答案】B【解析】【分析】本题考查了命题的真假判断，结合等边三角形的性质、角平分线性质定理和判定定理、全等三角形的判定，逐项判断即可，熟练掌握知识点判断是解题的关键．【详解】解：A、等边三角形中三个内角都相等，为，原说法不正确，故不符合题意；B、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，即角平分线的性质定理，说法正确，故符合题意；C、正确应为“角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”，原说法不正确，故不符合题意；D、有两条边及其中一条边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，原说法不正确，故不符合题意；故选：B．8.过射线上一点分别向的两边作垂线，得到垂线段与，若垂线段，则可以得到一对全等三角形，为了证明，运用到的全等三角形判定定理是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，利用证明直角三角形全等是解题的关键．【详解】解：∵过射线上一点分别向的两边作垂线，得到垂线段与，∴，又∵（公共边），（已知），∴，∴为了证明，运用到的全等三角形判定定理是，故选：D．9.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（）A.10 B.12 C.9 D.6【答案】C【解析】【分析】如图：过D作DF⊥AB于F,然后根据角平分线的性质可得DF=CD=3,然后再根据中点的定义求得BE的长，最后根据三角形的面积公式求解即可．【详解】解：如图：过D作DF⊥AB于F,∵∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，∴DF=CD=3∵点E为AB的中点，AB＝12∴BE=AB=6∴△DBE的面积为．故选：C．【点睛】本题主要考查了角平分线定理、中点的定义、三角形的高等知识点，作出△DBE的高并运用角平分线定理求出成为解答本题的关键．10.风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标．【详解】解：如图．，在第一象限的角平分线上，叶片每秒绕原点顺时针转动，，，，，点的坐标以每4秒为一个周期依次循环，，第时，点的对应点的坐标与相同，为．故选：．二、填空题（本大题共5小题，每小题3，共15分）11.在平面直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点是____________．【答案】【解析】【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】解：点关于原点成中心对称的点是，故答案为：．12.如果不等式组无解，那么的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，不等式组中两个不等式的解集满足“大大小小找不到”不等式组无解，据此可得答案．【详解】解：∵不等式组无解，∴，故答案为：．13.如图，在中，，，作边的垂直平分线，交于点，交于点．若，则的长为____________．【答案】【解析】【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，30度角的直角三角形的性质和勾股定理；根据题意得出，进而根据30度角的直角三角形的性质和勾股定理，即可求解．【详解】解：，，，是的垂直平分线，，，，，∵，∴，∴，故答案为：．14.一商家进了一批商品，进价为每件元，如果要保持销售利润不低于，则售价不低于______．【答案】元【解析】【分析】利润不低于，利润率，据此列出不等式求解即可．【详解】设售价应元，则，解得，所以售价应不低于元．故答案：元．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用．解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，及所求量的等量关系．15.如图，已知正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将线段绕点E旋转得到线段，连接，当时，的长为______．【答案】或【解析】【分析】本题分两种情况：①点F在左侧，②点F在右侧，讨论即可．【详解】∵正方形的边长为2，点E是边BC的中点，∴．在中，由勾股定理，得．在中，由勾股定理，得．由旋转的性质，可知，∴．由题意，可知需分以下两种情况讨论．①当点F在右侧时，过点F作交的延长线于点G，如图所示，，．∴．∵，，∴．∴，．∴．∴在中，由勾股定理，得．②当点F在左侧时，过点F作交的延长线于点H，如图所示．同①，可知．∴，．∴．∴在中，由勾股定理，得．综上所述，当时，的长为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识．明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16.解不等式组（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的方法是解题的关键．（1）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可；（2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【小问1详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为；【小问2详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为．17.如图，已知线段，．求作：，使，高．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】见详解【解析】【分析】本题考查了作图——尺规作图，作已知底边和高作等腰三角形，以点B为端点画射线，以B为圆心，以a为半径画弧交射线于点C；以点B为圆心，以大于为半径画弧，以点C为圆心以相同长度为半径画弧，连接两个交点交于于点D；以点D为圆心，以h为半径画弧交直线于点A；连接，，即可．【详解】解：如下图所示：18.如图所示，的各顶点坐标为，，将先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到．（1）在图中画出；（2）直接写出的坐标；（3）如果将看成是由经过一次平移得到的，请直接指出这一平移的平移方向（平移的方向可看作某条直线）和距离．【答案】（1）见详解（2）（3）平移的平移方向可以为沿的直线，平移的距离为：【解析】【分析】本题考查的是作图—平移变换．（1）根据题意找到点A，B，C的对应点，，，即可求解；（2）由（1）先写出，，的坐标，即可；先画出对应点，再根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可写出各点的坐标；（3）连接，根据勾股定理求出的长以及一次函数的解析式，进而可得出结论．【小问1详解】解：如下图所示：【小问2详解】解：【小问3详解】解：连接，如上图：由图可知，设的解析式为：，根据题意有：，解得：，则的解析式为：，∴如果将将看成是由经过一次平移得到的，那么这一平移的平移方向是由C到的直线，平移的距离是5个单位长度．19.如图，是的角平分线，，交于点E．（1）求证：．（2）当时，请判断与的大小关系，并说明理由．【答案】（1）见解析（2）相等，见解析【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；

（2）利用平行线的性质可得，

则AD=

AE，从而有CD

=

BE，由(1)

得，，可知BE

=

DE，等量代换即可．【小问1详解】证明：∵是的角平分线，∴．∵，∴，∴．【小问2详解】．理由如下：∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，即．由（1）得，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键．20.在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如下图），两直线交于点，分别与轴交于两点．已知点，观察图象并回答下列问题：（1）关于的方程的解是____________；关于的不等式的解集是____________．（2）若点的坐标为，直接写出关于的不等式的解集并求出的面积．【答案】（1），（2）不等式的解集是．的面积为【解析】【分析】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式．（1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案；（2）根据图象找到图象在图象上方所对应的x的范围，再利用三角形的面积公式求解即可．【小问1详解】解：一次函数和的图象，分别与轴交于点，关于的方程的解是，关于的不等式的解集，为，故答案为：，；【小问2详解】解：点的坐标为，由图象可知，不等式的解集是．，点，，．21.如图，已知四边形中，为边上的一点，，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿边向点运动，连接，设点运动的时间为．（1）求的长；（2）若为等腰三角形，且为其中一条腰，求的值．【答案】（1）10（2）t的值为4或5【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么，及用分类讨论的思想进行解答．（1）根据勾股定理计算即可；（2）分两种情况，根据勾股定理计算求解即可．【小问1详解】解：，，．，是直角三角形．，，；【小问2详解】①当时，，．．．②当时，如图，过点作，交于点．，，，．在中，．，是的中线．．．．综上所述，t的值为4或5．22.河南省整合全省文旅资源，推出特色活动和优惠政策，省内100多家景区提供门票减免和打折优惠，某校组织315名师生进行研学游，行李共180件．现有甲、乙两种型号的汽车，学校计划租用甲、乙两种汽车共10辆，已知1辆甲种汽车最多能载30人和20件行李，1辆乙种汽车最多能载35人和15件行李．（1）请写出所有可能租车方案．（2）若1辆甲种汽车的租金是400元，1辆乙种汽车的租金是450元，请写出租金最少的租车方案，并求出租金．【答案】（1）方案1：租用6辆甲种汽车，4辆乙种汽车；方案2：租用7辆甲种汽车，3辆乙种汽车．（2）租用7辆甲种汽车，3辆乙种汽车，所需租金为4150元．【解析】【分析】本题主要考查了不等式组的应用，解题的关键是根据不等关系，列出不等式，准确计算．（1）设租用辆甲种汽车，则租用辆乙种汽车，根据1辆甲种汽车最多能载30人和20件行李，1辆乙种汽车最多能载35人和15件行李，结合人数和行李数，列出不等式组，解不等式组即可；（2）分别求出两种方案所需要的租金，然后进行比较即可．【小问1详解】解：设租用辆甲种汽车，则租用辆乙种汽车，根据题意得：，解得：，又为正整数，可以为6，7，共有2种租车方案，方案1：租用6辆甲种汽车，4辆乙种汽车；方案2：租用7辆甲种汽车，3辆乙种汽车；【小问2详解】解：选择方案1所需租金为：（元）；选择方案2所需租金为：（元）．，租金最少的租车方案为：租用7辆甲种汽车，3辆乙种汽车，所需租金为4150元．23.综合与实践—探究特殊三角形中的相关问题．问题情境：某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置．现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转（0°＜＜90°），如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．（1）初步探究：勤思小组的同学提出：当旋转角=时，△AMC是等腰三角形；（2）深入探究：敏学小组的同学提出：在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明；（3）拓展延伸：在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，请求出旋转角的度数；若不能，请说明理由．【答案】（1）60°或15°（2）见解析（3）能，30°或60°