北师大版2025年八年级数学下册 期中易错题压轴题专项复习（考试范围：第1~3章）【28大题型】

期中易错题压轴题专项复习【28大题型】（考试范围：第1~3章）【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【易错篇】 2【考点1等腰三角形】 2【考点2等边三角形】 3【考点3含30度角的直角三角形】 4【考点4直角三角形全等的判定与性质】 5【考点5勾股定理与网格】 6【考点6利用勾股定理求值】 8【考点7赵爽弦图】 9【考点8勾股定理逆定理的应用】 11【考点9勾股定理的应用】 12【考点10线段的垂直平分线】 13【考点11角平分线】 14【考点12一元一次不等式】 15【考点13一元一次不等式组】 16【考点14图形的平移】 16【考点15图形的旋转】 18【考点16中心对称】 19【压轴篇】 20【考点17等腰三角形与图形变换】 20【考点18等腰三角形中的动态变化】 22【考点19等腰三角形中的存在性问题】 24【考点20等腰三角形中的最值问题】 25【考点21图形上与已知两点构成直角三角形的点】 27【考点22利用勾股定理构造图形解决问题】 28【考点23求立体图形的最短路径问题】 29【考点24不等式(组)的整数解问题】 31【考点25不等式组的有解或无解问题】 31【考点26利用不等式的基本性质求最值】 31【考点27方程与不等式（组）的实际应用】 32【考点28利用图形的变换设计图案】 33【易错篇】【考点1等腰三角形】【例1】（24-25八年级·河南新乡·期中）如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC；D是BC边的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，以下四个结论：①ED=FD；②△DEF是等边三角形；③△AEF是等腰三角形；④连接AD，AD垂直平分EF．其中正确的结论有(

)A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式1-1】（24-25八年级·吉林松原·期末）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，若∠A=∠ABE，BD=1，BC=3，则AC的长为．【变式1-2】（24-25八年级·海南省直辖县级单位·期末）如图，在△ABC中，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线．(1)若∠BED=60°，∠BAD=40°，求(2)若△ABC面积为40，AD=5，求AF的长．【变式1-3】（24-25八年级·河北石家庄·期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，A−3,0，∠OBC=60°，BC与y轴正半轴交于点C，且BC=4(1)B点的坐标是__________；(2)如图2，点P从点A出发，沿射线AB方向运动，同时点Q在边BC上从点B向点C运动，在运动过程中：①若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当△PQB是直角三角形时，求t的值；②若点P、Q的运动路程分别是a，b，当△PQB是等腰三角形时，求出a与b满足的数量关系．【考点2等边三角形】【例2】（24-25八年级·山西大同·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=12，BC=DC，∠A=60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE=8，则CF的长为（

A．6 B．5 C．4 D．3【变式2-1】（24-25八年级·浙江台州·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=4，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转得到△CDE，点D恰好在AB边上，连接BE【变式2-2】（24-25八年级·山西大同·期末）已知等边三角形ABC，D，E分别为边AB,BC的中点，连接DE；G为射线EB上的一个动点，以DG为边，并在其左侧作等边三角形DHG，连接BH．(1)如图1，若AB=4，DG⊥BC，HG与BD相交于点O，则DO=，∠HBG=°．(2)如图2，当点G在EB的延长线上时，①HB与GE有怎样的数量关系？并证明你的结论．②请计算∠HBC的度数．【变式2-3】（24-25八年级·安徽合肥·期末）点E为等边三角形ABC内一点，分别以AE、BE为边作等边三角形AEF、BDE．如图，DE与AB交于点H,DF与AB交于点G．则下列结论不一定成立的是（）A．DF=BC B．DFC．EG⊥AD D．∠ADE=∠ECF【考点3含30度角的直角三角形】【例3】（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=3，射线CD⊥BC，垂足为C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，则AB的长为（

）A．6.5 B．7 C．8 D．9【变式3-1】（24-25八年级·浙江台州·期末）如图，在等边三角形ABC中，BC=8，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式3-2】图①是一种矩形时钟，图②是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，若测量得时钟的长BC为48cm，则时钟的另一边AB的长为【变式3-3】（24-25八年级·浙江杭州·期末）在△ABC中，已知点D在BC上，且CD=CA，点E在CB的延长线上，且BE=BA．(1)如图①，若∠BAC=120°，AB=AC，求∠DAE的度数；(2)试探求∠DAE与∠BAC的数量关系；(3)如图②，若AB平分∠DAE，AC⊥CD于点C，求证：BE=2CD．【考点4直角三角形全等的判定与性质】【例4】（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠B=90°，BE=AD=4，∠BCD的平分线交AB于点E，若BC与CD的差为1，则AE的长为（）A．1 B．12 C．23 【变式4-1】（24-25八年级·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟2cm，当运动时间为秒时，【变式4-2】（24-25八年级·山东聊城·期末）在△ABC中，P，F分别是边AB，BC边上的点，作PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E，连接PF，若PD=PE，PF=FC．(1)求证：CE=CD；(2)若AC=BC，△ABC的面积为6，求△PFC的面积．【变式4-3】（24-25八年级·甘肃平凉·期末）如图，已知△ABC中BC边上的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交于点G．(1)求证：BF=CG．(2)求证：AG=1【考点5勾股定理与网格】【例5】（24-25八年级·江苏淮安·期末）某班学生在劳动实践基地用一块正方形试验田种植苹果树，同学们将试验田分成7×7的正方形网格田，每个小正方形网格田的边长为1米，如图所示，为了布局美观及苹果树的健康成长，同学们要把苹果树种植在格点处（每个小正方形的顶点叫格点），且每两棵苹果树之间的距离都要大于2米，则这块试验田最多可种植棵苹果树．【变式5-1】（24-25八年级·山西临汾·期末）如图，在6×6的网格图中，每个小方格的边长为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形．(1)画一个三边长分别为4，5，13的三角形；(2)画一个腰长为10的等腰直角三角形．【变式5-2】（24-25八年级·河南驻马店·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，若△ABC和△BCD的顶点都在小正方形网格的格点上，则∠ACB+∠DBC=（

）A．45° B．75° C．120° D．135°【变式5-3】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．若AD⊥BC于点D，则线段AD的长为【考点6利用勾股定理求值】【例6】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，将△ABC沿AC折叠，点B落在B′处，AD与B′C交于E，则CEA．134 B．72 C．258【变式6-1】（24-25八年级·江苏苏州·期末）勾股定理是数学史上的一颗玻璃珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅瑴成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在△ABC中，∠ACB=90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，可以证明点D在直线HI上．若△AHJ，△DEJ的面积分别为2和6，则直角边AC的长为（

）A．2 B．3 C．5 D．2【变式6-2】（24-25八年级·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC,BD交于点O．若AD=1,BC=4，则AB2

【变式6-3】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，BC=4，AE⊥CD，垂足为E，AE=CE，连接AC，若DE=5(1)AC的长；(2)四边形ABCD的面积．【考点7赵爽弦图】【例7】（24-25八年级·江苏宿迁·期末）综合实践我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”．他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．在一节八上数学复习课上，老师为了弘扬中国的数学文化，和同学们开启对“赵爽弦图”的深度研究．(1)类比“弦图”，证明定理小明同学利用四张全等的直角三角形纸片（如图1），证明勾股定理．因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为b−a的小正方形组成，即面积表示为：4×12ab+善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形ABCD的面积，也可证明勾股定理，请你和他一起证明．(2)利用“弦图”，割拼图形如图3，老师给出由5个小正方形组成的十字形纸板，让同学们尝试剪开，使得剪成的若干块能够拼成一个无缝的大正方形，可以怎么剪？请你画出示意图．(3)构造“弦图”，应用计算如图4，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，点D是BC中点，过点C作CE⊥AD，垂足为点F，交AB于点E，若BE=3，求AB的长．【变式7-1】（24-25八年级·江苏南京·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．连接AQ、BP、CN、DM．若正方形ABCD的面积为2a，阴影部分的面积为2b．则AN的长度为（

）A．a+b B．a2+b2 C．【变式7-2】（24-25八年级·四川成都·期末）如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形ABEC，然后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2，该正方形的面积为5；再将其四个全等的直角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为4+45，则图1中的点C到AB的距离为【变式7-3】（24-25八年级·浙江金华·期末）图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长DK交AB、AC分别于点M、N，延长EH交BD于点P（如图2）．（1）若Rt△ABF的面积为5，小正方形FGHK的面积为9，则AB＝（2）如图2，若S四边形AEHNS四边形BMHP=k，则【考点8勾股定理逆定理的应用】【例8】（24-25八年级·黑龙江双鸭山·期末）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后，两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东46°，则乙船的航向为（

）A．南偏东44° B．北偏西44° C．南偏东44°或北偏西44° D．无法确定【变式8-1】（24-25八年级·黑龙江大庆·期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC=5千米，CH=4千米，BH=3千米．则原路线AC＝【变式8-2】（24-25八年级·辽宁鞍山·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB=9m，BC=12m，CD=8m，AD=17m，且

A．48m2 B．114m2 C．【变式8-3】（24-25八年级·吉林四平·期末）如图①是超市的儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意图．测得支架AC=24cm，CB=18cm，两轮中心的距离(1)连接AB，则△ABC是__________三角形，请写出推理过程．(2)点C到AB的距离是__________cm．【考点9勾股定理的应用】【例9】（24-25八年级·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠AC，AD，AB，且AC⊥BC；再从D地修了一条笔直的水渠DH与支渠AB在点H处连接，且水渠DH和支渠AB互相垂直，已知AC=6km，AB=10km，(1)求支渠AD的长度．（结果保留根号）(2)若修水渠DH每千米的费用是0.7万元，那么修完水渠DH需要多少万元？【变式9-1】（24-25八年级·福建福州·期中）《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈＝10尺）解决下列问题：（1）示意图中，线段AF的长为尺，线段EF的长为尺；（2）求芦苇的长度．【变式9-2】（24-25八年级·安徽阜阳·期中）超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小聪等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100m的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°(1)求AB的距离，（3取1.73）(2)试判断此车是否超过了80km/h【变式9-3】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=4米，BC=13米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度．【考点10线段的垂直平分线】【例10】（24-25八年级·福建厦门·期末）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，CD为∠ACB的平分线．(1)尺规作图：在CD上作点E，并连接AE，使得∠AED=∠ACB（要求：不与作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，在BC边上有一点F（不与点B，C重合），连接AF，∠EAF=12∠ACB，求证：EF【变式10-1】如图，在△ABC中，AB=AC．作△BCE，点A在△BCE内，点D在BE上，AD⊥BE．若D为BE的中点，且∠EBA+∠ECA=α，则∠BAC=（用含α的代数式表示）．【变式10-2】（24-25八年级·福建莆田·期中）已知：如图，AB=AC，∠ABD=∠ACD．求证：AD⊥BC．【变式10-3】（24-25八年级·山东聊城·期末）在△ABC中，DE垂直平分AC，连接CE，CE平分∠ACB．(1)若∠CEB=46°，求∠B的度数．(2)若BC=4，△ABC的周长比△EBC的周长多8，△EBC的面积为6，则三角形AEC的面积为多少？【考点11角平分线】【例11】（24-25八年级·湖北荆州·期中）如图，在△ABC中，∠CAE，∠ACD是△ABC的外角．

(1)求证：∠ACD=∠BAC+∠ABC．(2)利用尺规作图分别做出∠ACD，∠ABC的角平分线（不写做法保留作图痕迹），两条角平分线相交于点F．若∠BAC=62°，求∠BFC的度数．(3)连接AF，求证：AF平分∠CAE．【变式11-1】（24-25八年级·湖北荆州·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，任意长度为半径画弧，交AB，AC于点D，E，再分别以点D,E为圆心．大于12DE为半径画弧．两弧在∠BAC内交于点F，作射线AF交边BC于点G，若CG=3，AB=10，则△ABGA．13 B．15 C．26 D．30【变式11-2】（24-25八年级·山东济宁·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且BD=BC，将△ABD沿BD折叠得到△A′BD，A′B(1)求证：DE平分∠AEB；(2)求∠BEC的度数．【变式11-3】（24-25八年级·河北保定·期中）如图，在△ABC中，∠CAB=50°，点D在△ABC的外部，且AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，DF⊥BC，交BC于点F，连接BD．若∠BCE=104°，DE=DF，则∠DBC的度数为．【考点12一元一次不等式】【例12】关于x的不等式x+14−1>4x−a6的解集都是不等式x4【变式12-1】若k−(k+2)x|k|−1>0是关于xA．x<2 B．x>−2 C．x>−12 【变式12-2】已知关于x的方程4(x−2)=2(x−m)+4的解为负数，则m的取值范围是（

）A．m<6 B．m>6 C．m<−6 D．m>−6【变式12-3】（24-25八年级·山东聊城·期中）若关于x的一元一次不等式x−a2+1>x+a的解集中每一个x的值都能使不等式1−2x2−1−5xA．a≤43 B．a≥43 C．【考点13一元一次不等式组】【例13】（24-25八年级·四川眉山·期末）若不等式组x+m>2n−x>−4的解集为1<x<2，则m+n2025的值为（A．－1 B．0 C．1 D．2【变式13-1】（24-25八年级·广西贵港·期末）对一个实数x按如图所示的程序进行操作，计算机运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次操作才停止，那么x的取值范围是（）A．8<x≤22 B．22<x≤64 C．22<x≤62 D．8<x≤20【变式13-2】（24-25八年级·山东聊城·期中）若关于x的一元一次不等式组2x−1>3x−2x<m的解集是x<5，则m的取值范围是（A．m≥5 B．m>5 C．m≤5 D．m<5【变式13-3】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）关于x的不等式组2a−x>32x+8>4a的解集中每一个值均不在−1≤x≤5的范围中，则a的取值范围是（

A．a<1或a>4.5 B．a≤1或a≥4.5C．a>4或a<1.5 D．a≥4或a≤1.5【考点14图形的平移】【例14】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）点P−3,2关于x轴对称后再向右平移m个单位，其对应点落在y轴上，则m=【变式14-1】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期末）本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．“滨滨”和“妮妮”的原型是2023年9月出生于黑龙江东北虎林园的两只可爱的小东北虎，“滨滨”名字取自“哈尔滨”，“妮妮”取自“您”的读音，两个名字寓意“哈尔滨欢迎您”．如图，通过平移吉祥物，可以得到的图形是（

）．A． B．C． D．【变式14-2】（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，已知在△ABC中，BC=6cm，把△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF(1)图中与∠A相等的角有个，分别是_______________；(2)图中的平行线共有组，分别是是_______________；(3)直接写出BE：【变式14-3】（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，已知△ABC和△DEF,B,E,C,F四点在同一条直线上，AB=AC=DE=DF,AC⊥DE，且BC=6,EF=8，现将△DEF沿直线CB方向左右平移，则平移过程中AE+DA的最小值为（

）A．42 B．34 C．6 D．【考点15图形的旋转】【例15】（24-25八年级·江苏泰州·期末）如图，已知点A−3,4，将线段OA绕点A逆时针旋转90°至AA′，则A【变式15-1】（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，△ABC绕着点O逆时针旋转到△DEF的位置，则旋转中心及旋转角分别是（

）A．点O，∠AOD B．点O，∠AOB C．点O，∠BOC D．点B，∠ABO【变式15-2】（24-25八年级·湖北孝感·期末）如图，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AB=4，BC=9，将△BAC绕点A顺时针旋转得到△B1AC1，取AB的中点D，B1C1的中点E【变式15-3】（24-25八年级·黑龙江鸡西·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，△AP1B是等腰直角三角形，点A0,0．B2,0，且∠P1=90°．把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2【考点16中心对称】【例16】（24-25八年级·河北邯郸·期末）已知点A(a,b)与点B(−3,4)是关于原点O的对称点，则AB长为．【变式16-1】（24-25八年级·山东济宁·期末）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹．用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．下列剪纸图案中是中心对称图形的是（

）A． B．C． D．【变式16-2】（24-25八年级·青海海东·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点坐标分别为A1,4，B−1,3，(1)在图中作出△ABC关于原点对称的△A1B(2)计算关于原点对称的A点和A1【变式16-3】（2024八年级·甘肃兰州·专题练习）如图所示是一个坐标方格盘，你可操纵一只遥控机器蛙在方格盘上进行跳步游戏，机器蛙每次跳步只能按如下两种方式（第一种：向上、下、左、右可任意跳动1格或3格；第二种跳到关于原点的对称点上）中的一种进行．若机器蛙在点A−5,4，现欲操纵它跳到点B2,−3，请问机器蛙至少要跳【压轴篇】【考点17等腰三角形与图形变换】【例17】（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，已知△ABC和△DEF,B,E,C,F四点在同一条直线上，AB=AC=DE=DF,AC⊥DE，且BC=6,EF=8，现将△DEF沿直线CB方向左右平移，则平移过程中AE+DA的最小值为（

）A．42 B．34 C．6 D．【变式17-1】（24-25八年级·四川自贡·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=45°，AB=AC，D为BC的中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点，连接AD、EF．有下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF=EF；⑤SA．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④⑤【变式17-2】（24-25八年级·江苏常州·期中）如图，△ABC为等边三角形，且AB=BC=AC=8，点D是边AB上一动点，点E为AC边上一动点，若△ADE沿着直线DE翻折后，点A始终落在边BC上．若AD=a，则满足条件的a的取值范围是（

）

A．83−12≤a<8 C．163−24≤a<8 【变式17-3】（24-25八年级·广东深圳·期末）初二年级学生以“图形的旋转”为主题开展数学探究．【操作探究】（1）△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AD=2，AB=6．①如图1，当点D是AB上一点时，DE=；②如图2，当点D在BA延长线上时，求DE的长；【迁移探究】（2）如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=6，过点C作直线l∥AB，点M为直线AC上一动点，点N为直线l上一动点，∠MBN=45°，点M、N都不与点C重合．当△BCN为等腰三角形时，直接写出【考点18等腰三角形中的动态变化】【例18】（24-25八年级·重庆沙坪坝·期末）在等边三角形ABC中，AB=3AD=30cm，点E在边BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点F在边CA上由点C向点A运动，连接DE、EF，当点E停止运动时，点F随即停止运动．若要在某一时刻使得△BDE与

A．3cm/sC．3cm/s或4cm/【变式18-1】（23-24八年级·江西上饶·期末）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=4，BC=9，CD=5，AD=6，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC−CD−DA向终点A运动，设点P的运动时间为【变式18-2】（24-25八年级·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点Aa,0,Bb,0，且满足|a+2|+b−22(1)直接写出A，B两点的坐标：A，B；(2)如图1，当△ABC为等边三角形时，OC=23，点P为线段OC上的一个动点，以BP为边作等边△BPQ，在点P从点C到点O的运动过程中，求点Q(3)如图2点D为△ABC内一点，连接DA，DC，DB，当∠ACB=80°，∠DAB=10°，∠DBC=20°时，求∠ADC的度数．【变式18-3】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，点D为线段AB上的点，连接CD，在CD右侧作等边△CDE，连接BE(1)当∠ACD=60°时，求证：BD=BE；(2)当CD平分∠ACB时，求BDBE(3)当点D在线段AB上运动时，试探究线段BC，BD，BE的数量关系．【考点19等腰三角形中的存在性问题】【例19】（2021·浙江金华·一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，点D为AB的中点，一块45°的三角板底角与点D重合，并绕点D旋转，另外两边分别与AC和BC相交于点E，点F，在旋转过程中，恰好存在DE=DF，此时，BF=2，则CF=．【变式19-1】（24-25八年级·江苏扬州·期末）如图1，在等腰△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=α，点D是边AC上一点（不与点A、C重合），连接BD，将△ABD沿BD翻折得△EBD，连接CE．(1)若α=120°，解决下列问题：①当点E落在边BC上时，DE与CD的位置关系是__________；②当BD∥CE时，请用无刻度的直尺和圆规作出点(2)如图2，①当点E落在边BC上，且△CDE为等腰三角形时，求α的值；②当点D在边AC上运动时，存在点E落在边AC上，则α的取值范围是__________．【变式19-2】（24-25八年级·江苏·期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，A6,5，点D为AB上一点，过点D作DE⊥BC于点E，点P为x轴上一动点，点P关于DE的对称点为点Q，连接DP、DQ、AQ(1)点B的坐标为；(2)若点P的坐标为−2,0，延长PD交AQ于点F．当PF⊥AQ时，求点D的坐标；(3)若点M为y轴上一动点，是否存在以A、P、M为顶点且以AP为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式19-3】（24-25八年级·福建莆田·期末）如图1，在△ABC和△A1B1C1中，AB=AC，A1B1=A(1)求证：∠B+∠B(2)如图2，在四边形ABCD中，AC，BD为对角线，∠ACB=90°，AC=BC，AB=BD．若∠CDB=30°，求证：△CBA和△BDA是“等腰相伴”三角形；(3)在△ABC中，AB=AC≠BC，∠A<120°，在平面内是否存在点D（A，D两点位于直线BC同侧），使△ABC和△BCD是“等腰相伴”三角形，且点A和点B为对应顶点．若存在，请画出图形，并求∠ADB的度数；若不存在，请说明理由．【考点20等腰三角形中的最值问题】【例20】（20-21八年级·江苏连云港·期末）如图，∠MON=90°，已知△ABC中，AC=BC=10，AB=12，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在边OM上运动，△ABC的形状保持不变，在运动过程中，点C到点O的最大距离为（

）A．12.5 B．13 C．14 D．15【变式20-1】（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，点P为等边△ABC外一点，且PA=5，PC=4．则PB的最大值为（

）A．6 B．8 C．9 D．10【变式20-2】（2022·广东广州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=．【变式20-3】（24-25八年级·陕西西安·期中）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B在x轴正半轴上，已知点A0,3，以AB为直角边在AB左侧作等腰直角△ABC，∠CAB=90°，当点B在x轴上运动时，连接OC，则AC+OC的最小值为【考点21图形上与已知两点构成直角三角形的点】【例21】（2024·福建·一模）点A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（

）A．4 B．2 C．1 D．0【变式21-1】（24-25八年级·吉林四平·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．(1)求BC边的长；(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；(3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值．【变式21-2】（24-25八年级·安徽安庆·阶段练习）点P在y轴上，A4,1、B1,4，如果△ABP是直角三角形，求点【变式21-3】（24-25八年级·四川·阶段练习）如图，在ΔABC中，AB=AC=20,BC=32，点D在线段BC上以每秒2个单位的速度从B向C移动，连接AD，当点D移动秒时，AD与ΔABC的边垂直．【考点22利用勾股定理构造图形解决问题】【例22】（24-25八年级·广东江门·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图．【小试牛刀】把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：S梯形ABCD=__________，S【知识运用】如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD=70米，BC=50米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为__________米．【知识迁移】借助上面的思考过程，画图说明并求代数式x2+9+【变式22-1】（2024·贵州遵义·二模）已知a，b均为正数，且a2+b2，a2A．32ab B．ab C．12【变式22-2】（24-25八年级·山西晋中·期中）如图（单位：cm），龙龙家购置了一台圆形扫地机，计划放置在屋子角落（衣柜、书柜与地面均无缝隙，衣柜不可移动）．若要这台扫地机能从角落自由进出，则需拖动书柜，使图中的x至少为．（结果保留根号）【变式22-3】（24-25八年级·河南郑州·期末）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：①先测得放飞点与风筝的水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AC的长为10米；③牵线放风筝的手离地面的距离AB为1.5米．已知A、(1)求风筝离地面的垂直高度CD；(2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升9米，BD长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题．【考点23求立体图形的最短路径问题】【例23】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为10cm，底面周长为12cm，在盒子外壁离上沿2cm的点A处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点A．12cm B．23cm C．6【变式23-1】（24-25八年级·河南周口·期末）如图①所示的正方体木块的棱长为2cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②所示的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（

A．2+1cm B．2+3cm 【变式23-2】（24-25八年级·河南南阳·期末）如图，教室墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA=13米，AB=2米，点P到AF的距离是3米，一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（

A．5 B．18 C．13 D．3【变式23-3】（24-25八年级·陕西西安·期末）如图，一只蚂蚁从长为5cm、宽为3cm、高为10cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是cm．【考点24不等式(组)的整数解问题】【例24】（22-23八年级·重庆北碚·期中）若关于x的不等式组−2x−2−x<2k−x2≥−12+x最多有2个整数解，且关于A．13 B．18 C．21 D．26【变式24-1】已知关于x的不等式组2x+m≤0x+4>0的所有整数解的和为－5，则m的取值范围为【变式24-2】（20-21八年级·上海虹口·期中）已知关于x的不等式组x−a≥18−2x>0的整数解共有5个，且关于y的不等式ay−1≤−y的解集为y≥1a+1，则a【变式24-3】（23-24八年级·北京·期中）（1）关于x的不等式−2<x<3有个整数解；（2）若关于x的不等式组x−k<4k+2x<2x−3k（k为常数，且为整数）恰有5个整数解，则k的取值为（3）若关于x的不等式3k<x<a+3k（k和a为常数，且为整数）恰有6个整数解，则共有组满足题意的k和【考点25不等式组的有解或无解问题】【例25】（2021·湖北襄阳·一模）已知不等式组3x+a<2x,−13x<5【变式25-1】若不等式组{x≥ax≤b无解，则不等式组{x>3−aA．x>3−a B．x<3−b C．3−a<x<3−b D．无解【变式25-2】关于x的方程k−2x=3(k−2)的解为非负数，且关于x的不等式组x−2(x−1)≤32k+x3≥x有解，则符合条件的整数k【变式25-3】从－2，－1,0,1,2，3，5这七个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组x>m+2−2x−1≥4m+1无解，且使关于x的一元一次方程（m－2）x＝3有整数解，那么这六个数所有满足条件的m的个数有（

A．1 B．2 C．3 D．4【考点26利用不等式的基本性质求最值】【例26】（20-21八年级·江西景德镇·期中）已知非负数x，y，z满足.3−x2=y+23=A．−2 B．−4 C．−6 D．−8【变式26-1】（23-24八年级·江苏南通·期末）已知非负数a，b，c满足条件3a+2b+c=4，2a+b+3c=5，设s=5a+4b+7c的最大值是m，最小值是n，则m+n的值为．【变式26-2】（20-21八年级·湖北黄石·期末）已知实数a，b，满足1≤a+b≤4，0≤a−b≤1且a−2b有最大值，则8a+2021b的值是．【变式26-3】（23-24八年级·北京·期末）已知x1，x2，x3，x4，x5为正整数，且x1<【考点27方程与不等式（组）的实际应用】【例27】（22-23八年级·重庆九龙坡·阶段练习）某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润率为20%，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了1(1)该店销售记录显示，四月份销售A、B两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，求该店四月份售出(2)根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的70%(3)在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的10%【变式27-1】（23-24八年级·广东韶关·期末）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需7万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需12万元．(1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元?(2)已知1台甲型和1台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是1400件和1200件，该公司计划最多用16万元购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人3台，请问有哪几种购买方案?哪种方案能使每小时的分拣量最大?【变式27-2】某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元．(1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元？(2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种型号的手机共20台，请问有几种进货方案？(3)售出一部甲种型号手机，利润率为40%，乙型号手机的售价为1280元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金m元，而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求m的值．【变式27-3】（23-24八年级·江苏南通·期中）【综合与实践】根据以下信息1~3，探索完成设计购买方案的任务1~3．信息1：某校初一举办了科技比赛，学校为获奖的40名同学每人购买一份奖品，奖品分为A，B，C三类．信息2：若购买2份A奖品和3份B奖品共需220元；购买3份A奖品和2份B奖品共需230元．单独购买一份C奖品需要15元．信息3：计划获A奖品的人数要少于获B奖品的人数．购买时有优惠活动：每购买1份A奖品就赠送一份C奖品．任务1：求A奖品和B奖品的单价；任务2：若获A奖品的人数等于获C奖品的人数，且获得A奖品的人数超过10人，求此次购买A奖品有几种方案；任务3：若购买奖品的总预算不超过1150元，要让获A奖品的人数尽量多，请你直接写出符合条件的购买方案．【考点28利用图形的变换设计图案】【例28】在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）【变式28-1】（23-24八年级·北京·期中）如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”．请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另外两个不同的图案．画图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；②所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形．【变式28-2】（22-23八年级·广东河源·阶段练习）亦姝家最近买了一种如图（1）所示的瓷砖．请你用4块如图（1）所示的瓷砖拼铺成一个正方形地板，使拼铺的图案成中心对称图形，请在图（2）、图（3）中各画出一种拼法．（要求：①两种拼法各不相同，②为节约答题时间，方便扫描试卷，所画图案阴影部分用黑色斜线表示即可，③弧线大致画出即可）【变式28-3】（2023·吉林长春·模拟预测）有一种类似于七巧板的智力玩具，叫做“百变方块”，共含有十四个图形块（如图1所示），可以用它们拼出各式各样的图案，该游戏的规则是：每个图形块可以随意平移、翻转、旋转使用，但必须全部都无缝隙、不重叠地恰好平放于所给6×6的正方形拼图盒中．例如：图2是用“百变方块”拼成的一幅图案，而图4、图5是两幅未完成游戏的图案，每幅图案都缺少图3所示的五个图形块，请你挑战以下两个关卡，将图3中这五个图形块放入正方形拼图盒中，以完成游戏，要求：模仿图2在相应图中的空白处画出图3中的五个图形块，补全图形．(1)第一关：完成图4中的图案．(2)第二关：完成图5中的图案．

期中易错题压轴题专项复习【28大题型】（考试范围：第1~3章）【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【易错篇】 2【考点1等腰三角形】 2【考点2等边三角形】 7【考点3含30度角的直角三角形】 13【考点4直角三角形全等的判定与性质】 18【考点5勾股定理与网格】 23【考点6利用勾股定理求值】 26【考点7赵爽弦图】 30【考点8勾股定理逆定理的应用】 37【考点9勾股定理的应用】 40【考点10线段的垂直平分线】 44【考点11角平分线】 48【考点12一元一次不等式】 54【考点13一元一次不等式组】 56【考点14图形的平移】 58【考点15图形的旋转】 62【考点16中心对称】 66【压轴篇】 69【考点17等腰三角形与图形变换】 69【考点18等腰三角形中的动态变化】 79【考点19等腰三角形中的存在性问题】 86【考点20等腰三角形中的最值问题】 98【考点21图形上与已知两点构成直角三角形的点】 104【考点22利用勾股定理构造图形解决问题】 110【考点23求立体图形的最短路径问题】 116【考点24不等式(组)的整数解问题】 119【考点25不等式组的有解或无解问题】 122【考点26利用不等式的基本性质求最值】 125【考点27方程与不等式（组）的实际应用】 128【考点28利用图形的变换设计图案】 134【易错篇】【考点1等腰三角形】【例1】（24-25八年级·河南新乡·期中）如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC；D是BC边的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，以下四个结论：①ED=FD；②△DEF是等边三角形；③△AEF是等腰三角形；④连接AD，AD垂直平分EF．其中正确的结论有(

)A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，利用AAS证明△BDE≌△CDF，进而解答判断①由△BDE≌△CDF，进而得到DE=DF．求得∠B=∠C=30°，求出∠EDF=180°−∠BDE−∠CDF=60°．所以△DEF是等边三角形，即可判断②，进而根据全等三角形的性质可得AE=AF,BD=CD结合等腰三角形的性质，即可判断③和④，即可求解．【详解】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠A=120°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=∠C=30°．∵D是BC边的中点，∴BD=CD．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．在△BDE和△CDF中，∠BED=∠CFD∠B=∠C∴△BDE≌△CDFAAS∴DE=DF，故①正确∵∠BED=∠CFD=90°，∴∠B=∠C=30°，∴∠BDE=∠CDF=90°−30°=60°．∴∠EDF=180°−∠BDE−∠CDF=60°．∴△DEF是等边三角形．故②正确∵△BDE≌△CDF∴BE=CF又∵AB=AC∴AE=AF，故③正确，连接AD，∵△BDE≌△CDF∴BD=CD又∵AB=AC∴AD垂直平分BC，故④正确故选：A．【变式1-1】（24-25八年级·吉林松原·期末）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，若∠A=∠ABE，BD=1，BC=3，则AC的长为．【答案】5【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．先证明△EDC和△BDC全等得DE=BD=1，EC=BC=3，则BE=2，再根据∠A=∠ABE得AE=BE=2，由此可得出AC的长．【详解】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ECD=∠BCD，∵BE⊥CD，∴∠EDC=∠BDC=90°，在△EDC和△BDC中，∠ECD=∠BCDCD=CD∴△EDC≌△BDCASA∴DE=BD，EC=BC，∵BD=1，BC=3，∴DE=BD=1，EC=BC=3，∴BE=DE+BD=2，∵∠A=∠ABE，∴AE=BE=2，∴AC=AE+EC=5．故答案为：5．【变式1-2】（24-25八年级·海南省直辖县级单位·期末）如图，在△ABC中，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线．(1)若∠BED=60°，∠BAD=40°，求(2)若△ABC面积为40，AD=5，求AF的长．【答案】(1)50°(2)AF=8【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线，高和中线的定义．（1）先利用三角形的外角性质计算出∠ABE=20°，再利用角平分线定义得到∠ABC=2∠ABE=40°，然后根据高的定义和互余两角的性质求出∠BAF的度数；（2）先根据题意得到BD=DC=AD=5，然后利用三角形面积公式求AF的长．【详解】（1）解：∵∠BED=∠ABE+∠BAE，∴∠ABE=60°−40°=20°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE=40°，∵AF为高，∴∠AFB=90°，∴∠BAF=90°−∠ABF=90°−40°=50°．（2）解：由（1）得∠BAD=∠ABD=40°，∴BD=DC=AD=5，∴BC=5+5=10，∵S△ABC∴AF=8．【变式1-3】（24-25八年级·河北石家庄·期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，A−3,0，∠OBC=60°，BC与y轴正半轴交于点C，且BC=4(1)B点的坐标是__________；(2)如图2，点P从点A出发，沿射线AB方向运动，同时点Q在边BC上从点B向点C运动，在运动过程中：①若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当△PQB是直角三角形时，求t的值；②若点P、Q的运动路程分别是a，b，当△PQB是等腰三角形时，求出a与b满足的数量关系．【答案】(1)2,0(2)①当t=54或t=2时，△PQB是直角三角形；②a+b=5【分析】（1）首先求出∠BCO=30°，然后得到BO=1（2）①由题意，得AP=2t，BQ=t，得到PB=5−2t，然后分两种情况讨论：当∠PQB=90°时和当∠QPB=90°②根据题意分两种情况讨论：当a<5时和当a>5时，然后根据等腰三角形的定义分别求解即可．【详解】（1）解：∵∠OBC=60°，∠BOC=90°，∴∠BCO=30°，∴BO=1∴B2,0（2）①由题意，得AP=2t，BQ=t，∵A−3,0，B∴AB=5，∴PB=5−2t∵∠OBC=60°≠90°，∴只有∠PQB=90°和∠QPB=90°两种情况，此时点P只能在线段AB上，则PB=5−2t；当∠PQB=90°时，∵∠OBC=60°，∴∠BPQ=30°，∴BQ=12BP解得：t=5当∠QPB=90°时，∵∠OBC=60°，∴∠BQP=30°，∴PB=12BQ解得：t=2；综上所述，当t=54或t=2时，②如图：当a<5时，∵AP=a，BQ=b，∴BP=5−a，∵△PQB是等腰三角形，∠OBC=60°，∴△PQB是等边三角形，∴b=5−a，即a+b=5；如图3：当a>5时，∵AP=a，BQ=b，∴BP=a−5，∵△PQB是等腰三角形，∠QBP=120°，∴BP=BQ，即a−5=b，∴a−b=5，综上所述：当△PQB是等腰三角形时，a与b满足的数量关系为：a+b=5或a−b=5．【点睛】此题考查了坐标与图形综合，含30°角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．【考点2等边三角形】【例2】（24-25八年级·山西大同·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=12，BC=DC，∠A=60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE=8，则CF的长为（

A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】首先根据AB=AD=12、∠A=60°，可证△ABD是等边三角形，连接AC交BD于点G，可证AC是线段BD的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证∠BAC=∠DAC=30°，根据平行线的性质可证∠ACE=∠DAC=30°，从而可得DE=4，根据平行线的性质可证△DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质可知EF=DE=4，从而可求CF的长度．【详解】解：如下图所示，连接AC交BD于点G，∵AB=AD=12，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=AD=BD=12，∠A=∠ABD=∠ADB=60°，∵AB=AD=12，BC=DC，∴AG⊥BD，BG=DG，∴∠BAC=∠DAC=30°，∵CE∥∴∠ACE=∠DAC=30°，∴AE=CE=8，∴DE=AD−AE=12−8=4，∵EF∥∴∠EFD=∠ABD=60°，∠FED=∠A=60°，∴△DEF是等边三角形，∴EF=4，∴CF=CE−EF=8−4=4．

故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系．【变式2-1】（24-25八年级·浙江台州·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=4，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转得到△CDE，点D恰好在AB边上，连接BE【答案】4【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，由题意可得∠ABC=30°，即得AB=2AC=8，BC=AB2−AC2=43，进而由旋转得【详解】解：∵∠ACB=90°，∴∠ABC=90°−∠A=30°，∴AB=2AC=8，∴BC=A由旋转得，CE=CB，CA=CD，∠BCE=∠ACD，∴△ACD为等边三角形，∴∠ACD=60°，∴∠BCE=∠ACD=60°，∴△BCE为等边三角形，∴BE=BC=43故答案为：43【变式2-2】（24-25八年级·山西大同·期末）已知等边三角形ABC，D，E分别为边AB,BC的中点，连接DE；G为射线EB上的一个动点，以DG为边，并在其左侧作等边三角形DHG，连接BH．(1)如图1，若AB=4，DG⊥BC，HG与BD相交于点O，则DO=，∠HBG=°．(2)如图2，当点G在EB的延长线上时，①HB与GE有怎样的数量关系？并证明你的结论．②请计算∠HBC的度数．【答案】(1)32,(2)①HB=GE，证明见详解，②∠HBC=120°【分析】（1）根据在等边三角形ABC中，D，E分别为边AB,BC的中点，得∠ABC=60°,BD=2，又因为DG⊥BC，△DHG是等边三角形，得∠HDG=60°−30°=30°，BG=12×BD=1，运用勾股定理列式计算得DG=（2）①先证明△BDE是等边三角形，再得出△HDB≌△GDE，则HB=GE,②因为△HDB≌△GDE，所以∠HBD=∠BED=60°，则∠HBC=∠HBD+∠DBE=120°．【详解】（1）解：∵在等边三角形ABC中，D，E分别为边AB,BC的中点，∴BD=BC=AB=4,∠ABC=60°,BD=1∵DG⊥BC，△DHG是等边三角形，∴∠DGB=90°,∠HDG=60°，∴∠BDG=180°−90°−60°=30°，∠HDG=60°−30°=30°，∴BG=1∴DG=B∵△DHG是等边三角形，∠BDG=∠HDG=30°，∴BD⊥HG，HD=GD则在Rt△DOG中，OG=∴OD=D∵HD=GD，∠BDG=∠HDG=30°，OD=DO，∴△BDH≌△BDG，∴∠HBD=∠GBD=60°，∴∠HBG=60°+60°=120°故答案为：32,（2）解：①HB=GE，证明见如下：∵△DHG是等边三角形，∴HD=GD,∠HDG=60°，∵在等边三角形ABC中，D，E分别为边AB,BC的中点，∴∠ABC=60°,AB=BC,BD=1∴BD=BE，∴△BDE是等边三角形，∴∠BDE=60°,BD=DE，∵∠HDG=60°，∴∠HDB=60°+∠GDB=∠GDE，∵HD=GD，∴△HDB≌△GDE，∴HB=GE,②∵△HDB≌△GDE，∴∠HBD=∠BED=60°，∴∠HBC=∠HBD+∠DBE=120°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，30度所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．【变式2-3】（24-25八年级·安徽合肥·期末）点E为等边三角形ABC内一点，分别以AE、BE为边作等边三角形AEF、BDE．如图，DE与AB交于点H,DF与AB交于点G．则下列结论不一定成立的是（）A．DF=BC B．DFC．EG⊥AD D．∠ADE=∠ECF【答案】C【分析】根据等边三角形的性质证明△DBA≌△EBC，△AEB≌△FED，△AFC≌△AEB，再结合全等三角形的性质逐一分析判断即可．【详解】解：∵等边三角形ABC，等边三角形BDE，∴AB=BC，DB=BE=DE，∠ABC=∠DBE=∠BDE=∠BED=60°，∴∠DBA=∠EBC，∴△DBA≌△EBC，∴AD=CE，∠DAB=∠ECB，∵等边三角形AEF，∴AE=EF=AF，∠AEF=∠AFE=∠EAF=60°，同理可得：△AEB≌△FED，∴AB=FD，∠ABE=∠FDE，∴DF=BC，故A不符合题意；∴∠FDB+∠DBC=∠FDE+∠BDE+∠DBE+∠EBC=120°+∠ABE+∠EBC=180°，∴DF∥同理可得：△AFC≌△AEB，∴CF=BE，∴CF=BE=DE，∵AD=CE，AE=EF，∴△ADE≌△ECF，∴∠ADE=∠ECF，故D不符合题意；如图，延长EG交AD于Q，∵E为△ABC内动点，根据现有条件无法得到EG⊥AD，故C符合题意；故选：C【点睛】本题考查的是平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练的利用等边三角形的性质确定全等三角形是解本题的关键．【考点3含30度角的直角三角形】【例3】（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=3，射线CD⊥BC，垂足为C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，则AB的长为（

）A．6.5 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等，作E关于CD的对称点G，过G点作GF⊥AB交于F，交CD于P，过F作FH⊥BC交于F，由垂线段最短得EP+FP=GF的值最小，进而由等边三角形的性质及直角三角形的性质解答即可求解，由垂线段最短找出取得最小值的条件是解题的关键．【详解】解：如图，作E关于CD的对称点G，过G点作GF⊥AB交于F，交CD于P，过F作FH⊥BC交于F，则PG=PE，CE=12EG此时EP+FP=GP+FP=GF的值最小，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=60°，∴∠FGH=∠BFH=30°，∴BG=2BF=10，∴EG=BG−BE=10−3=7，∴CE=1∴AB=BC=CE+BE=3.5+3=6.5，故选：A．【变式3-1】（24-25八年级·浙江台州·期末）如图，在等边三角形ABC中，BC=8，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键．由△ABC是等边三角形，则AB=BC=AC=8，∠A=∠C=60°，又D是AB的中点，则AD=12AB=4，然后根据30°角所对直角边是斜边的一半得AF=【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=8，∠A=∠C=60°，∵D是AB的中点，∴AD=1∵DF⊥AC，∴∠AFD=90°，∴∠ADF=180°−90°−60°=30°，∴AF=1∴CF=AC−AF=8−2=6，同理，CE=1∴BE=BC−CE=8−3=5，故选：C．【变式3-2】图①是一种矩形时钟，图②是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，若测量得时钟的长BC为48cm，则时钟的另一边AB的长为【答案】16【分析】此题考查了矩形的性质、钟面角、含30°角直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．过点O作OE⊥CD,OF⊥AD，垂足分别为点E,F，根据题意得到∠FOD=2∠DOE，求出∠DOE=30°，进一步得到∠DBC=∠DOE=30°，则BC=3【详解】解：过点O作OE⊥CD,OF⊥AD，垂足分别为点E,F，由题意可得，∠FOD=2∠DOE，∵∠FOD+∠DOE=90°，∴3∠DOE=90°，则∠DOE=30°，∴∠FOD=2∠DOE=60°，在矩形ABCD中，∠C=90°,CB=48cm，AB=CD∴OE∥BC，∴∠DBC=∠DOE=30°，∴BC=3∴AB=48故答案为：16【变式3-3】（24-25八年级·浙江杭州·期末）在△ABC中，已知点D在BC上，且CD=CA，点E在CB的延长线上，且BE=BA．(1)如图①，若∠BAC=120°，AB=AC，求∠DAE的度数；(2)试探求∠DAE与∠BAC的数量关系；(3)如图②，若AB平分∠DAE，AC⊥CD于点C，求证：BE=2CD．【答案】(1)60°；(2)∠DAE=1(3)见解析．【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的内角和，三角形的外角，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）利用等边对等角，结合三角形的内角和定理以及三角形的外角，角的和差关系进行求解即可；（2）在△ABC中，设∠BAC=α，∠C=β，则∠ABC=180°−α−β，结合CD=CA，则∠CAD=∠CDA=90°−12β，∠DAB=α+12（3）由CD=CA，则∠CAD=∠CDA=45°，设∠E=∠BAE=α，则∠ABC=2α，又AB平分∠EAC，所以∠BAD=α，然后求出α=15°，则∠ABC=30°，最后由含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】（1）解：在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=30°，∵CD=CA，∴∠CAD=∠CDA=1∴∠DAB=∠BAC−∠CAD=120°−75°=45°，∵BE=BA，∴∠E=∠BAE，∵∠ABC=∠E+∠BAE=2∠BAE，∴∠BAE=1∴∠DAE=∠BAE+∠DAB=15°+45°=60°；（2）解：∠DAE与∠BAC的数量关系是：∠DAE=1理由如下：在△ABC中，设∠BAC=α，∠C=β，∴∠ABC=180°−α−β，∵CD=CA，∴∠CAD=∠CDA=1∴∠DAB=∠BAC−∠CAD=α−90°−∵BE=BA，∴∠E=∠BAE，∵∠ABC=∠E+∠BAE=2∠BAE，∴∠BAE=1∴∠DAE=∠BAE+∠DAB=90°−1∴∠DAE=1（3）解：∵CD=CA，∴∠CAD=∠CDA=45°，∵BE=BA，∴∠E=∠BAE，设∠E=∠BAE=α，则∠ABC=2α，∵AB平分∠EAC，∴∠BAD=α，∴∠BAD+∠CAD+∠ABC=90°，即：α+45°+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABC=30°，∴AC=1∴CD=1∴BE=BA，∴CD=12BE【考点4直角三角形全等的判定与性质】【例4】（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠B=90°，BE=AD=4，∠BCD的平分线交AB于点E，若BC与CD的差为1，则AE的长为（）A．1 B．12 C．23 【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．连接DE，过E作EH⊥CD于H，根据角平分线的性质得到BE=EH=4，求得EH=AD，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：连接DE，过E作EH⊥CD于H，∵CE平分∠BCD，∠B=90°，∴BE=EH=4，∵BE=AD，∴EH=AD，在Rt△ADE与RtAD=EHDE=ED∴Rt∴AE=DH，在Rt△BCE与RtBE=EHCE=CE∴Rt∴BC=CH，∵BC与CD的差为1，∴BC−CD=CH−CD=DH=1，∴AE=DH=1，故选：A【变式4-1】（24-25八年级·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟2cm，当运动时间为秒时，【答案】4或8/8或4【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL．分AP=8cm=BC和AP=16cm=AC两种情况，根据HL定理推出【详解】解：∵∠C=90°，AO⊥AC，∴∠C=∠QAP=90°，①当AP=8cm在Rt△ACB和RtAB=PQBC=AP∴Rt△ACB≌∵点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟2cm∴8÷2=4，所以运动时间为4秒；②当AP=16cm在Rt△ACB和RtAB=PQAC=AP∴Rt△ACB≌∵点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟2cm∴16÷2=8，所以运动时间为8秒；综上：当运动时间为4秒或8秒时，△ABC和△PQA全等．故答案为：4或8．【变式4-2】（24-25八年级·山东聊城·期末）在△ABC中，P，F分别是边AB，BC边上的点，作PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E，连接PF，若PD=PE，PF=FC．(1)求证：CE=CD；(2)若AC=BC，△ABC的面积为6，求△PFC的面积．【答案】(1)见解析(2)3【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．（1）根据题意得到∠PDC=∠PEC=90°，然后证明Rt△CPD≌Rt△CPE（2）根据题意得到CP为△ABC的中线，推出S△BPC=1【详解】（1）证明：∵PD⊥AC，PE⊥BC，∴∠PDC=∠PEC=90°，在Rt△CPD和Rt△CPE中，CP=CP，∴Rt∴CE=CD；（2）解：∵AC=BC，∴△ACB为等腰三角形，由（1）知Rt△CPD≌∴∠ACP=∠BCP，即CP为∠ACB的平分线，∴CP为△ABC的中线，∴S在Rt△BPC∵PF=FC，∴∠FPC=∠FCP，∵∠B+∠FCP=90°，∠BPF+∠FPC=90°，∴∠B=∠BPF，∴PF=BF=FC，∴PF为△PBC中线，∴S△PFC=12S△PBC∴△PFC的面积为32【变式4-3】（24-25八年级·甘肃平凉·期末）如图，已知△ABC中BC边上的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交于点G．(1)求证：BF=CG．(2)求证：AG=1【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质的应用，能综合运用性质进行推理是解题的关键．（1）根据线段垂直平分线的性质求出BE=CE，根据角平分线性质求出EF=GE，即可证明Rt△BFE≌（2）证明△AFE≌△AGE，推出AF=AG，即可得出答案．【详解】（1）证明：连接BE和CE，∵DE是BC的垂直平分线，∴BE=CE，∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥A