安徽省六安市轻工中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

六安市轻工中学2023～2024学年度八年级下学期期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.下列方程中，一定是一元二次方程是（）A. B. C. D.2.要使二次根式有意义，则x的取值可以是（）A0 B.1 C.2 D.43.估计－1值在（）A.3和4之间 B.4和5之间 C.5和6之间 D.6和7之间4.下列四组数中，是勾股数的是（）A.2.5、6、6.5 B.3、4、6 C.1、2、 D.5、12、135.已知方程的两个解分别为、，则的值为（）A. B. C.7 D.36.如图是一个围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（）A.4 B.5 C.7 D.257.关于x的一元二次方程的根的情况是（）A.无实数根 B.有两个不相等的实数根C.有两个相等的实数根 D.无法确定8.如图，学校有一块空地，生物组老师带领学生开发出一块长为15米、宽为10米的矩形菜园作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟三条等宽的小道，要使种植面积为88平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（）A. B.C. D.9.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简﹣的结果是（）A.a﹣b＋3 B.a＋b﹣1 C.﹣a﹣b＋1 D.﹣a＋b＋110.如图，在中，，，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），则的最小值是（）A. B.3 C.1 D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.计算的结果是__．12.若最简二次根式与能合并成一项，则______．13.直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则斜边上的高为________．14.如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是______．三、（本大题共有2小题，每小题8分，满分16分）15计算下列各题：（1）（2）16.用适当的方法解下列方程：（1）；（2）．四、（本大题共有2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，若小正方形的边长为1，请你运用所学的知识解决下列问题：（1）的面积为__________；（2）判断形状，并说明理由．18.观察下列等式：①②③（1）写出式⑤：___________________；（2）试用含n（n为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证．五、（本大题共有2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，四边形中，，，，．（1）求的度数．（2）求四边形的面积．20.关于x的方程．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根为1，求m的值．六、（本题满分12分）21.如图，将，的长方形，沿过顶点A的直线为折痕折叠，使顶点B落在边上的点Q处．（1）求的长；（2）求的长．七、（本题满分12分）22.冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只．（1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率；（2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？八、（本题满分14分）23.已知，和都是以为斜边的直角三角形，连接．（1）如图1，和在两侧时，若，过点D作交CA的延长线于点E．．①猜想：______；（请填入“＞”、“＝”或“＜”）②证明：；（2）如图2，和在同侧时，若，猜想线段AC、BC、CD三者之间的数量关系，并说明理由．

六安市轻工中学2023～2024学年度八年级下学期期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义；含有一个未知数且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此判断即可．【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程；B、不是整式方程，不是一元二次方程；C、是一元二次方程；D、整理后为，不是一元二次方程；故选：C．2.要使二次根式有意义，则x的取值可以是（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-3≥0，再解即可．【详解】解：二次根式要有意义，则x-3≥0，即x≥3，故选：D．【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握二次根式定义．3.估计－1值在（）A.3和4之间 B.4和5之间 C.5和6之间 D.6和7之间【答案】C【解析】【分析】正确估算出6＜＜7，据此即可求解．【详解】解：∵62＝36，72＝49，∴6＜＜7，

∴5＜－1＜6．

故选：C．【点睛】此题考查了估算无理数的大小，正确估算出的大小是解题的关键．4.下列四组数中，是勾股数的是（）A.2.5、6、6.5 B.3、4、6 C.1、2、 D.5、12、13【答案】D【解析】【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数称为勾股数，解答即可．【详解】解：A.和不是正整数，则此项不是勾股数，不符题意；B.，因为，所以这三个数不是勾股数，不符题意；C.不是正整数，则此项不是勾股数，不符题意；D.都是正整数，且，所以这三个数能够成为直角三角形三条边长，则此项是勾股数，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了勾股数，解本题的关键要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．5.已知方程的两个解分别为、，则的值为（）A. B. C.7 D.3【答案】D【解析】【分析】由根与系数的关系得出x1＋x2＝5，x1•x2＝2，将其代入x1＋x2−x1•x2中即可得出结论．【详解】解：∵方程x2−5x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，∴x1＋x2＝5，x1•x2＝2，∴x1＋x2−x1•x2＝5−2＝3．故选D．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系得出x1＋x2＝5，x1•x2＝2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．6.如图是一个围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（）A.4 B.5 C.7 D.25【答案】B【解析】【分析】本题主要考查勾股定理的应用，利用勾股定理计算结果，再将计算的结果化简即可，掌握勾股定理是解题的关键．【详解】由图知，黑、白两棋子的距离，故选：B．7.关于x的一元二次方程的根的情况是（）A.无实数根 B.有两个不相等的实数根C.有两个相等的实数根 D.无法确定【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，正确理解一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键．一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．计算已知方程根的判别式，即可判断答案．【详解】，，，，原方程由两个相等的实数根．故选C．8.如图，学校有一块空地，生物组老师带领学生开发出一块长为15米、宽为10米的矩形菜园作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟三条等宽的小道，要使种植面积为88平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由小道的宽为米，可得出种植菜园的部分可合成长为米，宽为米的长方形，再根据种植面积为88平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】解：∵小道的宽为米，∴种植菜园的部分可合成长为米，宽为米的长方形．依题意得：．故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简﹣的结果是（）A.a﹣b＋3 B.a＋b﹣1 C.﹣a﹣b＋1 D.﹣a＋b＋1【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．【详解】解：由数轴可知：，，，原式，故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的化简、绝对值化简、利用数轴比较有理数的大小，解题的关键是熟练运用二次根式的性质．10.如图，在中，，，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），则的最小值是（）A. B.3 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，由是等腰直角三角形可得，即，故取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长，根据，，可得，即可得答案．【详解】解：以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，如图：由作图可知：是等腰直角三角形，∴，∴，∴取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长，∵，，∴，∴，∴，，∴最小值是．故选：A．【点睛】本题考查三角形中的最小路径，解题的关键是作辅助线，把的最小值转化为求的最小值．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.计算的结果是__．【答案】4【解析】【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，注意：．12.若最简二次根式与能合并成一项，则______．【答案】3【解析】【分析】本题主要考查了同类二次根式等知识点，根据同类二次根式的定义可求出x的值，解题的关键是正确理解同类二次根式的定义．【详解】由题意可知：，∴，故答案为：3．13.直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则斜边上的高为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，三角形面积公式，根据勾股定理得出斜边长为，再根据面积相等，即可得出斜边上的高．【详解】解：根据勾股定理可得：斜边长为，根据面积相等，设斜边上的高为，则，解得：，故答案为：．14.如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是______．【答案】①②④【解析】【分析】本题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可判定③，再根据勾股定理以及等量代换即可得出④，通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．【详解】①∵，，，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故①正确，②连接，由①中证明，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴∵，∴，故②正确，③如图，设与的交点为G，∵，，∴，，∴，故③不正确，④：∵，，∴，在中，，，∴，∴，故④正确．故答案为：①②④．三、（本大题共有2小题，每小题8分，满分16分）15.计算下列各题：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式等知识点，（1）先化简然后再加减运算，即可解答；（2）先利用平方差公式，完全平方公式进行计算，然后再加减即可解答；准确熟练地进行计算是解题的关键．【小问1详解】；【小问2详解】．16.用适当的方法解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【小问1详解】解：直接开平方得：，∴或，解得：，；【小问2详解】解：移项得：，因式分解得：，即，∴或，解得：，．四、（本大题共有2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，若小正方形的边长为1，请你运用所学的知识解决下列问题：（1）的面积为__________；（2）判断的形状，并说明理由．【答案】（1）5（2）直角三角形，见解析【解析】【分析】（1）利用包含的正方形的面积减去周围3个三角形的面积即可；（2）利用勾股定理求出的三条边长，再利用勾股定理的逆定理判断是否是直角三角形．【小问1详解】解：由图可得，．故答案为：5；【小问2详解】解：是直角三角形．理由：由勾股定理得，，，，是直角三角形．【点睛】本题考查利用网格求三角形面积，勾股定理与勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．18.观察下列等式：①②③（1）写出式⑤：___________________；（2）试用含n（n为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证．【答案】（1）（2）规律：（为自然数，且），验证见解析．【解析】【分析】（1）根据规律解答即可；（2）根据完全平方公式以及二次根式的性质解答即可．【详解】解：（1）①②③式⑤：故答案为：（2）规律：理由如下：∵n为自然数，且n≥1，∴【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握完全平方公式是解答（2）的关键．五、（本大题共有2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，四边形中，，，，．（1）求的度数．（2）求四边形的面积．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）连接，根据，，得出为等边三角形，求得，然后根据勾股定理逆定理判断△BDC是直角三角形，，从而求得的度数．（2）根据四边形的面积等于△ABC和△ACD的和即可求解．【详解】解：（1）如图，连接，，为等边三角形，，，（2）如图，过点作为等边三角形在中，．【点睛】本题考查了等边三角形判定与性质，勾股定理逆定理．解（2）题的关键是把不规则图形转化为规则的三角形求得面积．20.关于x的方程．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根为1，求m的值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，计算得出，即可得证；（2）将代入方程，解方程即可求解．【小问1详解】证明：，∵，∴，∵在实数范围内，m无论取何值，都有，即．∴关于x的方程恒有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：将代入方程，可得，解得．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，掌握以上知识是解题的关键．六、（本题满分12分）21.如图，将，长方形，沿过顶点A的直线为折痕折叠，使顶点B落在边上的点Q处．（1）求的长；（2）求的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理的运用以及折叠变换的性质等知识点，熟练掌握勾股定理的运用以及折叠变换的性质是解决此题的关键．（1）由折叠的性质可知，根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理即可求出线段的长度；（2）由（1）可知，所以，设，则，所以，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据翻性质得的长度即可；【小问1详解】由折叠的性质可知，∴，∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴线段的长度是；【小问2详解】由（1）可知，∴，设，则，∴，∴，解得：，∴线段长度是，∴线段的长度是．七、（本题满分12分）22.冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只．（1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率；（2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？【答案】（1）