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文档简介
[3]关于方程组（1.1）式，假设阶方阵的互不相同的特征根为，它相对应的重数为，那么方程组（1.1）式的标准基解矩阵为（1.22）其中是方程组的解．证明假设矩阵的特征多项式为，根据哈密顿-凯莱定理，有，由此可见，可以用的线性组合来表示，即，把上述的公式代入到的展开式里，也可以用的线性组合表示出来，但是它的系数是的函数，即可以得到（1.22）式成立．假设是的特征值，并且它相对应的特征向量是，即可以得到．又利用右乘的展开式与（1.22）式的两边，而且运用，有从而有．（1.24）倘若有个不同的特征值，那么利用（1.24）式可得个关于，，，的线性方程组由于两两互异，所以（1.25）式的系数行列式即范德蒙行列式不为，方程组（1.25）式有唯一解，把解代入（1.22）式得出．假如的一个特征值是重根，此时只需要先把（1.25）式中对应于的那个方程的两边，分别依次对求到阶导数，再把得出的个方程填补进（1.25）式中，仍然得出关于，，，的个方程．假如有其它的重特征根，分别依次处理，即可以得出方程组（1.23）式．运用行列式的性质能够证明有关于，，，的系数行列式仍然不等于，最后，把得出的唯一解，，，代入到（1.22）式中，即可以得出．例5试求微分方程组的基解矩阵．解法1的特征值为．求初值问题先求解初值问题可以得出它的解为；再求解初值问题可以得出它的解为；后求解初值问题可得其解为；由式（1.19），得方程组的基解矩阵为解法2的特
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