九年级数学上册 第21章 二次根式21.2 二次根式的乘除法 3二次根式的除法教学设计 （新版）华东师大版

九年级数学上册第21章二次根式21.2二次根式的乘除法3二次根式的除法教学设计（新版）华东师大版主备人备课成员设计思路嗨，同学们！今天我们要来探索二次根式的乘除法，特别是二次根式的除法。我会通过一些具体的例子，一步步带着你们走进这个有趣的世界。想象一下，我们一起在数学的海洋里遨游，用二次根式做工具，解开数学难题的秘密！🌊🔍🎯核心素养目标培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等核心素养。通过二次根式的乘除法学习，提升学生运用数学语言表达现实世界的能力，增强解决问题的策略意识，发展数学思维能力。教学难点与重点1.教学重点：

-重点理解二次根式的除法法则，即分子分母同时乘以分母的根号部分，从而化简表达式。

-重点掌握化简二次根式的技巧，比如将根号内的表达式分解为因式，并提取出平方项。

-例如，对于表达式\(\sqrt{8}\div\sqrt{2}\)，学生需要能够识别出分子分母的根号部分，并正确化简为\(2\sqrt{2}\)。

2.教学难点：

-难点在于正确处理含有分母的二次根式除法，避免因错误约分导致结果错误。

-难点在于理解根号内因式分解与根号外提取平方项的关系，避免混淆。

-例如，在处理\(\sqrt{\frac{12}{3}}\)时，学生可能会错误地约分为\(\sqrt{4}\)，而正确的步骤是先化简为\(\sqrt{\frac{4\times3}{3}}\)，再进一步化简为\(\sqrt{4}=2\)。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都具备华东师大版九年级数学上册教材，特别是第21章相关内容。

2.辅助材料：准备包含二次根式乘除法例题的图表、动画演示视频，以及相关的数学模型图解。

3.教学工具：准备计算器、白板或投影仪，以便展示解题过程和动态变化。

4.教室布置：设置小组讨论区，确保学生能够方便地分组讨论问题，并留出空间进行小规模实验操作。教学过程1.导入（约5分钟）：

-激发兴趣：同学们，还记得我们之前学的平方根和立方根吗？今天我们要进一步探索二次根式的乘除法，就像数学中的魔法一样，可以让复杂的表达式变得简单。大家想不想一起揭开这个魔法的面纱呢？

-回顾旧知：在之前的课程中，我们学习了平方根和立方根的基本概念，以及它们的一些基本性质。今天，我们将这些知识应用到二次根式的乘除法中。

2.新课呈现（约20分钟）：

-讲解新知：首先，我会详细讲解二次根式的乘除法法则。分子分母相乘时，如果根号内的因子相同，可以合并；如果根号内没有相同的因子，则直接相乘。分母相除时，可以将除法转化为乘法，并利用根号内的因式分解。

-举例说明：我会用具体的例子来展示这些法则，比如\(\sqrt{18}\div\sqrt{3}\)和\(\sqrt{a}\times\sqrt{b}\)的计算过程。

-互动探究：接下来，我会引导学生进行小组讨论，尝试自己解决一些类似的题目，比如\(\sqrt{50}\div\sqrt{5}\)和\(\sqrt{2}\times\sqrt{32}\)。

3.巩固练习（约30分钟）：

-学生活动：在黑板上列出几道不同难度的练习题，让学生独立完成，同时鼓励他们在小组内互相检查答案。

-教师指导：在学生练习的过程中，我会走动到各个小组旁边，观察他们的解题过程，并提供必要的帮助。对于一些共性的错误，我会集中讲解和纠正。

4.拓展与深化（约10分钟）：

-拓展：我会提出一些更具挑战性的问题，比如如何处理带有系数的二次根式除法，或者如何在分数中包含二次根式。

-深化：我会引导学生思考二次根式乘除法的实际应用，例如在物理或工程中的计算。

5.总结与反思（约5分钟）：

-总结：我会回顾本节课的主要知识点，强调二次根式乘除法的重要性和应用。

-反思：鼓励学生思考自己在本节课中的学习收获，以及还有哪些地方需要进一步学习和提高。

在整个教学过程中，我会注重学生的参与度，鼓励他们提问和表达自己的观点。同时，我会利用多媒体资源和教具来辅助教学，使课堂更加生动有趣。通过这样的教学设计，我希望学生能够不仅掌握二次根式的乘除法，还能培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。学生学习效果六、学生学习效果

1.**知识掌握程度**：

-学生能够熟练掌握二次根式的乘除法法则，包括如何进行分子分母的相乘和相除，以及如何处理带有系数的二次根式除法。

-学生能够正确应用根号内的因式分解和提取平方项的技巧，简化复杂的二次根式表达式。

2.**数学思维能力**：

-学生的数学抽象能力得到提升，能够从具体的数值和例子中提炼出抽象的数学法则。

-学生的逻辑推理能力得到锻炼，能够通过逻辑步骤推导出正确的计算结果。

3.**问题解决能力**：

-学生在面对新的数学问题时，能够运用所学知识进行有效的分析和解决。

-学生在解决实际问题时，能够将二次根式的乘除法应用到具体的情境中，如物理计算、几何问题等。

4.**合作与交流能力**：

-在小组讨论和练习中，学生学会了如何与他人合作，共同解决问题。

-学生能够清晰、准确地表达自己的思路，并能够倾听和尊重他人的观点。

5.**学习习惯与态度**：

-学生养成了良好的学习习惯，如认真听讲、积极参与、独立思考等。

-学生对数学学习的兴趣和自信心得到增强，愿意面对挑战并克服困难。

6.**应用与实践能力**：

-学生能够将二次根式的乘除法应用到日常生活中的实际问题中，如购物计算、食谱调整等。

-学生在解决实际问题的过程中，能够灵活运用所学知识，提高生活技能。

7.**情感态度与价值观**：

-学生在学习数学的过程中，体验到了数学的严谨性和逻辑性，增强了科学素养。

-学生通过解决数学问题，培养了耐心、细心和毅力等优秀品质。内容逻辑关系①二次根式乘除法法则：

-重点知识点：分子分母的相乘、相除法则，根号内因式分解。

-关键词：乘法法则、除法法则、因式分解、提取平方项。

-关键句：分子分母相乘时，根号内的因子相同可合并；分子分母相除时，可转化为乘法并提取平方项。

②根号内因式分解：

-重点知识点：将根号内的表达式分解为因式，提取平方项。

-关键词：因式分解、平方项、简化表达式。

-关键句：对根号内的表达式进行因式分解，提取出所有平方项，简化表达式。

③分母有理化的技巧：

-重点知识点：分母有理化的方法，避免根号内出现分数。

-关键词：有理化、分母处理、避免分数。

-关键句：通过乘以分母的根号部分，实现分母有理化，避免根号内出现分数。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.案例教学法：在讲解二次根式的乘除法时，我尝试引入实际案例，如建筑测量、物理计算等，让学生在实际情境中理解数学知识的应用，提高学习的趣味性和实用性。

2.小组合作学习：我鼓励学生分组讨论和合作解决问题，通过小组间的交流和互动，培养学生的团队协作能力和沟通技巧。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生参与度不足：在部分课堂中，我发现一些学生对于二次根式的乘除法表现出一定的抵触情绪，参与课堂活动的积极性不高。

2.教学节奏把握不当：有时候，为了追求知识的完整性，我可能忽略了教学节奏的把握，导致部分学生跟不上教学进度。

3.评价方式单一：目前的评价方式主要是通过作业和考试来衡量学生的学习效果，这种评价方式可能无法全面反映学生的学习情况。

反思改进措施（三）改进措施

1.提高学生参与度：为了提高学生的参与度，我计划在课堂上增加互动环节，如提问、小组讨论、游戏等，激发学生的学习兴趣，让他们在轻松愉快的氛围中学习。

2.调整教学节奏：我会根据学生的学习情况，适时调整教学节奏，确保所有学生都能够跟上教学进度，对于难度较大的内容，我会适当放慢速度，给予学生充分的消化时间。

3.丰富评价方式：为了更全面地评价学生的学习效果，我计划采用多元化的评价方式，包括课堂表现、小组合作、自我评价等，以此来更准确地了解学生的学习情况。同时，我也会鼓励学生进行自我反思，提高他们的自我学习能力。典型例题讲解例题1：

计算：\(\sqrt{45}\div\sqrt{5}\)

解答：首先，我们可以将根号内的45分解为9和5的乘积，即\(\sqrt{45}=\sqrt{9\times5}\)。由于9是5的平方，我们可以将根号外的9提取出来，得到\(\sqrt{45}\div\sqrt{5}=\sqrt{9\times5}\div\sqrt{5}=\sqrt{9}\times\sqrt{5}\div\sqrt{5}\)。接下来，由于\(\sqrt{5}\div\sqrt{5}=1\)，我们得到\(\sqrt{9}\times1=3\)。所以，\(\sqrt{45}\div\sqrt{5}=3\)。

例题2：

计算：\(\sqrt{64}\times\sqrt{2}\)

解答：根号内的64是8的平方，因此\(\sqrt{64}=8\)。所以，\(\sqrt{64}\times\sqrt{2}=8\times\sqrt{2}\)。这个表达式已经是最简形式，所以答案是\(8\sqrt{2}\)。

例题3：

计算：\(\sqrt{28}\div\sqrt{7}\)

解答：首先，我们将根号内的28分解为4和7的乘积，即\(\sqrt{28}=\sqrt{4\times7}\)。由于4是2的平方，我们可以将根号外的4提取出来，得到\(\sqrt{28}\div\sqrt{7}=\sqrt{4\times7}\div\sqrt{7}=\sqrt{4}\times\sqrt{7}\div\sqrt{7}\)。接下来，由于\(\sqrt{7}\div\sqrt{7}=1\)，我们得到\(\sqrt{4}\times1=2\)。所以，\(\sqrt{28}\div\sqrt{7}=2\)。

例题4：

计算：\(\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{25}}\)

解答：根号内的50可以分解为25和2的乘积，即\(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}\)。由于25是5的平方，我们可以将根号外的25提取出来，得到\(\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{25\times2}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{25}\times\sqrt{2}}{\sqrt{25}}\)。接下来，由于\(\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{25}}=1\)，我们得到\(1\times\sqrt{2}=\sqrt{2}\)。所以，\(\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{25}}=\sqrt{2}\)。

例题5：

计算：\(\sqrt{100}\times\frac{1}{\sqrt{10}}\)

解答：根号内的100是10的平方，因此\(\sqrt{100}=10\)。所以，\(\sqrt{100}\times\frac{1}{\sqrt{10}}=10\times\frac{1}{\sqrt{10}}\)。这个表达式可以简化为\(\frac{10}{\sqrt{10}}\)。为了有理化分母，我们可以乘以\(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}\)，得到\(\frac{10\sqrt{10}}{10}\)。由于分子分母都有10，它们可以相互约去，最终答案是\(\sqrt{10}\)。教学评价与反馈1.课堂表现：

-学生在课堂上的参与度较高，对于二次根式的乘除法法则表现出浓厚的兴趣。

-大部分学生能够积极回答问题，并在小组讨论中提出自己的观点和解决方案。

2.小组讨论成果展示：

-小组讨论环节中，学生们能够有效地分工合作，共同解决复杂的二次根式乘除法问题。

-学生们展示的成果包括：正确解答了几个难度较高的题目，并能够清晰地阐述解题思路。

3.随堂测试：

-进行了一次随堂测试，覆盖了二次根式乘除法的各种题型，包括计算题和应用题。

-测试结果显示，大多数学生能够正确应用所学知识进行计算，但在处理一些复杂问题时，部分学生存在错误。

4.学生自评与互评：

-学生们对自己在课堂上的表现进行了自我评价，认识到自己在哪些方面做得好，哪些方面需要改进。

-学生之间也进行了互评，互相指出对方的优点和不足，促进了学生之间的相互学习和成长。

5.教师评价与反馈：

-针对课堂表现：对于积极参与课堂讨论的学生给予肯定，对于表现不佳的学生，鼓励他们积极参与，提高自信心。

-针对小组讨论成果展示：表扬小组合作精神，对于个别学