平面几何求解角格点的新方法-模块法

一 简 三 普通模1 含0.5°角的角格点解法 1

一、简例 ∠CBD=68ºBCE=14º，∠DCE=8º，求∠DAE于是末学在想，能不能有一个比较规范的程序方式来求解，让普通的同学们都能便利BD⊥ACF是AC上A关于BD的对称点，连接FB、△BEF的外接圆交EC于PPB、 O、C关于FP B、C关于OP 2△C内一点P与三个顶点的联线，将三角形的三个内角分为六个分角，联线PA、PB、PCP，也可以附加上六个分角的度数，六个分角依间隔分为两组，（）和（z）,标注时依顺ABC-P(a,b,c,x,y,z（a,b,x,,未知的分角 FCB-△ABE的外接圆交AC于G，产生一个新的角格点BGC-E(38°,14°,24°,28°,8°,68°)，例1mod5- (8°,28°,68°,24°,14°,其中ABC-E表达了mod5-8的一个成员，BGC-E表达了mod5-8的另一个成员。一个模块5

（1）1（α，β，90°-α-β，α，β，90°-α-PP11（2）模型2 证法1： 由ABC-P可知mod2 证法2：△ABD2α ∠PCA=2∠CDP=60°- ∠PCB=180°-2α-(30°-α)-30°-(60°-2α)=由ABC-P(α，30°，60°-2α，α，30°-可知 已知：ABC-Pα，60°-2α，30°-α，α，) A、B关于EP ∠PCE=90°-∠PCB=180°-(30°-α)-2α-（60°-2α）- 可知mod2 已知：ABC-Pα，30°，30°-α，α) △COB A、B关于OP ∠PCB=∠POB=90°-(30°-∠PCA=180°-30°-(30°+α)-(60°+α)=60°-由ABC- 可知 2：29mod2-1(30°,1°,58°,1°,29°,61° mod2-2(30°,2°,56°,2°,28°,62°mod2-3(30°,3°,54°,3°,27°,63° mod2-4(30°,4°,52°,4°,26°,64°mod2-5(30°,5°,50°,5°,25°,65° mod2-6(30°,6°,48°,6°,24°,66°mod2-7(30°,7°,46°,7°,23°,67° mod2-8(30°,8°,44°,8°,22°,68°mod2-9(30°,9°,42°,9°,21°,69° mod2-10(30°,10°,40°,10°,20°,70°mod2-( mod2-()mod2-( mod2-()mod2-(30°, mod2-()mod2-(30°, mod2-()mod2-(30°, mod2-()mod2-(30°,21°,18°,21°, mod2-(30°,22°,16°,22°,)mod2-(30°,23°,14°,23°, mod2-(30°,24°,12°,24°,)mod2-(30°,25°,10°,25°, mod2-(30°,26°,8°,26°,)mod2-(30°,27°,6°,27°, mod2-(30°,28°,4°,28°,)mod2-(30°,29°,2°,29°,)3（30°，α，90°-1：ABC-P（30°，α，2α，30°- ∠FBD=∠FAD= A、B、D、C 由ABC-P可知mod3(30°，α，90°-3α，2α，30°-α，30°+α)成立已知ABC-P（30°- ∠PBF=∠PBC D、P、F、A 由ABC-P（30°-α,30°+α,2α,α,30°,90°-3α)可知mod3(30°，α，90°-3α，2α，30°-α，30°+α)证法已知ABC-O是△ABP的外心，连接OA、OB、OC、 △POB A、B关于CO 可知mod3(30°,α,90°-3α,2α,30°-α,30°+α)3：29(30°,87°,2°,29°,31°mod3-(30°,2°,84°,4°,28°,32°mod3-(30°,81°,6°,27°,33°mod3-(30°,4°,78°,8°,26°,34°(30°,75°,10°,25°,35°mod3-(30°,6°,72°,12°,24°,36°(30°,69°,14°,23°,37°mod3-(30°,8°,66°,16°,22°,38°mod3-(30°,63°,18°,21°,39°mod3-(30°,10°,60°,20°,20°,40°mod3-(30°,11°,57°,22°,19°,41°mod3-(30°,12°,54°,24°,18°,42°mod3-(30°,13°,51°,26°,17°,43°mod3-(30°,14°,48°,28°,16°,44°mod3-(30°,15°,45°,30°,15°,45°mod3-(30°,16°,42°,32°,14°,46°mod3-(30°,17°,39°,34°,13°,47°mod3-(30°,18°,36°,36°,12°,48°mod3-(30°,19°,33°,38°,11°,49°mod3-(30°,20°,30°,40°,10°,50°mod3-(30°,21°,27°,42°,9°,51°mod3-(30°,22°,24°,44°,8°,52°mod3-(30°,23°,21°,46°,7°,53°mod3-(30°,24°,18°,48°,6°,54°mod3-(30°,25°,15°,50°,5°,55°mod3-(30°,26°,12°,52°,4°,56°mod3-(30°,27°,9°,54°,3°,57°mod3-(30°,28°,6°,56°,2°,58°mod3-(30°,29°,3°,58°,1°,59°4（30°，2α，30°-1：ABC-P30°，2α，α，30°-∠AFC=∠PAD=∠PBD=由ABC-P可知mod4 (30°，2α，30°-2α，α，30°-2α，90°+α)成立ABC-P(30°-2α，2α，α，30°-2αO是△ABC的外心，连接OA、OB、OC、 △AOC ∠COB=2(30°-2α+α)=60°-∠POC 由ABC-P 30°-2α，2α，30°，α，30°-可知mod430°，2α，30°-2α，α，30°-2α，90°+α)成立ABC-P(α,30°-2α,2α,30°-2α做∠PAC的平分线交BC于D，连接∠PAD=∠PAB P是△ABD∠PDA=∠PDB=∠ADC=180°-2(60°+α)=60°- 根据 则有APC- 由ABC-P(α,30°-2α，90°+α，2α,30°-2α，30°)可知mod430°，2α，30°-2α，α，30°-2α，90°+α)4：141()2(2°,26°,)3(3°,24°,)4(4°,22°,)5()6()7()8()9()mod4-()mod4-(30°,22°,8°,11°,)mod4-(30°,24°,6°,12°,)mod4-(30°,26°,4°,13°,)mod4-(30°,28°,2°,14°,)（5）5（α，60°-4α，60°+α，3α，30°-2α，30°+α）1：已知ABC-P（α，60°-4α，3α，30°- ∠PAD=∠PAB =>Q、C关于BE 由ABC-P可知mod5α，60°-4α，60°+α，3α，30°-2α,30°+α)成立已 ∠PAE=∠PAB= ∠PEA=∠PEB=90°-2α-（30°- P、C关于BE 由ABC-D(3α，30°-2α，30°+α，α，60°-4α可知mod5(α，60°-4α，60°+α，3α，30°-2α，30°+α) 已知ABC-P(3α,_,30°+α,60°-4α,α,_) mod430°，2α，30°-2α，α，30°-则有DBC- (30°，30°-2α，2α，90°+α,α，30°-∠PCB=180(90-(30260°-α由P(3,30°-2α,30,,60°-4,60)可知mod5α,60°-4α,60°+α,3α,30°-2α,30°+α)5：14mod5-1(1°,56°,61°,3°,28°,31°mod5-2(2°,52°,62°,6°,26°,32°)mod5-3(3°,48°,63°，9°,24°,33°)mod5-4(4°,44°,64°,12°,22°,34°mod5-5(5°,40°,65°,15°,20°,35°mod5-6(6°,36°,66°,18°,18°,36°mod5-7(7°,32°,67°,21°,16°,37°mod5-8(8°,28°,68°,24°,14°,38°mod5-9(9°,24°,69°,27°,12°,39°)mod5-10(10°,20°,70°,30°,10°,40°)mod5-11(11°,16°,71°,33°,8°,41°mod5-12(12°,12°,72°,36°,6°,42°mod5-13(13°,8°,73°,39°,4°,43°mod5-14(14°,4°,74°,42°,2°,44°°5396(9°,24°,30°,3°,39°,)7(15°,18°,24°,3°,39°,)8(9°,15°,51°,3°,48°,)9(12°,18°,86°,)(12°,12°,48°,6°,18°,)(12°,18°,54°,6°,42°,)(9°,18°,54°,9°,15°,)(12°,15°,48°,9°,15°,)(12°,18°,39°,9°,15°,)(12°,18°,42°,12°,12°,)(24°,30°,30°,18°,24°,)(6°,18°,42°,6°,12°,)(6°,24°,48°,6°,18°,)(12°,18°,48°,6°,30°,)(12°,24°,42°,6°,42°,)(10°,16°,24°,2°,34°,)(8°,12°,50°,2°,46°,)(10°,18°,46°,4°,38°,)(6°,12°,24°,6°,)(18°,24°,24°,6°,30°,)(22°,24°,28°,10°,26°,)(18°,30°,30°,12°,24°,)(12°,30°,48°,18°,18°,)(6°,12°,48°,3°,18°,)(6°,15°,51°,3°,24°,)(9°,12°,51°,3°,30°,)(12°,18°,24°,3°,30°,)(9°,15°,48°,3°,39°,)(12°,21°,27°,3°,42°,)(15°,18°,27°,3°,48°,)(15°,21°,24°,3°,54°,)(6°,12°,48°,6°,9°,)(12°,18°,24°,)(6°,21°,57°,9°,12°,)(12°,15°,57°,9°,18°,)(15°,21°,48°,9°,33°,)(12°,33°,39°,15°,18°,)(18°,27°,39°,15°,24°,)(24°,27°,33°,15°,30°,)12293：294145：1439125mod2-10和mod5-10发生了重复，mod3-151重复，实际总数应当是11却只有一种，那就是11(12°,18°,54°,6°,42°,48°)，它的两个正三角形成员如图ABC-P(6°,48°,42°54°12°,18°DEF-Q(6°,42°,48°,54°,18°,12°例 求证：11(12°,18°,54°,6°,42°,48°)成立根据mod3- PDC，使∠DAC=30°, =>B、CAD =>△ABC 由ABC-P（6°,48°,42°,54°,12°,18°）可知11（6°,42°,48°,12°,18°,54°）例3求证：10(12°,12°,48°,6°,18°,84°)成立根据11 =>B、D关于AC ∠°-30°°°由 ,12°,48°,18°,6°,84°)可知10(12°,12°,48°,6°,18°,84°)例 求证：17（6°,12°,96°,6°,18°,42°）成根据△ABD是正三角形A、D关于BC 由ABC-P可知17（6°,12°,96°,6°,18°,42°）成立 求证：9（6°,12°,114°,12°,18°,18°）成立已 ABC-P（12°,6°,18°,12° △OBC A、B关于PO 根据11(6°,42°,48°,12°,18°,54°)BCO-P（6°,42°,48°54°,18°,12°,） 由ABC-P（12°,6°,114°,18°,12°,18°）可知9 （6°,12°,114°,12°,18°,18°）成立例6求证18（6°,18°,78°,6°,24°,48°）成立根据 例7求证19（6°,30°,66°,12°,18°,48°）ABC-P（6°，30°，12°，18°）根据11(6°,42°,48°,12°,18°,54°) =>P、E关于AC 由ABC- 可知19（6°,30°,66°,12°,18°,48°）成例8求证16(18°,24°,54°,24°,30°,30°)ABD- 根据11(6°,42°,48°,12°,18°,54°) A、B关于PD =>B、P、C、DABC-P可知 12每一种例 求 (3°,39°, 9°,24°, (9°,15°,87°,12°,18°, (3°,39°, 9°,15°,mod5-3(3°,48°,63°,9°,24°, 3°,63°,48°,33°,9°,24°)∠ADB=48°+24°=72 ∠PBC=48°-9°=39由ABC- (3°,39°,75°,30°,9°,可 (3°,39°,75°,9°,24°,30°)成∠EAP=∠EAC= ∠EAD (15°,87°,9°,18°,12°,可 (9°,15°,87°,12°,18°,39°)成 (3°,39°,66°,15°,9°,48°)可知333°,39°,66°,9°,15°,48°)例107（3°,39°,81°,15°,43（15°,24°,57°,18°,mod5-3（3,48°,63°,9°,24°,33°）ABC-P（3,48°,63°,33°24°,9°） AF平分∠BAC，AF交PC于F，B、C关于AF对称 由ABF-P7（3°,39°,81°,15°24°,18°）由APC-E（15°,57°,24°,18°可知 （15°,24°,57°,18°,27°,39°）成例11 (9°,15°,75°,9°,18°, ( ABC-P9°,15°,18°9°∠PAB=∠PBA=9°A、B关于PD 根据mod5-9(9°,24°,69°,27°,12°,39°)ABD-C27°,12°,39°,9°,24°,69°) =>P、C、D、B∠PCB= ABC-P(9°,15°,75°,18°,9°,54°)可知 (9°,15°,75°,9°,18°,54°)成由APD-C18°,12°,39°，9°可知 (9°,15°,87°,12°,18°,39°)成例12求证13（9°,15°,81°,12°,15°,48°）已知ABC-P ∠PAB= 依据例10已证43（15°,24°,57°,18°,27°,39°）存在 ABD-C（24°,15°,57°,18°,27°,39°）成立 =>A、P、C、D由ABC-P（15°,12°,48°,9°,15°,可知13（9°,15°,81°，12°,15°,48°） 求证 (12°,12°,84°,12°,18°,42°)成ABC-∠PAB A、B关于PO 则 ∠PCB=∠PCO∠PCA=66°+18°=由ABC-可知 求证20（6°，42°，54°，12°，24°，42°）成已 O是△ABC ABC-O合乎模型 根据mod4-12 (30°,24°,6°,12°,6°,102°)则有AOC-P30°,6°,24°6°ABC-可知20（6°,42°,54°,12°,24°,42°）例15求证 已知：ABC-P A、B关于PO ∠PAO=60°+6°=66°根据mod2-6 (6°,48°,30°,24°,6°,66°)存在则 AOC-P( 由ABC-可知 例16：37(6°,9°,99°,6°,12°,48°)已知：ABC-P 根据mod5-3 AOC-P(63°,3°,48°,9°,33°,24°) 可知 例17求证 成证明：根据mod5-3有ABD-P ∠CEP根据例 已证得12则有APD-E由ABC-P 可知 成例 求证 (6°,30°,78°,18°,24°,24°)成mod3-5(30°,6°,ADC-P672°,30°,24°,12°,36°)ADB, =>△PCDPDBC∠PCB=36°/2=18° 由ABC-P(6°,78°,30°,24°,24°,18°)可知 (6°,30°,78°,18°,24°,24°)成例19求证27（12°,24°,66°,18°,30°,30°）mod3-ABD-P（12°,36°,48°30°,18°,36°,） 根据mod2-24（30°,24°,12°,24°,6°,84°）有PBD-E（24°,12°,30°,84°,24°,6°）存在由ABC-P（12°,24°,66°,30°,18°,30°）可知27（12°,24°,66°,18°,30°,30°）成立20求证28（12°,30°,48°,18°,18°,54°）成立根据mod2-12则 ADC-P（12°,36°,30°,18°,12°,72°）存mod5-12（12°,12°,72°,36°,6°,42°）则有BDC-E（72°,12°,12°,42°36°,6°） 可 28（12°,30°,48°,18°,18°,54°）成例 求证31(3°，30°，75°，9°，12°，51°）成依据例 已证 (3°,39°,75°,9°,24°,30°）存在则 ADC-P(3°,39°,75°,9°,24°,30°）存在∠ECD=∠EPD=24°-根 mod4-9（30°,18°,12°,9°,12°,99°）存在则 BCD-E（30°,12°,18°,12°,9°,99°）存 由ABC-P可知31(3°,30°,75°,9°,12°,51°）例22求证29(3°,18°,93°,6°,12°,48°）根据mod3- (30°,18°,36°,36°,12°,48°做 (12°,36°,48°,30°,18°,36° mod3-3(30°,3°,81°,6°,27°,33°APD-E381°,30°,27°,33°,6°由ABC-P(12°,48°,6°,3°,18°,93°）可 29(3°,18°,93°,6°,12°,48°）成例23：求证 根据mod2-12 (30°,12°,36°,12°,18°,72°)存在则有BCD- (30°,12°,36°,12°,18°,72°)存根据mod5-3 则有ADC- 存 由ABC-P(3°,30°,93°,24°,12°,18°) (3°,30°,93°,12°,18°,24°)成立例24求证33(3°,39°,66°,9°,15°,48°)成立根据例已知6 (3°,39°,75°,9°,24°,30°)存在则有ADC-P(3°,75°,39°,9°,30°,24°)存在 PB P、B关于CD ABC-P可 (3°,39°,66°,9°,15°,48°)成例 求证30(3°,24°,81°,6°,15°,51°)成根据mod4-3做ADC-P根据例12 已证13(9°,15°,81°,12°,15°,48°)存在 ABC-P(3°,81°,24°,6°,15°,51°)可 (3°,24°,81°,6°,15°,51°)成例 求证38(6°,15°,105°,12°,18°,24°)成 (30°,12°,18°,6°,18°,96°)存在则有ABD-P 根据例25已证30 则有BDP-E(3°,24°,81°,15°,6°,51°) ABC-P可知：38(6°,15°,105°,12°,18°,24°)成立例2740（9°,18°,69°,12°,15°,57°)依据例12 所证13（9°,15°,81°,12°,15°,48°)存在做ADC-P（12°,48°,15°,9°,81°,15°) 依据例17 所证8（3°,48°,54°,9°,15°,51°)存在则有PBC-E（51°,9°,15°,3°,48°,54°)存在 由ABC-P（12°,57°,15°,9°,18°,69°)成立可知 （9°,18°,69°,12°,15°,57°)成 求证42(12°,33°,39°,15°,18°,63°)成依据例10证得7做ADC-P ∠CPB=18°+39°+15°+12°=84° 已证6(3°,39°,75°,9°,24°,30°)存在则 PBC-E(75°,39°,3°,9°,24°,30°)存∠PCB=3°+30°=33° 可知 1镶嵌例29求证34(3°,42°,75°,12°,21°,27°）成立已知ABC-P(3°,42°,_,_,21°,27°） ∠EDC=∠EPC=111°-根 例23所证32(3°,30°,93°,12°,18°,24°）存ADC-E3°,93°,30°,12°,24°,18°）由ABC- 可知34(3°,42°,75°,12°,21°,27°）成例30求证 (3°,48°,69°,15°,18°,27°）成已知ABC-P(3°,15°,_,18°,_,69°） ∠EDC=∠EPC=180°-18°-根据例23所证32(3°,30°,93°,12°,18°,24°ADC-E3°,93°,30°,18°,24°,12°）∠PEC=18° ∠PED=3°+24°=27由ABC- (3°,48°,69°,18°,15°,27°可知35 (3°,48°,69°,15°,18°,27°）成立 求证36 ∠EDC=∠EPC=∠EDA=180°-93°-15°-根据例23 32(3°,30°,93°,12°,18°,24°)成立 由ABC-P(3°,54°,63°,24°,21°,15°)可 例 求证41(9°,33°,54°, 21°,48°）成已知ABC-P(15°,48°,_,_,9°,33°） △PAC的外接圆交PD于 ∠EAC=∠EPC=根 例16所证37(6°,9°,99°,6°,12°,48°则有DAC-E(9°,99°,6°,48°,12° 由ABC- (15°,48°,21°,54°,9°,33°可知41(9°,33°,54°, 21°,48°）成例33求证39(6°,21°,57°,9°,12°,75°）已知ABC-P(21_,57,12,9° ∠ECD=∠EPD=21°-∠EDC=∠EPC=根 例16所证37(6°,9°,99°,6°,12°,48°则有BCD-E(6°,12°,48°,9°,6° ）存由ABC- (21°,6°,57°,12°,9°,75°）成可知 (6°,21°,57°,9°,12°,75°）成例34求证 成 ∠EDC=∠EPC=∠EDA=180°-105°-30°-26所证得38则 AEC-F 由ABC- 可 成求证25（6°，30°，78°，18°，24°，24°）mod2-18(18°,24°, ADC-P(12°,18°,78°,24°, 根据 (6°,18°,ADC-B(6°,18° 由ABC-P(6°,30°,78°,24°,24°,18°)可知25(6°,30°,78°,18°,24°,24°)例 求证 (6°,21°,57°,9°,12°,75°）成依 例27所证40(9°,18°,69°,12°,15°,57°则有ADC-P12°,15°,57°,9°,18°,69°）做△PAB,使 连接BC、△PBD的外接圆交AB于E，交CD于F，连接EP、ED、FP、 依据例15所证24 (6°,6°,126°,6°,12°,24°）则有ADP- (6°,12°,24°,6°,6°,126°）存 ∠CPB=57°+9°+6°+12°=84° ∠FPC= 84°-15°=69°PBC-F合乎mod1, (15°,6°,69°,69°,15°,6°）∠PCB=69°+6°=75 由ABC- 可 39(6°,21°,57°,9°,12°,75°）成α值来表示。如：Mod3( 8 例37求证45（1.5°,39°,91.5°,9°,15°,24°）成立根据例24 已证明33（3°,39°,66°,9°,15°,48°）存在则有ADC-P（9°,48°,15°,39°,3°,66°） 由ABC-P（9°,24°,15°,39°,1.5°,91.5°）可知45（1.5°,39°,91.5°,9°,15°,24°）成立例38求证 成 ∠EDC 依据例43所证45(1.5°,39°,91.5°,9°,15°,24°)存在则有DBC-E(24°,9°,15°,91.5°,1.5°,39°) 由ABC-P(16.5°,9°,25.5°,48°,1.5°,79.5°)46(1.5°,48°,79.5°,9°,16.5°,25.5°)例39求证47 成 ∠ECD=∠EPD=10.5°-∠EDC 依据例43所证45(1.5°,39°,91.5°,9°,15°,24°)存在则 ABC-P可知 成例40求证48 成 ∠ECD=∠EPD=10.5°-∠EDC 依据例43所证45(1.5°,39°,91.5°,9°,15°,24°)存在则 ABC-P可知 成例41求证 ABC-P(3°,19.5°,109.5°,9°,15°,24°)成根据例9所证 (3°,39°,75°,9°,24°,30°)存在 做AC垂直平分PD，使∠CDP=∠CPD=19.5° 可知： ABC-P(3°,19.5°,109.5°,9°,15°,24°)成例42求证 (34.5°,9°,43.5°,12°,19.5°,61.5°)成已知：ABC-P(34.5°,_,43.5°,12°,19.5°,_) E是AB上A关于CP的对称点，连接CE、△CPE的外接圆交PB于F，连接CF、依据例47所证49则 EBC-F∠PBC= 可知 (34.5°,9°,43.5°,12°,19.5°,61.5°)成例43求证 (15°,28.5°,43.5°,18°,19.5°,55.5°)成已知：ABC-P(19.5°,18°,_,_,2