百合小升初第十二讲数论模块-数的整除

百合小升初第十二讲数论模块—数的整除数的整除特征具有较强的实际意义，常用的数的整除特征如下：

1、能被2整除数的特征：个位数字是０、2、4、6、8的数能被2整除。2、能被5整除的数的特征：个位数字是0和5的数能被5整除。3、能被3（或9）整除的数的特征：各位数字和能被3（或9）整除。这个数能被3（或9）整除。4、能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。5、能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。6、能被7（或11或13）整除的数的特征：末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（大减小）能被7（或11或13）整除。、7、能被11整除的数的特征：奇数位数字和与偶数位数字和的差（大减小）能被11整除。例题解评例1、如果六位数12x40y能被72整除，试求此六位数。

例2、一个四位数，减去它的各位数字之和，其差还是一个四位数603A，试求出A。例3、如果六位数()5993()能被33整除，这个六位数是

和

。例4、

如果六位数1992□□能被105整除，那么，它的最后两位数是几？例5、

在□内填上合适的数，使六位数□1998□能被56整除。课堂练习1、（1）判断47382能否被3或9整除？

（2）判断42559，7295871能否被11整除？2、求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均不相同。3、从0、1、2、4、7五个数中选出三个组成三位数，其中能被3整除的有

个。

4：四位数7a2b能被2，3，5整除，这样的四位数有几个？分别是多少？5：有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成一个四位数﹝例如1409﹞，把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第5个数的末位数字是

。

6：在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别被3，4，5整除，且使这个数尽可能的小。课后作业1、四位数3AA1能被9整除，A是几？2、四位数841□能被2和3整除，□中应填几？这个四位数是多少？3、在25□79这个数的□内填上一个数字，使这个数能被11整除，方格内应填几？4、45ab这个四位数,同时能被2，3，4，5，9整除，则此四位数是几？5、四位数87AB既能被9整除，又是25的倍数，那么A是几？B是几？`例8：一个六位数，它能被9和11整除。去掉这个六位数的首、尾两个数字，中间的四个数字是

1997，那么这个六位数是

。

﹝第七届“祖冲之杯”数学邀请赛﹞解：设这个六位数是a1997b，它能被9整除，

所以a+1+9+9+7+b=a+b+26，能被9整除，

从而a+b=1或10。

但a+b=1时，只能a=1、b=0，

而119970不能被11整除，所以只有a+b=10。

A1997b能被11整除，

所以(a+9+7)-(1+9+b)=0或11，即得b-a=6或a-b=5，

但a-b=5时，a、b不是整数，因此只有b-a=6，

解得a=2，b=8。

于是，这个六位数是219978。例9：在下面的方框中各填一个数字，使六位数

11□□11

能被17和19整除，那么方中的两位数是

。﹝1995年小学数学奥林匹克）解：17*19=323，110011/323余数为191。

若□□91被323整除，商的个位数字，必定为7。

323*7=2661，9-6=3，从而商是17，□□91=5491。

即原题方框中的两位数是53。以下例题综合运用了整除性质和特征解题。例10：老师买了72本相同的书，当时没有记住每本书的价格，只用铅笔记下了用掉的总钱数，

回校后发现有两个数字已看不清了。你能帮助补上这两个数字吗？（□13.7□元，□中为

看不清的数字）。分析：首先将□13.7□元化成分，这样总钱数就是□137□（整数分）。由于每本书价格相

同，所以72|□137□。但72=8×9，所以8和9都应整除□137□。解：72=8×9，□13.7□元=□137□分

∴8|□137□，9|□137□

由于8整除□137□，所以8|37□由此可知，当37□=376时才有8|376，故原数为□1376。

又由于9整除□1376，所以其数字和□+1+3+7+6，必是9的倍数。

即9|（□+17），而□只能是1到9中的某个数，所以□只能且1。

因此，原数为11376分，即113.76元。启示：此处用到了整除的一条重要性质：如果a|b,c|b,且

a、c没有除1以外的公共约数（即

a,c互质），那么bc|a,这里72=8×9，（8，9）=1，因为8|□137□，9|□137□，所以72|

□137□，因此同理可得能被6整除的数要求能同时被2、3整除，因为6=2×3，（2，3）

=1，能被12整除的数要求能同时被3，4整除，因为12=3×4，（3，4）=1。例11：某个七位数1993□□□能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三字依

次是

。﹝1993年小学数学奥林匹克）解：这个七位数能被2、3、4、5、6、7、8、9整除，

所以能被2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数整除。

这个最小公倍数是5*6*7*8*9=2520。

1993000/2520=790......2200

2520-2200=320

所以最后三位数依次是3、2、0。例12：从1999到5999的自然数中有多少个数，它的数字和能被4整除？试简述理由。

[第九届“祖冲之杯”数学邀请赛]解：显而易见，1999的数字和能被4整除，

从2000到5999有4000个自然数，在这4000个自然数中，

个位、十位和百位都有0到9十个数字可供选择，

不管如何选择，取定后，千位上的数字就能「左右大局」(如个位、十位、百位的数字和

除以4余数为3，千位数字便可取5，使该数的数字和能被4整除)

事实上，千位数字可取2、3、4、5，从1999到5999的自然数中，它的数字和能被4整除

有：1×10×10×10＋1＝1001(个)

。例13：有分别写着1，2，3，…，13的卡片各两张，任意抽出两张，计算这两张卡片上的数的

积，这样会得到许多不相等的积。试问：这些积中最多有多少个能被6整除？

[第四届“从小爱数学”邀请赛]解：这些积中，6的倍数有许多不同的答案

最小的是1×6；最大的是26×6(由12和13这两张卡片上的数的积得出)

由1×6，2×6，3×6，……，26×6看来，似乎有26个绩能被6整除

但实际上，不会出现17×6，19×6，21×6，23×6，25×6这五种情形

所以，这些积中最多有(26－5)个，即21个能被6整除。例14：试证明由同一数字组成的三位数都是37的倍数。证明：设这三位数为aaa,

则aaa=a×100+a×10+a×1=100a+10a+a=111a

∵37|111,∴37|111a

∴37|aaa例15：已知A是一个自然数，它是15的倍数，并且它的各个数位上的数字只有0和8两种，问A最

小是几？分析：因为15|A，而15=5×3，（5，3）=1

所以5|A，3|A

故A的末位数字只能是零，从而打开解题的缺口。解：当A为两位数时，A只能为80，88，而5|A，所以88不合题意，又3|A，故80不合题意。

当A为三位数时，因为5|A，故A的末位是0，A只可能为880，800，而3|A，故880，800均不

符合题意。

当A为四位数时，因5|A，故末位数字为0，又首位数字只能为8，则A=8ab0，

因为3|A，所以3|（8+a+b）

当a,b中一个为8，一个为0时，A不能被3整除；当a,b均为8时，3|（8+a+b），故a=b=8,此

时A=8880符合题意。故A=8880。例16：已知四位数的个位与千位数字之和为10，个位数字既是偶数又是质数，百位数字与十位

数字组成的两位数是个质数，又知这个四位数能被36整除，求所有满足条件的四位数中的

最大者。解：因为个位数字既是偶数又是质数，所以个位数字为2，又个位与千位数字之和为10，故千

位数字为8。

故设这个四位数为8ab2,

∵36=4×9，（4，9）=1

∴4|8ab2，9|8ab2

∴9|（8+a+b+2）即9|(10+a+b)

∴4|b2

∴b=9,7,5,3,1

当a=9时，因9|（10+a+b）

∴b=8，不符合4|b2

当a=8时，因9|（10+a+b）

∴b=9，符合4|b2

∴这个四位数为8892。知识要点：1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。3．数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。②能被5整除的数的特征：个位是0或5。③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数。又因为4｜64，所以1864能被4整除。但因为2564，所以1864不能被25整除。⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数。又因为125｜375，所以29375能被125整除。但因为8375，所以829375。⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。例如：判断123456789这九位数能否被11整除？解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为115，所以11123456789。再例如：判断13574是否是11的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0。因为0是任何整数的倍数，所以11｜0。因此13574是11的倍数。⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。例如：判断1059282是否是7的倍数？解：把1059282分为1059和282两个数。因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282。因此1059282是7的倍数。再例如：判断3546725能否被13整除？解：把3546725分为3546和725两个数。因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725。拓展：⑧判定一个数可否被17整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位数与前面隔出数的3倍的差（大减小）是否被17整除。⑨判定一个数可否被19整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位与前面隔出数的7倍的差（大减小）是否被19整除。⑩判定一个数可否被23或29整除，只要将其末四位与前面隔开，看末四位与前面隔出数的5倍的差（大减小）是否被23或29整除。例1．在□里填上合适的数，使五位数26□7□能被4整除，也能被3整除。解答：共有7种可能：个位2226666百位1470369例2．在□内填上的数，使□895□这个数能被72整除。解答：8、9的倍数，末三位被8整除，个位2，各位数字和被9整除，万位3.。38952。例3．七位数22A333A是6的倍数，那么A是多少？解答：此数是6的倍数，要同时符合被2、3整除的数的特点，A=4。例4．在□里填上适当的数，使6位数865□□□能被3、4、5整除，而且使这个数尽可能地小。解答：符合条件的数能被5整除，后两位能背4整除，个位一定是0；各个数位数字和能被3整除，此数最小是865020。例5．在□内填上合适的数，使5位数7□36□能被5整除，也能被9整除。解答：7236076365例5．在□内填上合适的数字，使5位数5□13□能被9整除。解答：50130、50139、51138、52137、53136、54135、55134、56133、57132、58131、59130、59139.例6．是一个四位数，这个数同时能被2、3、5、9整除，那么这个数是。解答：3600、3690。例7．一个无重复数字的五位数3□6□5能被75整除。这样的五位数有哪几个？解答：末两位25：38625；末两位75：30675或39675。例8．有一个六位数能被11整除，首位是7，其余各位数字各不相同，这个六位数最小是多少？解答：要使六位数最小，必须把最小数0，1，2，3，4，排列在7的后面，这样可得到数701234，可是这个数不能被11整除，为了求得最小的六位数，先要修改个位数4，经试算，把4改成9正好符合题意，所以最小的六位数是701239。答：所求的最小的六位数是701239。例9．求被26整除的六位数□1993□。解答：由于26＝2×13，所以所求六位数□1993□应分别被2和13整除。被2整除的数个位只能是0，2，4，6，8；所求六位数被13整除，必有□19与93□的差（93□－□19）是13的倍数。（1）当原数个位为0时，930＝71×13＋7，故□19也应满足被13除余7。□19＝100×□＋13＋6＝7×13×□＋9×□＋13＋6＝13（7×□＋1）＋9×□＋6即9×□＋6＝13K＋7∴9×□－1应是13的倍数，故□只能是3。即六位数为319930。（2）当原数个位数为2时，932＝71×13＋9，故□19也应满足被13除余9。由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6∴9×□＋6＝13K＋9，故9×□－3应是13的倍数，□只能是9。即六位数为919932。（3）当原数个位数为4时，934＝71×13＋11，故□19也应被13除余11。由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6∴9×□＋6＝13K＋11，即9×□－5应是13的倍数，故□只能是2。即六位数为219934。（4）当原数个位数为6时，936＝72×13，所以□19也应被13整除。由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6∴9×□＋6＝13K，9×□－7＋13＝13K，故9×□－7应是13的倍数，□只能是8。即六位数为819936。（5）当原数个位数为8时，938＝72×13＋2，故□19也应被13除余2。由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6∴9×□＋6＝13K＋2，即9×□＋4应是13的倍数，□只能是1。即六位数为119938。综合以上情况，满足条件的六位数有：319930，919932，219934，819936，119938，共五个。下面是一些关于数的整除的一些技巧知识，根据这些技巧，我们能很快判断一个数能不能被下列数整除。

关于2：一个整数的末位是偶数，则这个数能被2整除。

关于3：一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

关于4：一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

关于5：一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

关于6：一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

关于7：一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7

的倍数，则原数能被7整除。因为一个两位数N可以表示成N=10x+y=10×（x-2y）+21y，

如果x-2y能被7整除，则数N能被7整除。多于两位数的继续此操作。

关于8：一个整数的未尾三位数能被8整除，这个数能被8整除。

关于9：一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

关于11：一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11

整除。因为一个两位数N可以表示成N=10x+y=10×（x-y）+11y，如果x-y能被11整除，则数N能被11整除。

关于13：一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是

13的倍数，则原数能被13整除。因为一个两位数N可以表示成N=10x+y=10×（x+4y）-39y，

如果x+4y能被13整除，则数N能被13整除。

关于17：一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17

的倍数，则原数能被17整除。因为一个两位数N可以表示成N=10x+y=10×（x-5y）+51y，

如果x-5y能被17整除，则数N能被7整除。

关于19：一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是

19的倍数，则原数能被19整除。因为一个两位数N可以表示成N=10x+y=10×（x+2y）-19y，

如果x+2y能被19整除，则数N能被19整除。（3）关于除数为7、11、13的1001法

判断较大一个的6位数能否被7、11、13整除，还有一个快捷的“1001”法。

因为1001=7×11×13，1001能被7、11、13整除。一个数能被7、11、13整除的数减去1001及其倍数也能被7、11、13整除。

aba的1001倍等于把abc再写一遍放在后边，abc×1001=abcabc

例如，897654能否被7整除，可以先计算897654-896896，看得数能否被7整除。习题：1．已知45｜。求所有满足条件的六位数。解答：∵45=5×9，∴5｜,9｜∴y可取0或5。当y=0时，根据9｜及数的整除特征③可知x=6，当y=5时，根据9｜及数的整除特征③可知x=9。∴满足条件的六位数是519930或919935。2．李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□元.已知□处数字相同，请问每支钢笔多少元？解答：∵9□.2□元=9□2□分28＝4×7，∴4和7均能整除9□2□。4｜2□可知□处能填0或4或8。∵79020，79424，所以□处不能填0和4；∵7｜9828，所叫□处应该填8。又∵9828分=98.28元98.28÷28＝3.51（元）答：每支钢笔3.51元。3．已知整数能被11整除.求所有满足这个条件的整数。解答：∵11｜∴根据能被11整除的数的特征可知：1+2+3+4+5的和与5a之差应是11的倍数，即11｜（15—5a）.或11｜（5a—15）。但是15—5a=5（3—a），5a—15=5（a—3），又（5，11）=1，因此11｜（3—a）或11｜（a—3）。又∵a是数位上的数字。∴a只能取0～9。所以只有a=3才能满足11｜（3—a）或11｜（a—3），即当a=3时，11｜15—5a。符合题意的整数只有1323334353。4．把三位数接连重复地写下去，共写1993个，所得的数恰是91的倍数，试求=?解答：∵91=7×13，且（7，13）＝1。∴7｜,13｜根据一个数能被7或13整除的特征可知：原数能被7以及13整除，当且仅当能被7以及13整除，也就是能被7以及13整除。因为（7，10）=1，（13，10）＝1，所以7，13也就是7，13，因此，用一次性质（特征），就去掉了两组；反复使用性质996次，最后转化成：原数能被7以及13整除，当且仅当能被7以及13整除。又∵91的倍数中小于1000的只有91×4=364的百位数字是3，∴=3645．在□里填上适当的数字，使七位数□1992□□能同时被9、25、8整除。解答：要求七位数□1992□□能同时被9、25、8整除，先考虑能被25整除这个条件。当七位数□1992□□能被25整除时，它的十位和个位数字组成的数只能是00，25，50，75。再考虑第二个条件，□1992□□能被8整除，当□1992□□能被8整除时，它的末三位上数字组成的数必须是8的倍数，但200，225，250，275这四个数中，只有200这个数是8的倍数，所以七位数的十位与个位□内只能填0。最后考虑第三个条件，被9整除.□1992要被9整除，其各个数位上的数字和必须是9的倍数，而1+9+9+2+0+0=21，所以七位数百万位□内只能填6，这样便找到了问题的解答。首先因为200既是25的倍数，又是8的倍数，所以□1992□□的十位与个位□内只能填0。因为1+9+9+2+0+0=21，而21+6=27，27是9的倍数，所以□1992□□的百万位□内只能填6。1992能同时被9、25、8整除。6．求能被26整除的六位数。解答：∵26=2×13，∴能分别被2和13整除。∵2｜，∴y可能取0、2、4、5、6、8。又∵13｜，∴13能整除与的差。当y＝0时，由于13｜910，而13又要整除与的差，∴13｜。又∵=100x+19=(7×13+9)x+19＝7×13x+9x+13＋6，∴根据整除“性质1”，有13｜9x+6，经试验可知只有当x＝8时，13｜9x＋6，∴当y=0时，符合题意的六位数是819910。当y=2时，因为13｜，所以13整除与之差，也即13整除与2的差；与前相仿，=7×13x+13+9x+6,所以13整除9x＋6—2，即13｜9x+4。经试验可知只有当x＝1时，13｜9x+4。∴当y＝2时，符合题意的六位数是119912。同理，当y＝4时，13｜9x＋6-4，即13｜9x+2，经试验可知当x＝7时，13｜9x+2。∴当y=4时，符合题意的六位数是719914。同理，当y＝6时，13｜9x＋6—6。即13｜9x.经试验可知x无解（因为是的最高位数码，x≠0）。∴当y=6时，找不到符合题意的六位数。同理，当y＝8时，13｜9x+6-8，即13｜9x-2。经试验只有当x＝6时，13｜9x-2。∴当y=8时，符合题意的六位数是619918。答：满足本题条件的六位数共有819910、119912、719914和619918四个。7．一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均不相同。解答：一个以5为首位的六位数5×××××，要想使它最小，只可能是501234（各位数字均不相同）。但是501234的数字和为5＋0＋1＋2＋3＋4＝15，并不是9的倍数，故只能将末位数字改为7。这时，5＋0＋1＋2＋3＋7＝18是9的倍数，故501237是9的倍数。即501237是以5为首位，且是9的倍数的最小的六位数。8．自然数1，2，3…依次写下去组成一个数12345678910111213…。如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，问这个自然数是多少？解答：由于要求恰好第一次能被72整除，因此，应以从前往后的顺序去寻找。如果先考虑被8整除，那么末位应为偶数，且末三位数字组成的三位数应是8的倍数。因而依次看三位数：234，456，678，810，112，314，516，718，192，920，202，212，122，222，232，324，242，252，526，262，272，728，282，930，132，334，536，738，394…中哪些是8的倍数。如知456、112为8的倍数，就要再看123456以及123456789101112是否为9的倍数。由于123456的数字和为21，123456789101112的数字和为56，都不是9的倍数，所以不满足题目的条件。满足条件的数要在其它8的倍数中寻找。像这样试验三位偶数能否被8整除，速度较慢，由于被8整除的数一定能被4整除，故只须对被4整除的数（这种数极易看出）进行检验即可。经检验，形如123456…，末三位为516，192、920，232、272、728的自然数都不是9的倍数。而当末三位为536时，才满足题目的条件，即：123456789101112…33343536恰被72整除，故所求自然数为36。现在换一种方法，先考虑被9整除，再考虑被8整除，由于数123456789101112…18192021…前九个数字之和为45，是9的倍数，故在考察位数超过九的数是否被整除时，前九个数字可不再看；接下来，由于101112131415161718的数字之和为45，是9的倍数，故在考察位数超过27位的数是否被9整除时，前27个数字可不再看；1920212223242526的数字之和为36，是9的倍数，因而在考察位数超过43位的数是否是9的倍数时，前43个数字可不再看；272829303的数字的之和为36，是9的倍数，因而在考察位数超过52位的数是否被9整除时，前52个数字可不再看；1323的数字和为9，因而在考察位数超过56位的数是否被9整除时，前56个数字可不再看；33343536的数字和为27，因而在考察位数超过63位的数是否被9整除时，前63个数字可不看。以上做法把按自然数依次写下去组成的数分成若干段，各段的数字和均为9的倍数，即123456789｜101112131415161718｜1920212223242526｜27｜2829303｜132333435｜36｜…然后从中再看各段末三位数字组成的三位数是否为8的倍数。789、718、526、627、303、435都不是8的倍数，但536是8的倍数。即写到36时，第一次恰好是72的倍数。这样做比先考虑被8整除，后考虑被9整除要快速简单得多。9．任意一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定同时能被7、11、13整除。这是为什么？解答：设任意一个三位数为，则这个六位数为

＝×1000＋＝1001×＝7×11×13×所以这个六位数能同时被7、11、13整除。10．有72名学生，共交课间餐费元，每人交了多少元？解答：72=8×9，所以应同为8和9的倍数。∵为8的倍数，∴为8的倍数，故b=2。∵为9的倍数，∴a+5+2+7+b=16+a为9的倍数，故a=2。∴=25272。25272÷72=351（分）。答：每人交了3.51元。11．从0、3、5、7四个数字中任选三个，排成能同时被2、3、5整除的三位数。这样的三位数共有几个？解答：所求的三位数能同时被2、5整除，所以这个三位数的个位数字为0。所求的三位数能被3整除，所以这个三位数的各位数字之和应是3的倍数。故所求的三位数为570或750，共2个。12．用1、2、3、4、5、6、7、8、9（每个数字用一次）组成三个能被9整除的、和尽可能大的三位数，这三个三位数分别是多少？解答：1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45。因为所求的三个三位数都能被9整除，所以它们的各位数字之和分别能被9整除，故这三个三位数中有两个的数字和都是18，一个的数字和是9。要使数字和是9的三位数尽可能大，百位上的数字必须为6，十位上的数字为2，个位上的数字为1，所以这个三位数是621。要使数字和是18的两个三位数尽可能大，一个的百位上数字为9，另一个百位上数字为8，十位上数字分别为5与7，个位上数字分别为4与3。故这两个三位数是954与873。因此，所求的三个三位数分别是621、954、873。13．已知A、B、C、D是各不相同的数字，A+B+C=18,B＋C＋D＝23，四位数被5除余3，求四位数是多少。解答：四位数被5除余3，所以C=3或C=8若C=3，则B＋D=23-3=20，这与B＋D＜18矛盾.故C≠3。若C=8，则B+D=23-8=15。故B＝9,D＝6或B＝6,D＝9或B＝8,D＝7或B＝7,D＝8。A、B、C、D是各不相同的数字，所以B＝9,D＝6或B＝6,D＝9，从而A=1或A=4。因此，四位数是1986或4689。14．一个六位数的各位数字都不相同，最左边一个数字是3，且此六位数能被11整除。这样的六位数中的最小的数是多少？解答：依题意，设所求的六位数为，因为六位数30124a能被11整除，所以（a＋2）-（4+1+3）=a-6应是11的倍数。故a=6。因此，所求的最小六位数是301246。15．五位数能被6整除，则2×(a＋b＋c＋d)－e也能被6整除。请说明道理。解答：因为能被6整除，所以它能分别被2和3整除，故e为2的倍数，a+b+c+d+e是3的倍数。因为2×（a+b+c+d）－e＝2×（a+b+c+d+e）－3e，而2×（a+b+c+d+e）、3e都能被6整除，所以2×（a+b+c+d）－e能被6整除。16．某数乘以7后，乘积的最后三位数是173，那么这样的整数中最小的是多少？解答：①设这个数为N，乘积为A173，根据题意N×7=A173，现要求N最小，即使A173为最小，A应是多少呢？可以从最小的数试起。若A=1，1173不能被7整除，舍去；同理当A=2，3，4时，A173都不能被7整除，舍去。当A=5时，5173被7整除，所以N最小数为5173÷7=739。②设这个数为N，由题设7×N=A173，即7｜A173，由（6）可知所求最小的A满足7｜173-A，或7｜5-A，显然当A=5时即7×N=5173时N最小，最小值为739。答：这样的整数中最小者为739。17．从1到9这九个数字中排出8个数字，组成能被12整除的八位数，这样的八位数中，最大和最小的各是多少？解答：能被12整除的数必能被3和4整除，能被3整除的数，其数字之和必能被3整除，因为1+2+3+…+8+9=45能被3整除，因此去掉3、6、9中的任一个所剩下的8个数组成的八位数一定是3的倍数，要使八位数最大，应去掉数字3，并使高位的数尽可能大，兼顾末两位数被4整除的条件。最大八位数为98765412；不难知道最小的八位数为12345768。答：所求的最大数为98765412，最小数为12345768。18．下面这二百零一位数11…1□22…2（其中1和2各有100个）能被13整除，那么中间方格内应填什么数？解答：111111被13整除，而100=6×16+4，故原来被13整除的算式即变为13｜1111□2222；再根据（6）还可变为13｜333-1□2，经试算即可知方格应填1。答：方格内应填上1。19．试求出所有满足下述条件的两位数，当它们分别乘以数字2，3，4，5，6，7，8，9时其积的数字之和均不变。解答：因为所求的两位数乘以9后数字之和不变，可知其数字之和是9的倍数，这样的数字只有10个：18，27，36，45，54，63，72，81，90，99；对每一个数字进行检验，结果只有18，45，90和99满足题目要求。答：数字18，45，90，99满足题设要求。20．传说从前有个巧匠叫布克，该国的国王久闻其名。有一次，国王想考一考布克，看看他是否真的很聪明。于是他把布克叫到宫中，出了这样一道难题考他：“你给我锯一根长方体木料，这根木料的相邻两个面的面积是108平方分米和32平方分米，长、宽、高都是整分米数且长度均不为1分米，如果把它锯成若干个小木块，那么锯得的小方块必须能拚成一个大正方体。请你回答我要你锯的这根木料的长、宽、高各是多少？这根木料最少能锯成几个大小相同的小方块？要锯几次？这些小木块拼成的大正方体棱长是多少？”布克不愧为一个巧匠，面对国王连珠炮般的提问，他沉着镇定地作了正确的回答，国王兴犹未尽，继续问到：“如果我现在有一批这样的长方体木料，要堆成一个正方体的实心木垛，这样的木料至少有几根？有多高？”布克又圆满地回答了国王的提问，这位贤明的国王对布克大为称赞，重重地奖赏了他。小读者，如你是布克，你能正确回答吗？解答：因为相邻两个面有一条公共边，所以这条公共边的长是108、32的公约数，这个公约数是1、2或4；1不合题意，不考虑，当公共边为2分米时，长方体的长、宽、高中另两条是54分米，16分米；当公共边长4分米时，另两条是27分米，8分米。因为把这个长方体锯开后要拼成一个大正方体，所以长方体体积等于正方体体积。尝试两种情况：54×16×2＝2×3×3×3×2×2×2×2×2=（2×2×3）×（2×2×3）×（2×2×3）=12327×8×4＝3×3×3×2×2×2×2×2＝2×3×2×3×2×3×2×2因为正方体的体积是棱长的立方，所以把它的体积分解质因数必可得到三组相同的质因数，第一种情况满足这一条件。第二种情况无法满足。所以长方体的长、宽、高分别是54分米、16分米，2分米。拼得的正方体棱长为12分米，锯成的小正方体的棱长应是54、16、2的公约数，要求块数最少则小正方体棱长最大，最大公约数为2分米，那么长方体的长分27块，宽8块，高不必锯，共锯的次数为（27－1）＋（8－1）=33（次）。要堆成实心的正方体木垛，这个正方体的棱长应是长、宽、高的公倍数，块数最少则正方体棱长最小，最小公倍数为432分米，堆一垛至少要432×432×432÷（54×16×2）=46656（块），高为43.2米。这道题综合了最大公约数，分解质因数，立方数的特征，最小公倍数的知识，在解题中要正确选择究竟应用何种知识解决问题。21．父亲给小明出了这样一道题：“在一间屋子里，有一百盏电灯排成一行，按从左到右的顺序，编上号码1，2，3，4，5，…，99，100。每盏电灯上有一个拉线开关，开始时，全部的灯都关着，有100个学生在外排队，第1个学生进来，把是1倍数的灯都拉了一下（即把所有的灯拉亮了）。第2个学生进来，把编号是2倍数的灯又拉了一下（即把第2，4，6，8，…，98，100盏灯又拉灭了）。第3个学生进来，把是3倍数的灯又拉了一下，……，第100个人进来，把第100号灯拉了一下，想一想，第100个人拉了以后，还有多少盏灯是亮着的？”这下可把小明忙坏了，他在一张大大的纸上，画出所有的电灯，又是打“√”，又是画“○”，好久没能解出来，难道就没有更好的办法了吗？小明犯了难。小读者，你有好办法教小明吗？解答：到最后一个为止，拉了奇数次的灯是亮着的，拉了偶数次的灯是熄灭的。拉了奇数次的灯的号码应该有奇数个约数，拉了偶数次的灯的号码应该有偶数个约数。哪些数有奇数个约数呢？1的约数只有1，4的约数有1，2，4，4＝2×2＝22，9的约数是1，3，9，9=3×3＝32，16的约数有1，2，4，8，16，16＝2×2×2×2＝24，……，我们看到完全平方数的约数有奇数个约数。因为完全平方数有一个约数为n，n2=N，n没有与它配对的约数（大些或小些的），其余的约数也成对出现，所以偶数+1=奇数，完全平方数有奇数个约数，而非完全平方数则约数个数为偶数。亮着的灯编号为：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100共10盏。这道题综合了奇偶分析和完全平方数特征方面的内容。22．在海族馆工作的父亲要出差了，你能根据他给小强留下的条子判断出小强父亲远行回来的日期和行程吗？小强：海族馆的章鱼打架断了一条腕足，只剩下十七条腕足了，我要和馆里的叔叔们一起到大海去捕一条大章鱼来。如果你把章鱼剩下的腕足条数分成两个自然数的和，得到一些成对的自然数，其中乘积最大的一对组成一个日期，这个日期是我回来的大致日期。如果把章鱼剩下的腕足条数分成若干个自然数的和，得到许多组和为17的自然数，其中乘积最大的一组数的积是我这次远出的行程。父亲1992年8月18日解答：①先把17分拆成两个自然数的和，拆得自然数的积有八种：1×16=16，2×15=30，3×14＝42，4×13=52，5×12=60，6×11=66，7×10=70，8×9=72。可见8×9的积最大，这个日期有8，9两个数字组成，或是8月9日，或是9月8日，由于父亲在写条子的日期已是8月18日，所以回来日期应是9月8日。仔细观察一下可以发现，把自然数拆成两个小自然数的和，要使其积最大，必须两个小自然数相差最小。②把17分成若干个自然数的和，使这些自然数的积最大，究竟是分得多好还是分得少好呢？看来分的个数多一点好，因为多一个数，可以多乘一次，乘积就大些，当然这些数中不应有1（想一想，为什么？），个数多的拆法是：17＝2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋3，但2×2×2=8，把3个2改成2个3，积为3×3=9，所以要尽可能少出现2，多出现3，17=3＋3＋3＋3＋3＋2，小的自然数积为3×3×3×3×3×2＝486（千米），若再减少自然数的个数有3×3×3×3×5＝405，3×3×6×5＝270，9×8=72，……，这些分析中以五个3和一个2的分拆积最大。总结本题的把一个数分成若干个自然数和，使这些自然数积最大的经验有：①拆分中不应有1，只应有3或2；②拆分中尽量增加3的个数，减少2的个数。23．把1至1997这1997个自然数依次写下来，得一多位数123456789101112…199519961997，试求这个多位数除以9的余数。解答：一个自然数除以9的余数，等于这个自然数各个数位上数字和除以9的余数。这一来上面求多位数除以9的余数问题，便转化为求1至1997这1997个自然数中所有数字之和是多少的问题。这个问题的求法有很多，下面分别加以介绍。因为1至9这9个数字之和为45，所以10至19，20至29，30至39，…，80至89，90至99这些十个数各数位上数字和分别为：45+10，45+20，45+30，45+40，…，45+80，45+90.这一来，1至99这99个自然数各数位数字和为：45+55+65+…+125+135=900。因为1至99这99个自然数各数位上数字和为900，所以100至199，200至299，…，800至899，900至999这些100个数各数位上数字和分别为900+100，900+200，…，900+800，900+900。这一来，1至999这999个自然数各数位上数字和为：900+1000+…+1700+1800=13500。因为1至999这999个自然数各数上数字和为13500，所以1000至1999这1000个自然数各数位数字和为：13500+1000=14500，这一来1至1999这1999个自然数各数位数字和为：13500+14500=28000。1998、1999这两个数各数位上数字和为：27、28。28000-27-28=27945，9能整除27945，故多位数除以9余0。另外还有一个较为省事的求和方法，将0至1999这2000个自然数一头一尾搭配分成如下的1000组：（0，1999），（1，1998），（2，1997），（3，1996）（4，1995），（5，1994），（6，1993），（7，1992）……（996，1003），（997，1002），（998，1001），（999，1000）以上每一组两数之和都是1999，并且每一组两数相加时都不进位，这样1至1999这1999个自然数的所有数字之和等于：（1+9+9+9）×1000=28000其余的与上面提到的相同，故从略。本题还有另外一种解法.因为依次写出的任意连续9个自然数所组成的多位数，一定能被9整除。而从1至1997一共有1997个数，1997÷9=221……8，1990、1991、1992、1993、1994、1995、1996、1997这8个数所有数位上数字和为19+20+21+22+23+24+25+26=360，360能被9整除，所以多位数除以9余0，与前面的结果相同。为什么依次写出的任意连续9个自然数所组成的多位数一定能被9整除呢？这是因为任意连续的9个自然数各数位上的数字和除以9的余数，必定是0，1，2，…，7，8这九个数，而这九个数的和为36，36能被9整除，所以任意依次写出的9个连续自然数组成的多位数也一定能被9整除。24．将1，2，3，…，30从左到右依次排列成一个51位数123456…2930，试求这个51位数除以11的余数。解答：被11整除的特征是：这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和的差能被11整除.从这个特征的导出过程中我们还可以看出：一个数奇数位上数字和与偶数位上数字和的差除以11的余数，与原数除以11的余数是相等的。利用这一性质便可求出问题的结果来。因为51位数123456…282930的奇数位上的数字分别是0，9，8，7，6，5，4，3，2，1，0，9，8，7，6，5，4，3，2，1，0，9，7，5，3，1，这些数字之和为：1+3+5+7+9+（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×2=115这个数的偶数位上的数字分别是3，2，2，2，2，…，2，1，1，…，1，8，6，4，2，这些数字之和为：2×10+1×10+3+8+6+4+2=53115-53=62，62÷11=5……7所以这个51位数除以11的余数是7。此题恰巧是奇数位上的数字和大于偶数位上的数字和，所以计算起来比较方便，如果有一个18位数919293949596979899，问这个数除以11的余数是几？上述18位数奇数位上的数字和为（9+8+7+6+5+4+3+2+1=）45，偶数位上的数字和为（9×9=）81.现在是偶数位上的数字和大于奇数位上的数字和，81-45=36，36÷11=3…3。应该怎么计算呢？请同学们动脑筋想一想，告诉你们答案为8，即上述那个18位数除以11余8。25．将1至9这九个数字，按图1所示的次序排成一个圆圈。请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在1和7之间剪开，得到两个九位数是193426857和758624391）。如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是几？解答：396=4×9×11，而4、9、11两两互质，根据前面提到的有关整除的性质，考虑被396整除，只要分别考虑被4、9、11整除就行了。前面提到如果一个数的各个数位上的数字和是9的倍数，那么这个数一定能被9整除。现在无论从哪两个数字之间剪开，按顺时针或逆时针次序所得到的两个九位数，其各个数位上的数字和，都是1至9九个数字之和45，45能被9整除，因此两个九位数一定能被9整除，那么这两个九位数之差当然也能被9整除。再考虑除以11的情况.考虑一个数能否被11整除，只要考虑这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差除以11的余数。现在无论从哪两个数字之间剪开后所得到的两个九位数，它们数字的顺序恰好是互相颠倒的，因此这两个九位数的奇数位上数字和与偶数位数字和之差是完全一样的，换句话说，这两个九位数除以11的余数相同，从而它俩的差一定能被11整除。最后考虑所得两个九位数之差能否被4整除。从一个数能被4整除的特征可以知道，只要这两个九位数的末两位数字组成的两位数之差能被4整除，那么这两个九位数的差一定能被4整除。因此只需考虑：剪开处左面两个数字组成的两位数与右面两个数字颠倒顺序后组成的两位数之差能否被4整除。只要这个差能被4整除，所得两个九位数之差就能被396整除，否则就不能被396整除。在1与9之间剪开：71-39=32，32能被4整除。在9与3之间剪开：43-19=24，24能被4整除。在3与4之间剪开：93-24=69，69不能被4整除。在4与2之间剪开：62-34=28，28能被4整除。在2与6之间剪开：86-42=44，44能被4整除。在6与8之间剪开：58-26=32，32能被4整除。在8与5之间剪开：75-68=7，7不能被4整除。在5与7之间剪开：85-17=68，68能被4整除。在7与1之间剪开：91-57=34，34不能被4整除。因此本题共有下面六个答案：1×9=9，9×3=27，4×2=8，2×6=12，6×8=48，5×7=35。26．下面是某校购买72张课桌和77把课椅的发票。由于不小心浸水，烘干后发票上的一些数字都模糊不清了，每一个模糊不清的数字用□表示，请恢复发票中注有□的数字。解答：为方便起见，以分为单位，设课桌的单位与总价分别为分和分，课椅的单价和总价分别为分和分，合计金额为分。因为72=8×9,8,9互质，所以三位数能被8整除，由此可知c=6。又因为+=，所以g=9,f=7,x=2,a≥7。又因为9能整除，所以6+7+7+b+a应是9的倍数，即a+b+2是9的倍数。则有a+b=7，a+b=16。又因由a≥7，所以当a+b=7时，有a=7，b=0；当a+b=16时，有a=7、8、9，b=9、8、7。这一来课桌的总价可以是70776分，79776分，88776分，97776分。因为g=9，f=7，所以77把课椅的总价为分。因为7×7=49，所以f=7。因为77×7=539，-=。这个等式告诉我们：去掉课椅单价中最后的那个7，会有×77=，所以e=2。这一来，课椅单价为分。因为327×77=25179＜，527×77=40579＞，所以d=4，即课椅单价为427分，427×77=32879，所以课椅的总价为32879分。70776+32879=103655，79776+32879=112655，88776+32879=121655，97776+32879=130655，这四个和里只有103655符合要求，所以课桌的总为70776分，70776÷72=983，课桌的单价为983分，恢复后的发票如下：整除问题\o"难解的数学缘"难解的数学缘2009-10-2119:51:20阅读52评论0

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数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。一、整除的定义：

当两个整数a和b（b≠0），a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除或b整除a，也把a叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作b

a.二、数的整除性质：

(1)对称性：若甲数能被乙数整除，乙数也能被甲数整除，那么甲、乙两数相等。

记作：a|b,b|a,则a=b。

(2)传递性：若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。

记作：若a|b,b|c,则a|c。

(2)

若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能该自然数整除。

记作：若a|b,a|c,则a|(b

c)。

(3)

几个数相乘，若其中有一个因子能被某一个数整除，那么它们的积也能被该数整除。

(4)

若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能分别被这两个互质数的

积整除。记作：若a|b,c|b,(a,c)=1,

则ac|b。

(5)

若一个数能被两个互质数的积整除，那么，这个数也能分别被这两个互质数整除。

记作：若ac|b,(a,c)=1,

则a|b,c|b。

(6)

若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一

个。

(7)

若a|b,m≠0,则am|bm。

(8)

若am|bm,m≠0,则a|b。

(9)若c|a，c|b，则c|（ma+nb），其中m、n为任意整数

（这一性质还可以推广到更多项的和）

三、整除特征

（1）1与0的特性：

1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.

0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.

（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

（4）

若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍

数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述

「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍

数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过

程如下：613－9×2＝595

，

59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2

而是1！

（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍

数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述

「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍

数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述

「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

（15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍

数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述

「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

（16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

（17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。

（18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整

除。四、其他重要结论

1、能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别在这个数的未一位、未两位、未三位

上。我们可以概括成一个性质：未n位数能被

(或

)整除的数，本身必能被

(或

)整除；

反过来，末n位数不能被

(或

)整除的数，本身必不能被

(或

)整除。例如，判断

19973216、91688169能否能被16整除，只需考虑未四位数能否被16整除便可，这样便可以

举一反三，运用自如。

2、利用连续整数之积的性质：

任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一

积，因此一定可被2整除；

任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍

数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。这个性质

可以推广到任意个整数连续之积。五、例题解析以下例题运用了整除特征解题。例1：（1）判断47382能否被3或9整除？

（2）判断42559，7295871能否被11整除？解：（1）4+7+3+8+2=24

3|24，

9

24

∴3|47382，

9

47382

（2）（9+5+4）―（5+2）=18―7=11

∴11|42559

（1+8+9+7）―（7+5+2）=25―14=11

∴11|7295871启示：判断一个整数能否被另一个整数整除，充分考虑整除的特征，这样有利于我们去判断。例2：求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均不相同。分析：由于要求被9整除，可只考虑数字和，又由于要求最小的，故从第二位起应尽量用最小

的数字排，并试验末位数字为哪个数时，六位数为9的倍数。解：一个以5为首位数的六位数5―――――，要想使它最小，只可能是501234（各位数字均不

相同）。

但是501234的数字和5+0+1+2+3+4=15，并不是9的倍数，故只能将末位数字改为7，这时，

5+0+1+2+3+7=18是9的倍数，故501237是9的倍数。

即501237是以5为首位，且是9的倍数的最小六位数。例3：从0、1、2、4、7五个数中选出三个组成三位数，其中能被3整除的有

个。

﹝南京巿第一届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛B卷﹞

解：三位数的数字和字和应被3整除，所以可取的三个数字分别是：

0,1,2；

0,2,4;

0,2,7;

1,4,7。

于是有：（2*2*1）*3+3*2*1=18﹝个﹞例4：四位数7a2b能被2，3，5整除，这样的四位数有几个？分别是多少？解：要使7a2b能同时被2，3，5整除，则b为零；又要使7a20能被3整除，a必须满足各位数字的

和7+2+0+a能被3整除，又知a只能取0至9这十个数字，所以a只可取0，3，6，9。故满足条

件的四位数有4个，即7020，7320，7620，7920。启示：在做有关整除的题目时，应充分考虑一些常见整数的整除特征。例5：有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成一个四位数﹝例如1409﹞，把其中能

被3整除的四位数从小到大排列起来，第5个数的末位数字是

。

﹝北京巿第一届“迎春杯”赛﹞

解：从0、1、4、7、9中选出四个数字，使它们的和是3的倍数，这样的四位数只能由

0、1、4、7或1、4、7、9组成。

按从小到大顺序排列为

1047、1074、1407、1470、1479、1749、…

所以第五个四位数个位上应是9。例6：在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别被3，4，5整除，且使这个数尽可

能的小。解：不妨设补上三个数字后的六位数为568abc。由于这个六位数分别被3，4，5整除，故它应

满足如下三个条件：

（1）

数字和（5+6+8+a+b+c）是3的倍数；

（2）

末两位数字组成的两位数bc是4的倍数；

（3）

末位c为0或5。

由于4|bc，故c不能是5，而只能是0，且b只可能是2，4，6，8，0。

又因为3|（5+6+8+a+b+c）即3|（5+6+8+a+b+0），所以

当b=2时，3|（5+6+8+a+2）,a可为0，3，6，9

当b=4时，3|（5+6+8+a+4）a可为1，4，7

当b=6时，3|（5+6+8+a+6）,a可为2，5，8

当b=8时，3|（5+6+8+a+8），a可为0，3，6，9

当b=0时，3|（5+6+8+a+0），a可为2，5，8

要使六位数568abc尽可能小，则a应取0，b应取2，c应取0。

故被3，4，5整除的最小六位数568abc应为568020。例7：个位数字为6，且能被3整除的五位数共有多少个？分析：此题如果把个位数字为6且被3整除的五位数找出来实属不易，因此应想简便方法求解，

由此想到被3整除的数的特征是其各数位数字之和能被3整除，因此将其转化为各位数字

之和除以3的倍数有多少个。解：设所求五位数为abcd6

∵3|abcd6

∴3|（a+b+c+d+6）

∴3|（a+b+c+d）

∴3|

故所求的五位数只需求被3整除的四位数有多少个即可

又1～1000能被3整除的数有333个

1～10000能被3整除的数有3333个

故1000～10000能被3整除的数有3333-333=3000（个）

∴所求符合题意的数有3000个。

启示：两次运用被3整除的数的特征，先将3|abcd6转化为3|（a+b+c+d+6）,得3|

（a+b+c+d），然后再将其转化为3|abcd。例8：一个六位数，它能被9和11整除。去掉这个六位数的首、尾两个数字，中间的四个数字是

1997，那么这个六位数是

。

﹝第七届“祖冲之杯”数学邀请赛﹞解：设这个六位数是a1997b，它能被9整除，

所以a+1+9+9+7+b=a+b+26，能被9整除，

从而a+b=1或10。

但a+b=1时，只能a=1、b=0，

而119970不能被11整除，所以只有a+b=10。

A1997b能被11整除，

所以(a+9+7)-(1+9+b)=0或11，即得b-a=6或a-b=5，

但a-b=5时，a、b不是整数，因此只有b-a=6，

解得a=2，b=8。

于是，这个六位数是219978。例9：在下面的方框中各填一个数字，使六位数

11□□11

能被17和19整除，那么方中的两位数是

。﹝1995年小学数学奥林匹克）解：17*19=323，110011/323余数为191。

若□□91被323整除，商的个位数字，必定为7。

323*7=2661，9-6=3，从而商是17，□□91=5491。

即原题方框中的两位数是53。以下例题综合运用了整除性质和特征解题。例10：老师买了72本相同的书，当时没有记住每本书的价格，只用铅笔记下了用掉的总钱数，

回校后发现有两个数字已看不清了。你能帮助补上这两个数字吗？（□13.7□元，□中为

看不清的数字）。分析：首先将□13.7□元化成分，这样总钱数就是□137□（整数分）。由于每本书价格相

同，所以72|□137□。但72=8×9，所以8和9都应整除□137□。解：72=8×9，□13.7□元=□137□分

∴8|□137□，9|□137□

由于8整除□137□，所以8|37□由此可知，当37□=376时才有8|376，故原数为□1376。

又由于9整除□1376，所以其数字和□+1+3+7+6，必是9的倍数。

即9|（□+17），而□只能是1到9中的某个数，所以□只能且1。

因此，原数为11376分，即113.76元。启示：此处用到了整除的一条重要性质：如果a|b,c|b,且

a、c没有除1以外的公共约数（即

a,c互质），那么bc|a,这里72=8×9，（8，9）=1，因为8|□137□，9|□137□，所以72|

□137□，因此同理可得能被6整除的数要求能同时被2、3整除，因为6=2×3，（2，3）

=1，能被12整除的数要求能同时被3，4整除，因为12=3×4，（3，4）=1。例11：某个七位数1993□□□能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三字依

次是

。﹝1993年小学数学奥林匹克）解：这个七位数能被2、3、4、5、6、7、8、9整除，

所以能被2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数整除。

这个最小公倍数是5*6*7*8*9=2520。

1993000/2520=790......2200

2520-2200=320

所以最后三位数依次是3、2、0。例12：从1999到5999的自然数中有多少个数，它的数字和能被4整除？试简述理由。

[第九届“祖冲之杯”数学邀请赛]解：显而易见，1999的数字和能被4整除，

从2000到5999有4000个自然数，在这4000个自然