总体集中趋势的估计课件-高一下学期数学人教A版

9.2.3总体集中趋势的估计「学习目标」1.通过平均数、中位数和众数的运算,培养数学运算和数据分析的核心素养.2.通过平均数、中位数和众数的应用,培养数据分析和数学建模的核心素养.知识梳理自主探究「知识探究」1.平均数、中位数、众数的概念中位数:一般地,如果一组数据有奇数个数,且按照从小到大排列后为x1,x2,…,x2n+1,则称

为这组数据的中位数.如果一组数据有偶数个数,且按照从小到大排列后为x1,x2,…,x2n,则称

为这组数据的中位数.众数:一组数据中,某个数据出现的次数称为这个数据的

,出现的

的数据称为这组数据的众数.xn+1频数次数最多2.平均数、中位数和众数的比较名称优点缺点平均数平均数与每一个样本数据有关,对数据有“取齐”的作用,代表了一组数据的数值平均水平样本平均数与每一个样本数据有关,样本中的任何一个数据的改变都会引起平均数的改变.数据越“极端”,对平均数的影响越大,因此一般的比赛记分中,常去掉“最高分”与“最低分”中位数中位数仅与数据的排列位置有关.某些数据的变动对中位数没有影响,不受少数极端数据的影响,中位数只有唯一一个对极端值不敏感众数众数反映各数据出现的频率,其大小只与这组数据中的部分数据有关,它是样本数据的最大集中点一组数据的众数可能有一个,也可能有多个,若数据中有两个或两个以上出现的最多,且出现次数一样多,则这些数据都是众数,若一组数据中每个数据出现的次数一样多,则没有众数,可见一个样本的众数可能多个,也可能没有3.中位数、平均数与频率分布直方图的关系一般来说,对一个单峰的频率分布直方图来说,如果直方图的形状是对称的[图(1)],那么平均数和中位数应该大体上差不多;如果直方图在右边“拖尾”[图(2)],那么平均数大于中位数;如果直方图在左边“拖尾”[图(3)],那么平均数小于中位数.也就是说,和中位数相比,平均数总是在“长尾巴”那边.师生互动合作探究探究点一样本数据的平均数、中位数、众数[例1]某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两群市民的年龄(单位:岁)如下.甲群:13,13,14,15,15,15,15,16,17,17.乙群:54,3,4,4,5,6,6,6,6,56.(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少?其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征?(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少?其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征?方法总结(1)平均数与每一个数据都有关,可以反映更多的总体信息,但受极端值的影响大;中位数不受几个极端值的影响;众数只能体现数据的最大集中点,无法客观反映总体特征.(2)当平均数大于中位数时,说明数据中存在许多较大的极端值;反之,说明数据中存在许多较小的极端值.(3)求样本数据的中位数时,把数据按照从小到大的顺序排列后,按照其求法进行.[针对训练](1)某校运动会上,10名男生的引体向上个数依次为15,17,14,12,10,17,17,16,12,14,设这组数据的平均数为a,中位数为b,众数为c,则(

)A.c>b>a B.a>b>cC.c>a>b D.b>c>a√(2)如果将一组数据5,4,6,5,4,13,5依次重复写10次,会得到70个数组成的一组新数据,关于这组新数据的中位数、众数、平均数,下列说法正确的是(

)A.中位数和众数都是5B.众数是10C.中位数是4D.中位数、平均数都是5√探究点二由频率分布直方图求平均数、中位数、众数[例2]某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况,随机访问n名学生,并对这n名学生的个性化作业进行评分(满分:100分),根据得分将他们的成绩分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六组,制成如图所示的频率分布直方图,其中成绩在[70,80)的学生人数为30.(1)求a,n的值;(2)估计这n名学生成绩的平均数(同一组数据用该组区间的中点值代表)和中位数(精确到0.01).解:(2)平均数的估计值为(45×0.005+55×0.015+65×0.02+75×0.03+85×0.025+95×0.005)×10=72.00.因为(0.005+0.015+0.02)×10=0.4,(0.005+0.015+0.02+0.03)×10=0.7,所以中位数在[70,80)之间,设中位数的估计值为x,则(0.005+0.015+0.02)×10+(x-70)×0.03=0.5,解得x≈73.33.方法总结用频率分布直方图估计总体数字特征的方法(1)众数:最高小矩形底边中点的横坐标.(2)中位数:平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标.(3)平均数:频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.[针对训练]一批乒乓球,随机抽取100个进行检查,球的直径频率分布直方图如图,试估计这个样本的众数、中位数和平均数(同一组中的数据用该组区间中点值作代表).探究点三对实际问题的决策[例3]某公司销售部有销售人员15人,销售部为了制定某种商品的月销售定额,统计了这15人某月的销售量如下:销售量/件1800510250210150120人数113532(1)求这15名销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数;(2)假设销售部负责人把每名销售人员的月销售额定为320件,你认为是否合理,为什么?如不合理,请你制定一个较为合理的销售定额.解:(2)不合理.因为15人中有13人的销售额不到320件,320件虽是所给一组数据的平均数,它却不能很好地反映销售人员的一般水平.销售额定为210件合适些,因为210件既是中位数,又是众数,且是大部分人能达到的定额.方法总结平均数反映出样本数据的较多信息,对样本中的极端值更加敏感.平均数、中位数和众数都是刻画“中心位置”的量,从不同的角度刻画了一组数据的集中趋势.[针对训练]某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整,据统计,调价前后各景点的游客人数基本不变,有关数据如下表所示:(1)该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变,风景区是怎样计算的?景点ABCDE原价/元1010152025现价/元55152530日平均人数/千人11232(2)另一方面,游客认为调整收费后风景区的日平均总收入相对于调价前,实际上增加了约9.4%,问游客是怎样计算的?(3)你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际?解:(3)游客的说法较能反映整体实际.「当堂检测」1.在描述一组数据的集中趋势时,应用最广泛的是(

)A.众数 B.中位数C.平均数 D.全体数据√解析:由于平均数反映的是这组数据的平均大小,使用最广泛.故选C.2.某10人的射击小组,在一次射击训练中射击成绩数据如下表,则这组数据的中位数为(

)成绩(单位:环)678910人数12241A.2 B.8 C.8.2 D.8.5√解析:将射击成绩由小到大排列为6,7,7,8,8,9,9,9,9,10,第5,6个数分别为8,9,因而中位数为8.5.故选D.3.(多选题)一组数据如下:9,12,8,16,16,18,20,16,12,13,则这组数据的(

)A.众数为12 B.平均数为14C.中位数为14.5D.第85百分位数为16√√4.(多选题)某学校发起了“畅读经典,欢度新年”活动,根据统计数据可知,该校共有1200名学生,所有学生每天读书时长均在20min到100min之间,他们