直线和圆的方程-2024年高考数学考试易错题及解析

专题10直线和圆的方程

题型一：平行线求距离问题易丁点：使用两平行线间―一公式忽昭系数相等我檐

_______________________—一题型二：亘线截距式的考点0、易错点：求有关或距相等问题时易忽酷截距为薯的情况

直线和圆的方程

---------------------星型三：求有关圆的切送问题a易错点：会段B二硼题易硒一俎

'、一题型四：与圆的代数结构有关的最值问题j易一点：忽喇率是否存在

易错点一：使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错（平行线求距

离问题）

距离问题

技巧总结|

①两点间的距离：已知片（巧,y）,E（毛，，2）则I"G|=-E）2+5-y）2

②点到直线的距离:d=加。：啊+a

A-+B-

③两平行线间的距离：两条平行直线4：Ax+8），+G=0与4：Ar+^y+c?=0的距离公式

易错提醒：在求两条平行线间距离时，先将两条直线苍），前的系数统一，然后代入公式求算.

三9

例.己知直线4：44一3、+3=0,12:(m+2)x-［m+l)y+m=0(wGR),则()

A.直线人过定点(L2)B.当〃?=2时，/.///2

c.当〃，=T时，/(1/2D.当“4时，44之间的距离为;

•-

［详解］由4："状+21―，町，_y+m="?*_y+l)+2x_y=0,令<:>+\,可得所

2x-y=0［尸2

以4过定点（1，2）,A对

，〃=2时./>:4x-3y+2=0.而乙：4x-3y+3=0,fipl,///2,B对

利=一1时，Z2:x-l=O,而/1：4x-3y+3=0,显然不垂直，C错

3-2]_

/他，则—3(〃?+2)=-4(〃?+1),可得〃?=2,由上知，44之间的距离为

^775

D对.故选:ABD

变式1.曲线y=e21cos3x在点(0,1)处的切线与其平行直线/的距离为石，则直线，的方程可能为

()

A.y=2A+6B.)=2.L4

C.y=3x+1D.y=3x-4

2v22r

【详解】/=2ecos3x+e*(-3sin3x)=e'(2cos3x-3sin3.r),y|v-0=2

所以曲线y=e2¥cos3x在点(0/)处的切线方程为)，-1=2(.”0),即2x-)，+1=0

U-H

设直线/：2x-y+，=0依题意得=6,解得/=6或/=-4

V22+l2

所以直线/的方程为)，=2.1+6或)，=2x-4故选：AB

22

变式2.已知直线3)，=依+1,/2：>'=/m+2,圆C：(A-1)+(y-2)=6,下列说法正确的是

()

A.若《经过圆心C,贝此=1

B.直线人与圆。相离

C.若乙〃4,且它们之间的距离为g,则攵=±2

D.若女=-1,丸与圆C相交于M,N,则|网|=2

【详解】对于A,因为圆心。(1,2)在直线)=A+I上，所以2=4+1,解得2=1,A正确，对于B,

因为直线，2：、=g+2恒过点@2),且(0-1)2+(2-2)2<6

即点(0.2)在圆。内，所以4与圆右相交，B错误，对于C因为贝1]〃?二〃

故辰—y+l=0与京―)，+2=0之间的距离d=)J==正，所以&=±2,C正确

收+15

对于D,攵二一1时，直线乙：y=-x+\t即x+y-l=0

因为圆心。(1,2)到直线x+y-1=0的距离&=盖j=&，所以|MN\=2,6—(可=4,D错误,

故选：AC

变式3.已知直线4：4%—3)，+4=0,，2：(加+2)x-(〃?+l)y+2"?+5=0(/〃eR),贝!j()

A.直线/,过定点(一2,-1)

B.当〃?=1时，/11/2

C.当〃?=2时，“〃2

D.当/他时，两直线//之间的距离为1

x—y+2=0fx=-3

【详解】依题意，直线y+2)〃?+(2x—)，+5)=0,由解得：\

2x-y+5=0[y=-1

因此直线I恒过定点(-3,-1),A不正确

当〃?=1时，直线，2：3x-2y+7=0,而直线4：4工一3)，+4=0,显然3x4+(-2)x(—3)工0

,即直线44不垂直,B不正确

当m=2时，直线/,：4.r-3)，+9=(),而直线4：4.r-3)，+4=0,显然士4二-」3/24,即“儿

4-39

,C正确

当〃〃2时，有二2=也斗工组2,解得〃?=2,即直线/2：©-3)，+9=0,因此直线//之间的

4-34

距离”="2+(-3尸=1'D正确故选：CD

1.若直线2x-y-3=0与41-2)，+。=0之间的距离为石，则a的值为()

A.4B.右一6C.4或一16D.8或一16

【答案】C

【分析】将直线2X-)，-3=。化为41-2)，-6=。，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即

可.

【详解】将直线21一)，-3=。化为4工一2,，一6二0,

则直线2-=。与直线41i=。之间的距离〃=第=骋,

根据题意可得：%^=布,即|a+6|=IO,解得a=4或a=—16,

【答案】C

【分析】首先根据两条直线平行求出参数。的值，然后利用平行线间的距离公式求解即可.

【详解】由已知两条直线平行，得3=：，所以。=6,

a8

所以直线力+4)，-12=0可化为6.r+8.\，-24=0,

1-24-III7

则两平行线间的距离4=,..=f.

V62+822

故选：C

5.已知直线4：X-冲=0和4：X-冲+2(m-1)=0(加wR)与圆。都相切,则圆C的面积的最大值是

()

A.2兀B.4不C.8乃D.16万

【答案】A

【分析】易得44互相平行，故圆。的直径为44间的距离，再表达出距离求最大值即可得圆。的

直径最大值，进而得到面积最大值

【详解】由题，4/互相平行，且2(〃7-1)工0,故圆c的直径为44间的距离

£(〃1)|_2匕"

令，=，〃-1,则〃?=/+1,

2M_2_2

故当,+<=(),即/=-2,阴=-1时"取得最大值

肝041t2

d=26,此时圆C的面积为S=/r(3'=2万

故选：A

6.若直线4：X+少+6=0与/2：(〃-2)x+3y+2a=()平行，则乙与乙间的距离为()

A.728及

亍

88

C.也

【答案】B

【分析】由两直线平行的判定有3-。(。-2)=0且2/一18工0求参数出应用平行线距离公式求4与

6间的距离.

【详角隼】•・•直线4:x+〃y+6=0与/2：S—2)x+3y+2a=0平行，

2

3-a(a-2)=0且2/_]8/0，W-Wa=-\,l2\-3x+3y-2=0,x-y+-=0.

6二

・・・直线4与间的距离d__3,还.

#+(7)23

故选：B.

7.已知直线《：(3+22)x+(4+2)y+(-2+22)=0(2eR),Z2：x+y-2=0,若IJ&,贝必与

间的距离为（）

A.孝B.V2C.2D.272

【答案】B

【分析】由直线平行的结论列方程求4,再由平行直线的距离公式求两直线的距离.

【详解】由/"4得耳i=士2，解得4=1,

11—2

所以直线乙：5x+5y=0t即x+y=0,

所以《与4间的距离为1=导=&,

故选B.

8.已知直线《：〃氏一3），+6=0,/2:4x-3wy+12=0,若“4，贝必4之间的距离为（）

A.以叵B.逆C.亚D.疝

131313

【答案】A

【分析】由加（一3M-（-3>4=0,解得〃?=±2,〃?=2时舍去，可得〃?=-2,再利用平行线之间的

距离公式即可得出.

【详解】由于两条直线平行,得办（-3/〃）-（-3>4=0,解得切=±2,

当〃7=2时，两直线方程都是2》-3），+6-。故两直线重合，不符合题意.

当〃?=一2时，/(：2x+3y-6=0,/2:2.r+3>'+6=0,

12V12

故两平行直线的距离为噌一,[I=

V22+3213

故选A.

【点睛】本题主要考查了直线平行的充要条件及其距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

9.若两条平行直线/.：A-2y+;n=。（/〃>0）与八21+d-6=0之间的距离是石，则加+〃=

A.0B.1C.-2D.-1

【答案】C

【分析】根据直线平行得到〃=-4,根据两直线的距离公式得到，〃=2,得到答案.

【详解】由小将，得!=二，解得〃二-4,即直线/2：x-2y-3=O,

2n

Im-（-3）1r

两直线之间的距离为d=j]2（2）2=45,解得机=2（相=-8舍去），

所以m+z:=—2

故答案选C.

【点睛】本题考查了直线平行，两平行直线之间的距离，意在考查学生的计算能力.

10.已知直线/1：3x+4y+5=0,，2：6x+8），-15=（）,则两条直线之间的距离为

A.4B.2C.—D.5

2

【答案】C

【分析】利用两平行直线距离公式即可求得.

【详解】因为C3x+4y-?=0,则_5,故选C.

2"=后7=5

【点睛】本题考查了两平行直线距离问题，运用平行直线距离公式可以求解•，但要注意将两直线•

般方程的xy系数化为相同的值；也可以在其中一条直线中选取一个特殊点，然后利用点到直线距

离公式进行求解，属于基础题.

易错点二：求有关截距相等问题时易忽略截距为零的情况（直线截距

式的考点）

直线方程的五种形式的比较如下表:

名称方程的形式常数的几何意义适用范围

点斜式y-y=k(x-X,)（$，X）是直线上一定点，女是斜率不垂直于入轴

斜截式y=kx+h左是斜率，力是直线在），轴上的截距不垂直于X轴

-Vi-一-

两点式y-（N，y）,（七,必）是直线上两定点不垂直于x轴和y轴

%-M七-%

截距式4十2=i。是直线在工轴上的非零截距，b是不垂直于/轴和y

ab

直线在），轴上的非零截距轴，且不过原点

Av+By+C=0(A2+B?0）

一般式A、B、C为系数任何位置的直线

给定一般式求截距相等时，具体方案如下:

令x=o=>y=_]cc

形如：第一种情况4x~i■月y+C=0=，夕=>---=----=A=R

令),=0=>x=——AB

'A

第二种情况：4r+B），+C=0=C=0时，横纵截距皆为0

截距之和为。时，横纵截距都为0也是此类模型

易错提醒：求截距相等时，往往会忽略横纵截距为0的情况从而漏解

例.已知直线/过点（2,1）且在x,y轴上的截距相等

（1）求直线/的一般方程；

（2）若直线/在x,y轴上的截距不为0,点力）在直线/上，求3“+3"的最小值.

【详解】试题分析：（1）当截距为。时，得到X-2），=。；当截距不为。时设直线方程为2+2=1,

tt

代入点坐标即可得方程.（2）由第一问可得掷］方程为x+y-3=0・a+h=3,

由不等式得到结果.

（1）①截距为0时，l:y=：x即1一2），=0

②截距不为0时，设直线方程为土+十=1,代入网2,1）,计算得/=3,则直线方程为"+）-3=0,

综上，直线方程为"_2y=0或x+y—3=（）

⑵由题意得/的方程为x+y—3=0a+b=3,/.3a+3b2=66

3"+3b的最小值是66，当a=b=T时等号成立.

变式1.已知直线/过点（1,2）且在刘V轴上的截距相等

⑴求直线/的一般方程；

⑵若直线/在刘C轴上的截距不为0,点P（4b）在直线/上,求3“+3〃的最小值.

【详解】（1）因为直线/过点（L2）且在X，轴上的截距相等，当截距为。时，则/：），=2x

当截距不为0时，可设/：匹+2=1,则1+2=1,即。=3,.・・/：X+），-3=0

综上，/的一般方程；2.\-），-0或》丁-3=0

（2）由题意得/：x+）-3=0,.•"+〃=3

_______3

3"+3"N2『3"=2x1^=，当且仅当"=〃=］时，等号成立

3"+3"的最小值为

变式2.己知直线人：仪+2），-4=0,直线4：bx-2y-\=（）f其中〃，5均不为0.

（1）若乙_L的且4过点（口），求a,b；

⑵若“〃2,且4在两坐标轴上的截距相等，求乙与6之间的距离.

【详解】（I）当《过点（巾）时，。+2-4=0,所以。=2,

因为/所以-会与=一1,即必=4,于是匕=2

4

（2）由4：ar+2y-4=0,令x=0,贝ljy=2,令y=。，则犬=一

a

因为4在两坐标轴上的截距相等，所以2,，故。=2,又I川？,所以-好《，所以》=-2

a22

4

则人2x+2y-4=0与(2x+2)，+l=O之间的距离♦=IT"1=空，所以[与1之间的距离为

V22+224

5夜

变式3.已知直线/]：«X-2y—2〃+4=0,I,:a2x+4y-4a2-8=0

（1）若直线4在两坐标轴上的截距相等，求实数。的值;

⑵若64,求直线4的方程.

【详解】（1）由题意可知，。=0,直线4在工轴上的截距为——，在了轴上的截距为则

a2

2a一44—2am,日

-----,解得：a=±2

a2

（2）若/他，贝14a=-2〃且一2x（Ta2-8）工4x4,解得：a=-2

此时直线12的方程为x+.y-6=0

1.己知圆。：/+丁2=4,"（%,先）为圆。上位于第一象限的一点，过点M作圆O的切线/.当/

的横纵截距相等时，/的方程为（）

A.x+>,-2>/2-0B.x+y-=0

2

C.x+y-4y/2=0D.x-y-14i=0

【答案】A

【分析】利用过圆上点的切线的性质可得OM_L/,利用点M（/,匕））表示出切线方程，结合/的横

纵截距相等，即得解

【详解】由题意，点M在第一象限，故过点M的的切线/斜率存在；

点〃（/，儿）在圆上，故OM_L/,即％“勺=一1

.：心”=—:.k!=-^-

%为

4

故直线I的方程为：y-%=一区（％-%）=+yoy=工：+x；=

）'o

44

令x=0,y=—;令y=0,x=—;

%为

44

当/的横纵截距相等时，一二一。/二%

玉）%

又£+£=4,/>0,%>0

解得：大o=五,y0=\f2

即\[lx+V2,v=4,即x+y-20=0

故选：A

2.“直线/：5=履+2«-1在坐标轴上截距相等”是“攵=-1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由直线/：），=h+24一在坐标轴上截距相等得衣=；或左=-1,再根据充分条件和必要条件

乙

的定义判断即可.

1-Ok

【详解】解：由题知：左。0,由1=0得y=2左一1；由），=。得，X=-

k

因为在坐标轴上的截距相等，所以2攵-1二\一-7竺k，解得衣=3I或k=T.

所以直线/:产辰+2上-1在坐标轴上截距相等”是“攵二一1”的必要不充分条件.

故选:B.

【点睛】本题土要考查直线的截距与充分条件、必要条件，属于基础题.

3.过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()

A.x-y+\=0B.x+y-3=0C.y=2x或x+y-3=0D.y=2r或x-y+l=0

【答案】D

【分析】考虑直线是否过坐标原点，设出直线方程，分别求解出直线方程.

【详解】当直线过原点时，其斜率为沿=2,故直线方程为y=2x；

I-V

XV19

当直线不过原点时，设直线方程为±+上=1,代入点(1,2)可得上+±=1,解得〃=一1,故

a-aa-a

直线方程为x-y+l=0.

综上，可知所求直线方程为y=2t或x-y+l=0,

故选：D.

【点睛】本题主要考查直线方程的截距式以及分类讨论思恁的应用，考查逻辑推理和数学运算.在

利用直线方程的截距式解题时，一定要注意讨论直线的截邪是否为零.

4.下列说法正确的是()

A.若直线/x-y+l=0与直线工-0-2=0互相垂直，则。=一1

B.已知21,1),。(-2,-3),点P,Q到直线/的距离分别为2和4,则满足条件的直线/的条数

是2

C.过(看,%)，(n，/)两点的所有直线的方程为尸^=三

D.经过点(1,1)且在X轴和》轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0

【答案】B

【分析】对于A,利用直线与直线垂直的条件判断；对FB,利用点到直线的距离、直线与圆的位

置关系判断；对于C,利用两点式方程判断；对于D,利用直线的截距式方程判断

【详解】解：对于A,若直线与直线工一纱—2=。互相垂直，则/+白=0,解得〃=0

或。二一1,所以A错误；

对于B,因为P(LI),(2(-2,-3),所以|PQ|=J(l+2)2+(l+3)2=5,分别以点P,Q为圆心，2,4

为半径作圆，因为2+4>5>4-2,所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条，所以满足条件的直

线/的条数是2,所以B正确；

对于C,当％工看且)'尸力时，过(公，匕)，(々，人)两点的直线方程为三三=三，所以C错误；

)2一乂七一N

对于D,当截距为零时，设直线方程为)，=",则&=1,所以直线为V=x,当截距不为零时，设

直线方程为4+2=1,则,+1=1,得。=2,所以直线方程为x+y-2=0,综上，经过点（1,1）且

aaaa

在X轴和y轴上截距都相等的直线方程为1+），-2=0或p=无，所以D错误

故选：B

5.过点?（3,4）,且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是

A.x-y+l=0B.x-y+1=0bg4.v-3y=0

C.x+y-7=0D.x+y-7=0或4x-3），=0

【答案】D

4

【详解】当直线过原点时，直线方程为y=（x,即4x-3y=0；

当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a.

则3+4=a,得a=7.

・・・直线方程为x+y-7=0.

・•・过点M（3,4）且在坐标轴上截距相等的直线方程为4x-3y=0或x+y-7=0.

故选：D

6.下列命题中第氓的是（）

A.命题“切€+1v1”的否定是“VKCR"+1>1»»

B.命题“若a>b,贝的否命题为“若。工人则2"2b-l”

C.“两直线斜率相等”是“两直线平行”的充要条件

D.若"p或d'为假命题，则p,q均为假命题

【答案】C

【分析】利用含有一个显词的命题的否定、否命题的概念、两直线平行的充要条件以及的真

假进行判断.

【详解】对于A,命题“丸",君+1<1”的否定是“DxwRl+1N1”，故A正确；

对于B,命题"若”"则的否命题为“若心。，则2“£26-1”，故B正确;

对于C,若两直线斜率相等，则两直线平行或重合；但若两直线平行，斜率可能不存在，故C错误；

对于D,若"p或/为假命题，则p,4均为假命题，故D正确.

故选：C.

7.与圆Y+（y—1）2=］相切，且在坐标轴上截距相等的直线共有（）

A.2条B.3条C.4条D.6条

【答案】A

【分析】过原点的直线不满足题意，当直线不经过原点且与圆相切时，依题意可设方程为

x+y+m=O,根据圆心到直线的距离等于半径可得〃，有两解，综合可得结果.

【详解】圆/+()，-1尸=1的圆心为@1),半径为1,

由于原点在圆上，显然过原点的直线不满足题意：

当直线不经过原点且与圆相切时，依题意可设方程为x+y+，〃=o,

圆心到直线的距离d=/J=l,解得〃?=±&-1，此时满足条件的直线有两条，

综上可得：满足条件的直线有两条，

故选：A.

【点睛】本题主要考查圆的切线方程，截距相等问题，学生容易疏忽过原点的直线，属「中档题.

8.已知直线/过点M(-2,3),且与x轴、＞轴分别交于4,B点,则()

A.若直线/的斜率为1,则直线/的方程为y=x+5

B.若直线/在两坐标轴上的截距相等，则直线/的方程为x+y=l

C.若M为A8的中点，贝J/的方程为3x-2y+12=0

D.直线/的方程可能为y=3

【答案】AC

【分析】根据直线点斜式判断A,由过原点直线满足题意判断B,由中点求出A,B坐标得直线方程

判断C,由直线与坐标轴有交点判断D.

【详解】对于A,宜线/的斜率为1,则直线/的方程为y・3=x+2,即y=x+5,故A正确；

对于B,当直线/在两坐标轴.上的截距都为。时，/的方程为y=-：x,故B错误；

对于C,因为中点M(—2,3),且4,B在X轴、y轴上，所以4(T,0),3(0,6),故4B的方程为

三+乡=1,即3x-2y+12=0,故C正确；

对于D,直线y=3与x轴无交点，与题意不符，故D错误.

故选：AC.

9.已知直线Rx—y+〃?=0,/2：2x+my-\=0,则下列结论正确的有()

A.若“〃2，则/〃=-2

B.若IJ4，则m=2

C.若4，，2在X轴上的截距相等则m=1

D./,的倾斜角不可能是“顷斜角的2倍

【答案】AB

【分析】根据直线平行、垂直的条件判断AB选项的正确性；根据直线的截距、倾斜角判断CD选

项的正确性.

【详解】若〃4，则?二，得加=一2,选项A正确；

1-1m

若41，2，贝ijlx2-“7=0,得〃?=2,选项B正确；

若4，，2在X轴上的截距相等，则-机=；，解得机=-；，选项C错误；

当〃?=0时，，2的倾斜角5恰好是4的倾斜角彳的2倍，选项D错误.

4I

故选：AB

【点睛】解决此题的关键是要弄清楚直线的点斜式和直线的一般式判断两直线平:行和垂直的充要条

件,其次坏要注意斜率的存在性,一定要注意分类讨论.易错点：两百线平行一定要注意纵截距不

等和斜率的存在性.

10.直线/与圆(X-2)2+V=2相切，且/在x轴、)，釉上的截距相等，则直线/的方程可能是

A.x+y=0B.汇+)，-20+2=0

C.x-y=0D.x+y-4=0

【答案】ACD

【解析】由于直线/在x轴、y轴上的截距相等，设直线为：x+y-。=。或)，=丘，利用圆心到直

线的距离为半径，即得解

【详解】由于直线/在x轴、V轴上的械距相等，设直线为：x+y-a=。或y=H

由于直线/与圆(x-2)2+V=2相切，

故圆心(2,0)到直线的距离等于半径,•=V2

d=?=&/.«=0,4

x/2

nVd=J"'=V2/.k=±1

故直线的方程为：x+y=(U+y-4=0,x-)，=0

故选：ACD

易错点三：求有关圆的切线问题易混淆“在”“过”(求有关圆的切线问

题)

苣9

技巧总结

二类：求过圆上一点（%,）：））的圆的切线方程有遥）

正规方法：

第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率左

第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为-

k

第三步：利用点斜式），-%=M尤-九0）求出切线方程

注意：若％=0则切线方程为x=若%不存在时，切线方程为y=），°

（秒杀方法，

222

①经过圆x+y=r上一点P（x0,%）的切线方程为工01+%），=r

②经过圆（不一〃）2+（y-〃）2=/上一点P（Xo，%）的切线方程为

（X。一4卜一4）+（），0-b\y-b）=r2

③经过圆/+），2+6+或一产二0上一点"）的切线方程为

八X+X(),L)'十%

/x+No>+。•一广+日于11+F=0

:第三类：求过圆外一点（两,为）的圆的切线方程的方法。

方法一：几何法

第一步：设切线方程为＞一刈二%（工一工0）,即履一%=0,

第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得左,切线方程即可求出

方法二:代数法

第一步：设切线方程为y-x,=k（x一/）,BPy=kx-k\y+y0.

第二步：代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由△=（）可求得Z,切线方程即可求出

注意：过圆外一点的切线必有两条，当上面两种方法求得的女只有一个时，则另一条切线的斜率一

定不存在，可得数形结合求出.

方法一：几何法

第一步：设切线方程为〉二履+根，即％x—y+，〃=0

第二步；山圆心到直线的距离等于半径长，可求得〃？，切线方程即可求出.

方法二:代数法

第一步：设切线方程为y=

第二步：代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由△=()可求得〃?，切线方程即可求出

方法三：秒杀方法

222

已知圆x+V=r的切线的斜率为k,则圆的切线方程为)，=kx±rdk+1

已知圆(x-a):+()，-少2=产的切线的斜率为k,则圆的切线方程为)，=kx±rVF+1+b-ka

工具：点与圆的位置关系判断

圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)

一般方程为x2+)，2+6+£>，+广=0(D2+E2-4F>0).

22

①点在圆上：(湎一a)?+(y0-b)=rXQ++Dx0+Ey0+F=0

22

②点在圆外：(x0-a)+(y0-b)>r~*+yj+DXQ+Ey0+F>0

22

③点在圆内：(x0-a)+(y0-b)<r~XQ4-+DXQ-»■Ey0+F<0

易错提醒：求切线问题时首要任务确定点与圆的位置关系并采用对应方案进行处理

第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率上

V3

^=-y-=V3

2

第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为-:

〃1V3

k3

第三步：利用点斜式y-%-％)求出切线方程

秒杀方法：

经过圆X2+y2=\上一点电岑卜勺切线方程为”当，=1

变形1、圆的方程为丁+），2-41+2>+4=0,过点-1的切线方程

\2/

解：正规方法：

第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率女

圆的一般式转化为标准形式为（1-2）2+（y+]]=1=k二'=一6

~2

第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为

k

第三步：利用点斜式y-%=k\x-%）求出切线方程

秒杀方法：

经过圆上/+）产—4工+2），+4=0一点尸-1的切线方程为

r1

3M1

2(n\-VH—yH------1

—x+y-4----—+2-----=----F4=0

21\2/22

变形2、圆的方程为V+y2_4x+2y+4=（）,过点（1,1）的切线方程

解：由题意的点在圆外

方法一：几何法

第一步：设切线方程为）=1二Mx-。，即上「丁一攵+1=0,

第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得k,切线方程即可求出

x2+y2-4%+2y+4=0n（x-2）2+（y+iy=l圆心为（2,-1）则1==>[=-」

J1+二4

37

故：——x-y+—=0,x=\

44

方法二:代数法

第一步：设切线方程为)，—l=k(x—1),即y=Ax—A+l,

第二步：代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由△=()可求得上,切线方程即可求出

337

/+(人工—々+11-4工+2(2工-人+1)+4=0△=()=>%=——故：——x-y+—=0,x=\

44'4

变形3、圆的方程为(x-2)2+()，+1)2=1,切线斜率为1方程为

方法一：几何法

第一步：设切线方程为y=x+m，即x-)，+〃?=0

第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得〃?，切线方程即可求出.

1==〃？=-3士V2故x—>一3—V2=0x-y-3+41=0

方法二:代数法

第一步：设切线方程为)，=履+加，

第二步：代入圆的方程，得到一个关于工的一元二次方程，由△=()可求得团，切线方程即可求出

(x-2)2+(Zx+，〃+l)2=IA=O=>/77=-3±V2

故x-y-3-V2=0x-y-3+V2=0

方法三：秒杀方法

已知圆(x-+()，-Z?)2=r2的切线的斜率为k,则圆的切线方程为)，=kx±rVF+T+b-ka

故x-y-3-V2=0x—y-3+V2=0

1.在平面直角坐标系中，过直线2x-)，-3=0上一点尸作圆C：f+2x+y，=l的两条切线，切点分

别为AB,则sinNAPB的最大值为()

A.巫B.述C.显D.叵

5555

【答案】A

【分析】由题意I员|。：丁+2">>，2=［的标准方程为C：(x+l)+y2=2,如图

又sEa=探=所以cosa=Jl-sin%=

s\nZAPB=sin2a=2sinacosa，又

由圆心到直线的距离可求出|。|的最小值，进而求解.

【详解】如下图所示：

由题意圆C的标准方程为C：(x+1)+)'=2,sinZAPB=sin2a=2sinacosa,

又因为sina=^=/言，所以cosa=Jl-sin2a=

所以$足4尸8=25皿a（：05。=2

,|―2—0-3|i-

乂圆心c（-1,0）到直线2x-y-3=o的距离为d='而二了=也

所以|。"2"=石，所以不妨设l={0</4L

则sin/AP8=2131-

=2也/(_2)=〃/)，

又因为/⑴在（。［单调递增，所以当且仅当/=［即|5=君，即当且仅当直线O垂直已知直线

2x-y-3=0时，

sinZAPB有最大值（sin/AP为心

故选：A.

2.已知点M（LG）在圆C：/+y2=,〃上，过“作圆C的切线/,则/的倾斜角为（）

A.30B.60C.120D.150

【答案】D

【分析】根据直线垂直的斜率关系，即可山斜率与倾斜角的关系求解.

【详解】圆心为（0,0）,所以％"=6,所以过M的切线/的斜率为

v33

设倾斜角为。，则tan。=-正，

3

由于。目0,兀），故。=普，

故选：D

3.已知圆。:/+»，2一4工一63，+12=0与直线/：X+>-1=0,P,。分别是圆C和直线/上的点且直

线PQ与圆C恰有1个公共点，则|PQ|的最小值是（）

A.x/7B.2收C.x/7-1D.272-1

【答案】A

【分析】|PQ|=述二的|G2|的最小值为圆心。（2,3）到直线的距离，可.求俨0的

最小值.

【详解】圆C：f+），2-4x-6y+12=0化为标准方程为。:"一2『+&-3）2=1,

则圆。的圆心为。（2,3）,半径,:1,则|5=1,

直线PQ与圆C相切，有|PQ=JCQFTCH?=J|CQ『_],

因为点。在直线/上，所以|CQ|N寺」=2无，则闸之

即归。|的最小值是行.

故选：A

4.已知直线/：nix-y+m+\=0（m工0）与圆C:/+丁一4%+2），+4=。，过直线/上的任意一点P向

圆C引切线，设切点为48,若线段AB长度的最小值为G，则实数〃?的值是（）

12G12-77

A.B.-C.-D.—

5555

【答案】A

【分析】设=则|48|=2sin〃，可得而CP的最小值是圆心到直

线的距离，然后列方程可求出实数〃?的值.

【详解】圆。:（"2尸+（），+1）2=1,设NACP=6（0<”3

则|AM=2sm9NV5,贝iJsinON孝，.•.夕£号《)，

则|PC|二工>2,所以圆心C到直线/的距离是2，

cos<9

\2ni+\+m+]\一皿,12

•*-------1.­=2,得5nr+12m=0，\m^O：.m=---.

Vw+15

故选：A.

5.已知圆C:(x—2『+y2=4,直线/：>=依代wR),则下列结论正确的是()

A.存在实数上使得直线/与圆C相切

B.若直线/与圆C交于4B两点,则|A却的最大值为4

C.当k=-l时，圆C上存在4个点到直线/的距离为g

D.当左=1时，对任意/leR,曲线氏f+V—p+d卜+%y=0恒过直线/与圆。的交点

【答案】BCD

【分析】根据直线与圆的位置关系逐项判断即可.

22

【详解】C:(x-2)+y=4f圆心C(2,0)且半径为r=2,

因为直线/：)=收过定点0(0,0),且点。在圆上，若直线/与圆C相切，则直线/的斜率不存在，

即x=(),故A不正确；

当直线/经过圆心时，取最大值即圆的直径2,・=2x2=4,故B正确；

当k二一1时，直线/：%+y=。，因为圆心。到直线/的距离1=2=夜，所以「一1=2-&>:,

V22

所以圆。上有4个点到直线的距离为;，故C正确；

当％=1时，直线/：x-)，=0,曲线E:x2+y!-(/l+4A+/ly=。，

即W+y2-4x-2(x-)，)=0一定过直线/：x—y=0与