鄞中物理奥赛培训教材第一版知识框架第110讲

第一讲力的种类和受力分析

【赛点学问】

一、自然界中常见的力

我们在日常生活中会遇到各种各样的力，如重力、绳中的张力、摩擦力、地面的支撑力和空气的阻力等，从最根本的

层次看，上述各种力属于四大范畴：（1）引力：（2）电磁力：（3）弱力；（4）强力。

这里我们只介绍开头列举的那几种常见的力。

（-）万有引力

宇宙间存在于任何两个有质量的质点之间的互相吸引力称万有引力。

式中，G=6.67xlOd,Nni7kg2,为万有引力常量；，加8为A，B两质点的质量，，•表示两质点的间隔。

重力来源于地球对物体的吸引。在地球外表旁边，物体的重力大小G=mg,方向竖直向下。

物体的各个局部都受到重力的作用，我们把它等效地认为是作用在物体的重心上。

在一般状况下，在地球外表旁边的小范围可以认为重力是不变的。

若在大范围内考虑，并计及地球自转的影响，则同一物体的重力是可变的，重力将随距地面的高度、不同的纬度而不

同，它事实上是万有引力的一个分力。

（二）弹力

物体在受力产生形变时，有夏原原状的趋势，这种反抗外力力图复原原状的力就是弹力。

对于弹簧的弹力，在弹性限度内，弹簧的弹力和弹簧伸长（或压缩）的长度成正比

式中，左为弹簧的劲度系数，由弹黄本身性质所确定（如匝数、材料及弹黄的粗细等）：式为弹簧的形变量，负号表示弹力

的方向及形变x的方向相反，弹簧伸长时x取正。其它弹力的大小只能提状态求。

弹力的方向：应为复原形变的方向，在实际问题中可理解为垂干脆触面的方向；对绳子或松软体，沿绳方向：对二力

杆则沿杆方向。

弹簧的连接：

（1）弹簧的串联：将劲度系数分别为占，42,攵3，・一，攵〃的几个弹簧串联，串联后等效的劲度系数为岛；，则

1111

----=------1------+・•.4-------c

（2）弹簧的并联：将劲度系数分别为《，左2,攵3，-一，女〃的几个弹簧并联，在形变一样的状况下，并联后等效的劲度

系数为攵并，则％事=k]+k[+…+k”。

（三）摩擦力

两个互相接触的物体间有相对运动或者有相对运动趋势时，这两个物体的接触面上就会出现阻碍相对运动的进展或阻

碍相对运动发生的力，这就是摩擦力。前者是滑动摩擦力，后者是静摩擦力。方向及相对运动或相对运动趋势方向相反，沿

接触面的切线方向。

静摩擦力大小：0《/«fM

式中，fw为最大静摩擦力，为静摩擦系数，它由互相接触物体的质料和外表状况确定，并且有

4>4动。

滑动摩擦力大小：动N

摩擦力的起因及微观机理，尚有很多未知领域，有待进一步讨论。但试验指出，接触面过于粗糙或过于光滑又清洁时,

摩擦因数都会增大。相对速度过小或过大。滑动摩擦因数也要变更，不过在通常状况下，这种变更不明显，可以忽视不计。

所以在一般的分析计算中，都认为摩擦因数不受接触面积、接触面粗糙程度和滑动速度的影响，一般给出的摩擦因数，都是

在通常条件下，有试验测出的平均值。

滚动摩擦：滚动摩擦的产生是由恨I柱体和他而接触处的形变引起的“滚动摩擦•般远小于滑动摩擦,所以它对物体的

影响我们常不予考虑。

以上谈的都是固体之间的摩擦问题，下面简短谈谈流体及固体之间的摩擦。流体（气体或液体）不会对及它相对静止

的物体施加摩擦力，但耍对在其中运动的物体施加阻力。粗略地说，在流体的粘滞性较大，运动物体较小、较慢的状况下，

阻力/正比于匕J6和粘滞性（匕s分别为运动速度，横截面枳）：在相反的状况下，阻力/正比于丫？和s,但及粘滞

性无关。通常在空气中坠落、行驶或翱翔属于后一种状况。

二、受力分析

讨论力学问题的第一步工作就是对讨论对象进展受力分析，正确的受力分析是解力学问题的前提。

受力分析可按三种不同性质的力依次进展，简称四步曲。

（D先确定讨论对象，并将“对象”隔离出来，必要时“转换”讨论对象。

（2）分析“对象”受到的外力，按先重力、次弹力、再摩擦力的依次进展分析，不要边分析边处理力，画出示意图。

（3）根据详细状况将力的合成或分解。

（4）写出运动条件，解方程，而后分析讨论结果。

【赛题精析】

例1.匀称长棒一端搁在地面上，另一端用细线系在天花板上，如图所示。若细线竖直，试分析棒的受力状况。

例2.如图所示，木板A质量为M,以相对地面的速度I，在程度面上向东运动，木板上放一质量为"7的K板B,各接触

面间滑动摩擦因数为〃，当木块B也有相对地面对东的速度U时，试分析A、B木块的受力状况。

例3.如图所示，质量为，〃的物体恰好能在倾角为々的固定斜面上匀速下滑，如在物体L施加一个力产使物体沿斜

面匀速上滑，为了使力尸获得最小值，这个力及斜面的倾斜角。为多大？这个力的最小值是多少？

【习题精选】

I.画出图中各种状况下静ll•物体A的受力示意图（小球均光滑工

2.如图所示的皮带传动装置中，0.是主动轮，0,是从动轮，A,B分别是皮带上及两轮接触的点，C,D分别是两轮边缘及

皮带接触的点（为清晰起见，图中将两轮及皮带画得略为开些，而事实上皮带及两轮是严密接触的）。当。顺时针起动时,

若皮带及两轮间不打滑，则A,B,C,D各点所受摩擦力的方向分别是（

A.向上、向下、向下、向上

B.向下、向上、向上、向下

C.向上、向上、向下、向下

D.向下、向下、向上、向下

3.如图所示，两木块的质量分别为〃!।和m2,两轻质弹簧的劲度系数分别

为1和攵2,上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态，现缓慢向上提上面

的木块，直到它刚分开上面弹簧，在这过程中下面木块挪动的间隔为（)

A,B.一2■

rV・Uhl

4.质量为机的小木块，停放在程度地面上，它及地面的静摩擦因数为4,一人想用最小的作用力尸使木块挪动，则最

小的作用力尸=

5.如图所示，两根劲度系数分别为勺和22的轻弹簧竖直悬挂，下端用光滑细绳连接，把一光滑的轻滑轮放在细绳上，求

当滑轮卜挂一重为G的物体时，滑轮卜.降的间隔多大？

6.如图所示，质量为〃7的木块及程度面间无摩擦，/〃静止时各弹簧均处于原长，在图中两种状况下，求"7受一程度向

右的力尸作用平衡后，木块机挪动的间隔.

7.如图所示，人字形梯置于铅垂平面内，A,B两处〃一样，当人爬至D处时系统失去平衡，此时A,B两处何处先滑动。

第二讲有固定转动轴的物体平衡

【赛点学问】

力可以使物体发生转动，物体转动时，它的各点都沿圆周运动，圆周的中心在同始终线上，这条直线口L转动轴，而一

个力使物体转动的效果取决于力矩(力X力臂)。假如有几个力作用在物体上，则这几个力共同对物体的转动效果取决于它

们力矩的代数和，力矩的代数和不等于零，物体将作变速转动；力矩的代数和等丁•零，物体将保持静止或匀角速转动。

试验证明：有固定转动轴的物体的平衡条件是力矩的代数和等于零或者说合力矩为零，即

M+M?+a+...+M”=()或2加=0

【赛题精析】

例1.由边长/=4R的两个正方形匀称薄板构成“硬封面簿”，夹在程度放置的、半径为A的光滑圆木上。两板用带

有俊鞋的轻杆相连结，此系统处于平衡状态，求网板间的夹用为多大？

例2.离地面高〃=40cm处，程度轴P上装有匀称杆，杆的长度/=30cm,质量m=0.5kg,杆偏离竖直方向夹

角。=30。，靠在位于地面上的半径R=10cm的球面上，整个系统处于平衡状态，试求球及地面之间以及球及杆之间的

摩擦力。

例3.一支杆秤，其秤锤已丧失，仅留下杆秤及一根细线，不用其他器材，如何确定

丧失的秤锤的质量？

例4.如图所示，三根氏度均为/的轻杆用较链连接并固定在程度天花板上的A,B两

点，A,B两点相距为2/,今在较链C上悬挂一个质量为〃7的重物，要使CD杆保持程度,

则在D点上应施的最小力为多大？

【习题精选】

I.如图所示,重球置干•光滑木板AB和光滑竖直墙壁之间.木板AR重力不计,可绕固定光滑钱链A转动,在B端施•始

终竖直向上的力尸，使B端缓慢落下，直至AB成程度位置，这个过程中，下列说法正确的是（

A.力产及其力矩M都变大

B.力产及其力矩M都变小

c.力Z7变大，力矩M变小

D.力F变小,力矩〃变大

2.一匀称的直角三角形木板ABC,可绕通过C点的程度轴竖直于纸面转动，如图所示，现用

一始终沿直角边AB的作用于A点的力/，使BC边缓慢地由程度位置转至整直位置，在此过程

中，力产的大小随。角变

更的图线是图（）

3.如图所示，两根匀称杆

AB和CD,长均为L,重均

为G.AB杆的A的端用钱链

固定在墙壁匕其B端及CD

杆的C端用皎链连接在一起，

使两根杆均可在竖直平面内转动，现于杆上某点施一竖直向上的力，使AE杆和CD杆都保持程度,则施力的伦用点到杆的A

端的间隔为多少？所施加的大小又为多少？

4.有六个完全一样的刚性长条薄片儿修（1=1,2,…,6）.其两端下方各有一•个小突起，薄片及突起的重力均可不计.现

将六个薄片架在一只程度的碗口上，使每个薄片一端的小突起"搭在碗口上，另一•端的小突起儿位于其下方薄片的正中,

由正上方俯视如图所示，若将一质量为〃？的质点放在薄片AB。上的一点，这一点及此薄片中点的间隔等于它及小突起

41的间隔，求薄片练中点A所受的压力。

5.有一长为/，重为W0的匀称杆AE,A端顶在竖直的粗糙墙壁上，杆端及墙面间的静摩擦系数为〃，B维用一强度足够

且不行伸长的绳悬挂，绳的另一端固定在墙壁C点，木杆呈程度状态，绳及杆的夹角为〃,如图所示，求：

（1）杆能保持平衡时，〃及。应满意的条件，

（2）杆保持平衡时，杆上有一点P存在，若在A点及P点间任一点悬挂重物，则当重物的重量W足够大时总可以使

平衡破坏，而在P点及B点之间任一点悬挂随意重量的重物，都不能使平衡破坏，求出这一点P及A点的间隔。

6.轻质横杆0B,0端用钱链固定在墙上，B点用轻绳拉紧，使杆处于程度状态，在B点挂重为G的物体，如图所示，AB

和0B的夹角为。，在把重物的悬点向。端挪动的过程中，求墙对杆的作用力的最小值。

7.三个直径和重力都一样的圆木柱垛在一起，如图所示。问：圆木柱之间摩擦因数〃最小为何值时，它们才不会滚散？

（设圆木在地面上不行能滑动）尸、

A

8.一根长度为/的杆AB重为G,B端压在粗糙的地面上，A端用一根足够牢的轻绳斜拉在（J

地上，绳及杆的夹角为。，如图所示，在离B端山处有一程度作用力/，问：

（1）杆B端及地面之间的动摩擦因数至少为多大，才能维持杆静止？（8丫C）

（2）假如B端及地面之间的动摩擦因数为4°,则在AB上有一点D,在AD之间不管施?〃源M苏H〃〃/

加上多大的程度力尸，都不会破坏AB杆的平衡，求D点的位置。A

9.人对匀称细杆的一端施加力，方向垂直于杆，要将杆从地板上渐渐地无滑动地抬到竖直位置.，试求杆及地板间的最小摩

擦系数.

10.如图所示，用一-段橡皮管将质量为M的钢喷管接到竖直水管的一端，试问：水的消耗量为多少才使喷管处于程度位置？

（喷管的横截面积为S,长度为/,摩擦不计）

11.三根重为G，长为。的均质杆对称搁在地上，底端相距也均为。，如图所示，求：

（1）A杆顶端所受作用力的大小？

（2）若一重为G的人坐在A杆中点，则A杆顶端所受作用力变为多少？

12.（山东省1979年夏赛题）今用一匀称的长为4、重为G2的撬棒把一块长为4、重

为GI的匀称预制板支起达平衡位置，如图所示，问垂直作用于撬棒上端点的作用力

尸是多少？（假定预制板及撬棒的接触处是光滑的，地面是粗糙的，角。和角尸都

是已知的）

第三讲一般物体的平衡

【赛点学问】

一般物体的平衡条件是指物体既满意平动的平衡条件，又满意转动的平衡条件，即

其中，、［“。（/）是指全部力对任一点的力矩的代数和为零，在满意£死二°，2/、二°的条件下，可以证明，当

全部力对于某一点的力矩的代数和为零时，对任一点的力矩的代数和都等于零。因此，在实际应用时可以选择适当的转轴0,

使方程得以简化。

上面所表示的只是平衡方程的根本形式，并不是唯一形式。平面一般力系的平衡方程还nJ■以表示为以卜两种形式。

1.两个力矩平衡方程形式，即三个平衡方程中有两个力矩方程和一个投影方程，可写为：

其中，A，B两点的连线AB不能及X粕垂直。

因为满意八（/）=0时，力系不行能简化为一个力偶，只可能简化为通过A点的一个合力。当二用8（/）二0

也同时被满意时，若有合力，则它必通过A,B两点。但因为连线AB不能及X轴垂直，故当Z尸，=（）也成立时，就充分

证明了力系的合力Z尸=（）必成立。故其肯定是平衡力系，如图所示。

2.三个力矩平衡方程形式，即三个平衡方程都是力矩方程，可写为：

其中，A,B,C三点不能共线。这一结论读者可自行论证。

这样，平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程，每一种形式都只包含有三种

独立方程。因此，对一个受平面一般力系作用的平衡物体，可以也只能列出三个平衡

方程，求解三个未知数。任何第四个方程都是前三个方程的线性组合，而不是独立的。至于在实际应用中采纳何种形式的平

衡方程，完全确定于计算是否简便，要力求避开解联立方程的费事。

【赛题精析】

例1.有两个质量分别为〃％,阳2的光滑小环，套在竖直放置且固定的光滑大环中，并用细绳连接。平衡时细绳及竖

八八m.+〃z,a

直线的夹角为。，如图所示。已知细绳所对的圆心角为。，试证明：tan^=-1----^cot—。

J%-m22

例2.如图所示，两个质量分别为加一加2的小环能沿着一轻绳光滑地滑动，绳的两端固定于直杆上的A,B两点，杆

及程度成角。，在杆上又套上1个轻小环，绳穿过轻杆，并使7%,"?2在其两侧，环及直杆间无摩擦，系统处于平衡时，

tan0B

0角如图所示，求色吆的值。/

例3.如图所示，AOB是一把等臂夹子，轴0处的摩擦可以忽视。若想在A,B

处用力夹住一圆柱形物体C,则能否夹住及哪些因素有关？假如这一装置能夹住C，

这些因素应满意什么条件？(不考虑C的重力)

例4.如图所示，匀质圆柱体夹在木扳及竖直墙之间，其质量为〃？，半径为R,

及墙和木板间的摩擦因数均为〃，板很轻，其质量可忽视。板的一端0及增用光滑校链2

相连，另一端A挂有质量为，“重物，0A长为/,板及竖直墙夹。角，9=53。，试问：

m'至少需要多大才能使系统保持平衡？并对结果进展讨论。

R

例5.如图所示，质量为"2,自然长度为2的(。=——)，弹性系数为％的弹

性图，程度放置于半径为R的固定性球上，不计摩擦。

(1)设平衡时绳圈长29，b=y/2a,试求女。

(2)设&=一萼一，求绳圈的最终平衡位置及长度。

21？R

【习题精选】

1.如图所示，程度放置的两个固定的光滑硬杆0A和0B成6角，在两杆上各套轻环P,Q.两环用轻绳相连.现用恒力/

沿0B杆方向向右拉环Q,当两环稳定时绳的拉力多大？

2.跨过两个光滑滑轮的线上，挂有三个质量分别为〃，町和M的重物，如图所示。

两滑轮离悬挂点同•高度。求当整个系统处于平衡状态时，三个重物的质量之间的关系？

这些条件是否总是能满意？（不计摩擦）

3.质量分别为优和M的两个小球用长为/的轻质硬杆相连，在如图所示位置处于平衡状态。杆及桌边缘局部摩擦因数为

〃，桌长为球机和竖直壁间没有摩擦。为使杆平衡，问参数"7，M,〃，I,。和。应满意什么条件？

4.如图所示，小圆环A吊着一个重为的祛码套在另一个竖直放置的大圆环上，有一细线，其一端拴在小圆环A上，另

一端跨过固定在大圆环最高点B的一个小滑轮后吊着一个重为G2的球码,假如小环、滑轮、绳子的大小和质量以及摩擦都

可以忽视不计，绳子又不行以伸长，求平衡时弦AB所对的圆心角

5.四个半径一样的均质球在光滑程度面上堆成锥形（俯视见图所示）,下面三球用细绳缚住。绳及三球心共面,各球重.为G,

求辨内张力大小c

6.如图所示，将一长为/,质量为m且分布匀称的链条套在外表光滑的圆锥上，当链条他

止时，其张力为7,求圆锥顶角a。

7.如图所示，边长为a，质量为109的立方块置于倾角为30。的固定斜面上，半径为巴,

2

质量为，〃的圆柱依次搁置成一排，物块及圆柱、圆柱之间、圆柱及斜面均为光滑接触,但物

块底面粗糙，其及斜面之间的静摩擦系数为〃=一耳一，试求保持系统静止时，最

多可依次放宜多少个这种圆柱体？

8.如图所示，AB,BC,CD和DE为质量相等，长度为2a的四根匀称细杆，四根杆

通过位于B,C,D的光滑较链而较接起来，并以端点A和E置于粗糙程度面上，形成

对称弓形，而且在竖直平面内保持平衡，若平面及杆间摩擦系数等于0.25,试求AE的最大间隔及C点离程度面的相应高

度”。

9.半径为广，质量为"7的三个一样的球放在程度桌面上，两两互相接触，用一高为1.5,•的无底圆筒将三球刚好套于筒内,

各处保持无变形接触.现取-质量亦为〃？，半径为R的第四球置于三球正上方，俯视如图所示，设各处静摩擦系数均为

~r=，试求R取何值时，用手竖直轻轻上提圆筒，能将四球一起提起来。

V15

10.把4块完全一样的匀称砖块由下而上依次叠放在桌子边缘，如图所示。要使最上面的砖块

伸出桌子边缘最多，砖应如何登放？砖块伸出桌子边缘的最大程度间隔是多少？（设破长为/）

11.两个一样长方体处于如图所示位置，问当Q角为多少，它们才可能平衡？（长方体及

台面间摩擦因数为〃，长方体长为力，宽为a，它们之间摩擦不计。）

12.如图所示，在个宜于程度面上的外表光滑的半径为A的半圆柱面上，宜有条K为

成的匀称链条，能条的质量为〃?，其两端刚好分别及两侧的程度面相接触。问：此徒中

张力的最大值为多少？

13.质量为〃2,长为/的匀称杆AR下端靠在墙上，借助绳DC保持倾斜状态，如图所示，绳的一头系在墙上C点，而另一

头系在杆上D点，AO=!A3。绳和杆分别及墙成角a和夕，试求杆及墙之间一切可能的摩擦因数值。

14.如图所示，一光滑半球形容器，直径为其边缘恰好及一光滑轻直的墙壁相切，现有一匀称直棒AB,其A端靠在墙

上，B端及容器底相接触，当棒倾斜及程度成60。角时，棒恰好静止，求棒的长度。

15.A,B为全同物块，按如图所示较接于M,N,P三处，M,N在同一程度而上，A,B的重量可不计。顶边程度，且各长3m：

侧边竖直，高4m。今在B的顶上距PI.5nl处加竖直力厂=400%,求B对校链P的作用力。

第四讲平衡的种类和液体静平衡

【赛点学问】

一、物体平衡的种类

物体平衡的种类有：稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡。

它是处于重力场以及其他有势场的物体在场作用下的三种平衡状况，处于•势场的物体和场一起具有势能，而物体都有

向势能较小位置运动的趋势。

a.稳定平衡

当物体梢梢偏离平衡位置时，有一个力或力矩使之回到平衡位置，这样的平衡叫稳定平衡。而且因稳定平衡是使物体

处于势能最小位置时的平衡，所以一旦对它有微小的扰动而使它分开平衡位置，外界就必需对它做功，这样势能就增加。

b.不稳定平衡

当物体稍稍偏热平衡位置时，它所受到的力或力矩使它偏尚接着增大，这样的平衡叫不稳定平。所谓的不稔定平衡也

是指物体处于势能最大时的平衡，使它分开平衡位置，外界不必对它做功，任何微小扰动，总引起重力对它做功，势能减小,

这样它将接着减小势能，再也回不到原来那个势能最大的位置。

c.随遇平衡

当物体稍梢偏离平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变更，它能在新的位置上再次平衡。所谓的随遇平衡是指处于

平衡状态的物体，受到微小扰动后，势能始终保持不变。因此可以在防意位置接着保持平衡。

二、物体平衡种类的判别法

（-）受力分析法

当质点受到外界的扰动略微偏离平衡位置后，假如所受合外力指向平衡位置，则此质点的平衡处稳定的：假如所受的

台外力背离平衡位置，则此质点的平衡是不稳定的；假如所受的合外力为军，则此质点处于随遇平•衡状态。

（二）力矩比拟法

对于有支轴的刚性物体，当它受外界扰动而偏离平衡位置时，假如外力会引起一个回复力矩，此力矩有把物体拉回到

原平衡位置的倾向，则称物体处于稳定平衡状态：假如外力会引起一推斥力矩，它有把物体推离原平衡位置的倾向，则称物

体处于不程定平衡态；假如物体所受合力矩仍为零，则称物体处于随遇平衡态。

（三）重心升降法

对受重力和支持力作用而平衡的物体（包括质点和刚性物件），推断其平衡种类时;常可用重心升降法。即若使物体略

微偏离平衡位置，如是重心上升，则称稳定平衡：若物体略微偏离平衡位置，如其市心降低，则为不稳定平衡：而若物体偏

高平衡位置如其重心高度不变，则为随遇平衡。

（四）支面推断法

具有支面的物体平衡时，物体所受重力的作用线肯定在支面内，假如偏离平衡位置后，重力作用线仍在支面内，物体

就能回到平衡位置，属于稳定平衡：但假如物体倾斜较大时，重力的作用线超出支面，重力的力矩，会使物体接着远离原来

的位置，即原来的平衡被破坏，利用这一点，常能为处理平衡种类的一些问题找到解题的打破口。

三、液体静平衡

（-）静止流体中的压强

液体内部某点处的压强及方向无关，可用公式〃=外〃计算，式中的。是指从该点到液面的竖直间隔,而不是到液

面的间隔。对于连通管来说，但凡在相连通的同种液体的一样高度处其压强必相等，若不是同种液体，或者虽是同种液体,

但中间夹有其他种液体或气体时，上述关系就不肯定能成立。对于盛有多层不同液体的容器内的压强应分层计算，然后桎加

起来。

（二）浮力

液体对物体的浮力表示为/=「总，式中的V为物体浸没于液体局部的体积，夕为液体的密度。液体对浸在其中

的物体的浮力来自于液体的静压强，而液体的静压强则来自于液体的重量，当液体作加速运动时，其视重变更了，液体内的

静乐强以及液体对浸在其中的物体的浮力也随之而变更。

例：木块漂移于水面上，若把它们放于以加速度。上升的升降机中，由于液体、木块超重的倍数一样（液体的超重相

当于液体的密度变为原来的左——倍），因此木块浸入水中的体积将不发生变更。

g

（三）浮体平衡的稳定性

浮在流体外表的浮体.所受浮力及重力大小相等、方向相反,处干平衡状态,浮体平衡的稳定性,将因所受扰动方式

的不同而异。明显，浮体对铅垂方向的扰动，其平衡是稳定的，对于程度方向的扰动，其平衡是随遇的。

浮体对于过质心的程度对称轴的旋转扰动，其平衡的程定性视详细状况而定。以浮于水面的船体为例：当船体向右倾

斜（即船体绕过质心的程度对称轴转动一小角度）时，其浮心B将向右偏离，浮力及重力W构成一对力偶，力偶矩将

促使船体复原到原来的方向，如图所示，可见船体对这种扰动，其平衡是稳定的，但假如船体的重心G太高，船体倾斜所

造成的力偶矩也可能使船体倾斜加剧，这时船体的平衡就是不稳定的，如图所示。

【赛题精析】

例1.如图所示，固定在竖直平面内的椭圆环，其长轴沿竖直方向，有两个完全一样的小圆环套在椭圆环上，不计质

量的轻线将两个小圆环连接在一起，轻线踏过位于椭圆焦点F的程度轴，小圆环及轻线系统处于平衡状态，不计名处的摩擦,

小圆环的大小忽视不计。试分析说明，系统屈于哪一种平衡状态？

例2.如图所示，半径为此的均质圆柱体置于程度位置的半径为叫的圆柱上，母线互相垂直，设两圆柱间静摩擦系

数足够大，不会发生相对滑动，试求稔定平衡时，凡和A2应满意的关系。

例3.儿童玩具“不倒翁”高〃二21m,质量M=300g,相对轴KD对称分布，不倒翁的下部是半径R=6cm的

局部球面，如图所示。假如不倒翁放在及程度面倾斜成角a=30。的粗糙面上，当它的轴KD及竖直方向偏角尸=45",

则处于稳定平衡状态，如图所示。为了使它在程度桌面上失去稳定平衡，就要在头顶K点上固定塑泥，试问最少需加多少塑

泥？

例4.一根匀称细杆悬在水面上不动，如图所示，杆可绕杆上端的程度轴0在竖直平面内转动。杆的长度为/，杆的材

料密度为「（「小于水的密度20）。当缓慢放下轴时，杆浸入水中。试求杆及竖直线的偏角及从轴到水面间隔的关系。

【习题精选】

1.在蜡烛的底部插入一个铁钉后，直立在水中，蜡烛露出水面1cm,已知蜡烛的密度为水的密度的0.9倍，现将蜡烛点

燃，蜡烛燃烧多长后才可熄灭？

2.用轻绳连接的三个动滑轮组成动滑轮组，如图所示。挂在左、右两侧滑轮上的重物的质量均为M,为使系统处于平衡

状态，求挂在中间滑轮上的重物的质量〃?应为多大？两侧滑轮及支架之间的摩擦因数〃应为多少？这种平衡是否稳定？

（图中角a为已知）

3.一根质量为〃？的匀称杆，长为/,下端可绕固定程度轴转动，有两根程度弹簧，劲度系数一样，拴在杆的上端，使其

处于竖直位置.如图所示,问：弹簌的劲度系数为何值,才能使杆处干稔定平衡？

4.如图所示，用匀称材料制成的浮子，具有由两个半径皆为R的球冠围成的外形（像一粒豆子），浮子的厚度h<2R,

质量为机I，沿浮子的对称轴向浮子插入一根细辐条，穿过整个厚度，辐条长/>〃，质量为机”当将浮子辐条向下浸于

水中时，浮子只有少数体枳没于水中，浮子的状态是稳定的吗？

5.如图所示，边长为。的匀称立方体，平衡地放在一个半径为，•的圆柱面顶部，假

设静摩擦因数很大，足以阻挡立方体下滑，试证物体的平衡条件为厂>日。

2

6.如图所示，将一根长度为2/的硬目丝弯成等臂直角形框架，在两臂的端点各固定

一个质量为利的小球，在直角的顶点焊一根长为/•的支杆，支杆平分这一顶角，将杆

支在支座上。试证：当，二变/时平衡为随遇的：当也/时，平衡成为稳定的

22

（不计支杆、铅丝的质量）。

7.如图所示，半径为广的球浮于密度分别为0和夕2的分层液体的界面处，该分界面正好位于球的直径平面上，求球所

受到的浮力有多大？

8.用一根细线竖直悬挂一根长为/的匀称细木杆，置于水桶内水面上方，如图所示，当水桶缓

慢上提时，细木杆渐渐浸入水中，当木杆浸入水中超过肯定深度/'时，木杆开场出现倾斜现象，

求r（已知木杆密度为「，水的密度为00）。

9.有一密度为q,'匕径为，•的半球放在盛有密度为夕？的液体的容器底部，它及容器底部亲

密接触（即半球外表及容器底面间无液体），如图所示，若液体深度为“，问半球体时容器底部的压力是多大？

10.在图中有一根细而匀称的棒长为/,一端悬以重为R的小球（球的体枳可忽视不计）。设棒的‘浮出水面，求棒的重

n

力P。

11.半径为R的圆环绕其铅垂直径轴以角速度。匀速转动，两质量为加的珠了用长为L=R的轻杆相连套在圆环匕可

在圆环上无摩擦地滑动，试求细杆在圆环上的平衡位置，用环心o及杆心c的连线及铅垂轴的夹角。表示，并分析平衡的

稳定性（如图所示）。

12.如图所示，大容器内盛有密度为巧的液体，其内放一个底面积为S的圆筒形小容曙，其底部接进一个长为七的小口管,

两容器固定不动，往小容器内注入密度为夕2的有色液体（夕2>PC，直到液体高度为“时为止。此时小容器的液面及

大容器液面相平。翻开小口管下端开口处，就会发觉有液体从小口管内流入大容器，但过一会儿轻液体乂开场从小口管上升，

然后又重第这一过程，假设两种液体不相混合，又忽视外表张力，试求中液体首次从小容器流出的质量是多少？轻液

体每次流入小容器的质量△加2是多少？以后每次循环从小容器流出的重液体的质量△"〃又是多少？

第五讲质点运动的根本概念

【赛点学问】

力学中讨论的运动，是指物体位置的变动，称为机械运动。这是最简洁、最根本的运动形式，它存在一切运动形式之

中c如何描绘运动使之可以量化处理需要一些根本的运动学概念。

一、参考系

机械运动时物体位置在空间中的变动，但是任何物体的位置及其变动只有相对于现实选定的物体或彼此无相对运动的

物体群才有明确的意义。这种被选作运动根据的物体或物体群成为参考物。及参考物固连的三维空间称为参考空间。另外，

位置变动总是伴随着时间的变动，所谓考察物体的运动，也就是考察物体的位置变动刚好间的关系。参考空同及固连的时钟

的组合称为参考系。•般来说，讨论运动学的问题，只要描绘便利，参考系可以随意选取。但是在考虑动力学问题时，参考

系的选择就受到肯定限制，因为有些重要的动力学规律（如牛顿三定律）只对特定的参考系（惯性系）成立。

参考系选定后，为了定量地标定物体相对于参考系的位置，还必需在参考系上建立适当的坐标系。所谓坐标系就是固

定在参考空间的一组坐标轴和用来确定物体位置的一组坐标。常用的坐标系有直角坐标系、极坐标系、球坐标系和柱坐标系。

物体的运动完全由参考系选择确定，及坐标系的选取无关。坐标系的不同，只是描绘运动的变量不同而已，对应的物体的运

动状态一样。

二、质点

实际物体都有肯定的大小、形态和内部构造。在考察物体运动时，我们仅考察物体的整体运动，或物体本身的大小比

所考察运动的线度小得多，就可以不计物体各同部运动状况的差异把它抽象成一个点，称为质点。

质点是一种志向模型，它突出了物体具有质量和占有位置这两个主耍因素，而忽视了形态、大小及内部构造等次要因

素1:运动学中的质点概念使量化物体位置成为可能，而更困难的物体运动可以看成质点的组合。

三、位移和路程

在直角坐标系中质点的位置可以用从坐标原点o指向质点P位置的有向线段而来表示，0P的长度给出质点到o点

的间隔，。户的方向可用方向余弦cosa,cos〃和cosy确定，由于

故有向线段而是由。，夕，/及丽的长度中随意三个参量确定。有向线段而是一个特别的矢量，称为位置矢量，

简称位矢，用尸表示。当质点运动时，位矢的大小和方向都随时间变更，表示某时刻质点的位置，即

位矢在一段时间A/内的变更量称为位移，用工表示：

如图所示，位移既有大小又有方向，是一个矢量，所以上述运算遵循矢量运算法则。

路程是物体通过的实际轨迹的长度。路程只有大小，没有方向。可以这样认为，一段时间/内的位移工处每瞬间△/内

位移©的矢量和，而路程是这些瞬间位移大小的标量和，即：

要留意的是位移反映的是物体的运动，所以位移总和某段时间相对应，如图所示中元是表示/时间内的运动量的大小

和方向，而A元是表示瞬间的运动量的大小和方向。

四、速度

物体以恒定快慢程度在始终线上运动，称为匀速宜线运动。匀速直线运动是最简__

洁的一种运动。在匀速直线运动中，随意时间内的位移和所用时间的比值都为常量，,

可以用来描绘运动的快慢叫做匀速直线运动的速度。瓶/

非匀速直线运动或曲线运动质点在随意，至打+△£的比值不再为常量，仍用某段（

时间间隔内的位移和该段时间间隔的比值来描绘该段运动的大致快慢程度，称为该时

间间隔中质点的平均速度，用/表示。5

方向沿位移方向，这事实上是用一段匀速运动对原运动的等效替代。

当考察的时间间隔足够小时，此时间内各质点运动的快慢和方向可能存在的差异也必定特匕2“

别小，以致可以忽视不计，于是当4—0时，上述平均速度的极限就可以准确描写，时刻质点运动的快慢和方向，此极

限称为/时刻的瞬时速度，简称速度，用D表示：

五、加速度

一般状况下质点的速度往往随时向变更，及速度的定义类似我们可以先找寻最简洁的变速运动一一匀变速直线运动。

由于速度随时间线性变更则平均速度为：

则其运动位移、时间、速度及加速度有如下关系：

留意卜述运算遵循矢量运算法则,由于是始终续卜的矢量,故可设定正方向后以标量的代数和形式运算.

同样也可以得出平均加速度和瞬时加速度，分别为：

如图所示。

六、运动图像

图像是描绘各种运动的另一种重要形式，匀变速直线运动的图像如图所示，图像

中的斜率和面积也有重要含义，合理运用可以很直观地反映运动。对于平面曲线运动

及空间曲线运动则需要对运动在坐标系中分解，各方向分运动分别描绘。

【赛题精析】

例1.如图所示为从两列蒸汽机车上冒出的两股长幅汽雾拖尾的照片•（俯视）。两列车沿立轨道分别以速度％=50km/h

和々=70km/h行驶，行驶方向如图所示。求风速。

例2.一总质量为M的卡车拖着一质量为m的车厢在程度路面上匀速J7

行驶，已知所受阻力和车重成正比。某时刻，后面所挂车厢脱落，司机维持~二

原有牵引力不变接着行驶了L间隔后发觉车厢脱落，于是关闭发动机，问

当卡车停下时候及车厢相距多少间隔？

例3.蚂蚁分开巢沿直线爬行，它的速度及到蚁巢中心间隔成反比。当蚂蚁爬到离巢中心乙=1m的A点处时速度是

V,=2cm/s0试问蚂蚁从A点爬到间隔巢中心乙2=2m的B点需要多少时间？

R

例4.一些很小的球从竖宜对称轴旁边，高度H=一处,无初速度状况自由落下。遇到半径为R的凹形球面上，小

球及球面的碰撞是完全弹性的，试证明在第一次碰撞后，每个小球都落在球面的最低点（小球间不发生碰撞工

例5.两位小挚友乙和丙，他们准备玩一会旋转木马。乙在半径为厂的旋转木立刻，丙在半径为R的旋转木立刻。开

场时两位小挚友的位.置如图所示，考虑到两个木马互相接触并以一样的角速度①向同一方向旋转。试问：从乙视察丙的运

动有什么特点？--------

【习题精选】

1.•架飞机在高度为10km卜空飞行.机卜乘客看见太阳升起.试估计在飞机F下方地面卜的视察者还要经过多少时间可

以看见太阳。

2.身高h的人以V的速度在程度面上从路灯的正下方匀速走过，在某一时刻，人的影长为人，经过时间/，人的影长为L2,

求路灯距地面的高度。

3.如图所示为两个光滑的斜面，两斜面高度一样，且AB+BC=AC,今让小球分别从斜面（a）中的A点和斜面（b）中的A

点无初速释放，若不计小球在B点损失的能量，试问哪种状况卜，小球滑至斜面底端历时较短？

4.将光滑细管弯成圆角的长方形，如图所示固定在竖直平面，B角比C角低，从A角同时放进两个小球，一个沿AB,一个

沿AC滑到D角，问哪个球先到达D角？

5.如图所示，一辆小车在轨道MN上行驶的速度匕可以到达50km/h,在轨道外的平地

上行咬的速度乙可到达40km/h,及轨道的垂直间隔为30km/h的B处有一基地,

所示，问小车从基地B动身到离D点100km的A处的过程中最短时间需要多少？

6.快艇系在湖面很大的湖的岸边（湖岸线可认为是直线），突然系艇的绳松脱，风吹着快艇以恒定的速度匕=2.5km/h

沿及湖岸成〃二15。的角漂去。人可沿湖岸以速度匕=4km/h行走或在水中以岭=2km/h游泳，则能否追上快艇？当快

艇速度最大为多大时人可以追上？

7.两个物体沿直线相向运动，初速度分别是V,和也，而加速度为CI,和4,,加速度方向分别及相应的初速度方向相反,

14I

要使两物体在运动过程中迎面相遇，试求它们间的最大起始间隔（ax。

8.如图所示，•质点自倾角为a的斜面上方。点，沿一光滑斜槽0A下降，如欲使此质点到达斜面所需的时间最短，问斜

槽0A及竖直线所成之角度。应为何值？

9.如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆环，同一平面内有一点A,由点A到圆环上

任一点M连接光滑直线。在重力作用下，一金属小环〃7从A点由静止动身滑到M。问M点位

于何处时，〃2滑动所用的时间最短？

10.如图所示，A0B是一个内外表光滑的楔形槽，固定在程度桌面（图中纸面）上，夹角。=1。（为了能看清晰，图中a

夸张了）.一个质点从C处以速度y=5m/s射出.其方向及A0间的夹角。=60°,且OC=10m.设质点及桌面间的摩擦

可以忽视不计。质点及0B面及0A面的碰撞都是弹性碰撞，且每次碰撞时间极短，可以忽视不计。试求：

（1）经过几次碰撞后质点乂回到C处及0A相碰（计算次数时，包括在C处的碰撞）？

（2）全过程经验多少时间？

（3）在此过程中，质点到0点的最短间隔是多少？

11.设从空间一点M以同样的速度沿着同一竖直面内各个不同方向，同时8

抛出几个物体。试证明，在任一时刻，这些抛出物体总是处在某一个圆周

上

12.试求在日全食期间月球的影子沿地球外表运行的速度。不考虑地球沿''\》叩4

轨道运行方向的修正值。为了简洁起见可以认为；视察日食是在赤道上响

午时进展的，地轴垂直月球轨道平而。地球绕地轴运行的方向及月球沿轨

道绕地球运动方向一样，如图所示。地球及月球之间间隔为，•=3.8xl（）5km、地球半径R地=6.4x103疝。月球上一

个月为地球上28天。计算时留意地球到太阳的间隔比地球到月球的间隔远得多。

13.有一质点由A向B作直线运动，A,B间的间隔为L,已知质点在A点的速度为%,加速度为4。假如将L分成相等

La

的拉段，质点每通过一的间隔，加速度匀称增加一，求质点到达B时的速度。

nn

14.湖湾成顶角为。的楔形，岸上住有一个渔人：他的房子在A点，如图所示，从A点到他离湖最近的C点之间隔为力，

而到湖湾的一头，即到D点之间隔为/，湖对•岸B点处有渔人好友的房子，点B位置及A点相对湖湾对称。渔人拥有一只

V

小船，他可以以速度口沿岸步行或以速度一乘船载湖中划行，他从自己家里动身到好友家里去，求他需要的最短时间入

2

15.如图所示，在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道ABC,光滑小球从

顶点A