华中师大《高等几何》练习题库及答案

《高等几何》练习题库及答案

一、填空题

1.欧几里得的《几何原本》一书共有一卷，其中有一条公理，一条公设。

2.用公理法建立的儿何学演绎体系是由原始概念的列举、、、等

四个方面组成的。

3.绝对儿何学的公理体系是由四组，,条公理构成的。

4.罗巴切夫斯基函数S=4(外当平行矩X时，其对应的平行角0连续递减。

5.罗氏平面上直线的相互位置有三种可能，即、、。

6.斜率为k的直线上的无穷远点的齐次坐标是。

7.两个射影点列成透视对应的充要条件是。

8.欧氏平面.上添加了后，成为仿射平面。

9.共线4点A,£C,O,若满足，则称点对与点对C,。互成调和共规。

10.平面内两点J(1-z,0)称为平面内的。

11.希尔伯特提出几何公理系统的三个基本问题是、、。

12.罗巴切夫斯基函数0二%。)当平行矩x连续递增时，其对应的平行角8o

13.球面三角形的三角和常小于而大于。球面三角形中两角和减去第三角常小

于o

14.射影变换7是对合的充要条件是o

15.射影变换的基本不变量是o

16.共线4点A,B,C,。，若满足(AB,CD)=-1,则称点对A,B与点对C,D互成。

17.平面内两点、称为平面内的圆点。

18.儿何学公理法从开始到形成，大体经历了阶段。

19.《几何原本》被认为是用建立的几何学。

20.欧儿里得第五公设叙述为：______________________________________________

21.希尔伯特于1899年发表了著名的著作《》,这部书被看作是几何基础研究的

经典著作。

22.《几何原本》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是o

23.罗巴切夫斯基平面几何的平行公理叙述为

24.罗氏平面上三角形内角和二直角。

25.球面三角形的内角和大于，小于o

26.布里安香定理叙述为。

27.欧氏直线.上添加了后，成为仿射直线。

28.射影平面上一点的射影坐标与另一种射影坐标的变换是.，

29.通过圆点的任意虚直线称为o

30.《几何原本》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是.

31.两共挽虚直线的交点为,两共匏虚点的连线为,

32.叫做对偶运算。

33.在欧氏平面上萨开里四边形是矩形，而在罗氏平面上，萨开里四边形.

34.笛沙格定理叙述为_____________________________________________________________

35.对偶原理叙述为_______________________________________________________________

36.不共底又非透视对应的二射影点列恒可表示成一个透视对应的积。

37.二阶曲线上的完全四点形的对角三点形是.

38.巴斯加定理叙述为_____________________________________________________________

39.《》被认为是用古典公理法建立的几何学,这木书的作者是欧几里得。

40.是球面上两点间的最短距离。

41.是仿射不变量，是射影不变量

42.直线3x+y=0上的无穷远点坐标为

43.过点(1上0)的实直线方程为

44.二重元素参数为2与3的对合方程为

45.仿射变换［:1的不变点为_____________________

y=4x+2y+4

46.两点决定一条直线的对偶命题为_________________________________

47.直线上的实点为

48.若交比(AB,CD)=2则(AQ,BC)=

二、计算题

1.求直线(2,i,3—4i)上的实点。

2.求4点(AB,CD)的交比，其中42,B(l,-1,1),C(l,0,0),

3.求射影对应式，使直线L上的坐标是1,2,3的三点对应直线77上的坐标为-

的三点。

4.求由两对对应元素2与2,144所决定的对合方程。

5.求点尸(1,2,1)关于二阶曲线2X「+4X|X2+6X1XJ+X；=0的极线方程。

6.求过点（1,九0）卜的实宜线.

7.设直线L]:2x-y+1=0,L2:3x+y-2=0,L3:7x-y=0,L4:5x-1=0»

求交比

8.求重叠一维基本形的射影变换％V-62+T+6=0自对应元素的参数。

9.求由两对对应元素1与工，0与2所决定的对合方程。

2

10.求直线3匹-X.+6占=0大于二阶曲线X」+X*—2X1Xi+2X.X,-6X.X,=0

的极点。

11.求通过两直线(1,1，I)、(2,1,3)的交点与点2%+3〃2+〃3=。的直线的坐标。

12.求点P(5,2,7)关于二阶曲线2X「+3X；+X；-6X|X2-2X1X3-4X|X3=0的极

线方程。

13.求直线3X+y=O上的无穷远点的坐标。

14.求4直线(〃2，乩)的交比，其中4,44/分别为

x-y=0,2x+y=0,x+y=0,3x-y=0.

15.求射影对应式，使直线L上的坐标是0,1,-3的三点对应直线77上的坐标为0,2,-6的三

点。

16.求点(6,4)关于二阶曲线2x2+6y2+6x-2y=0的极线方程。

17.求直线占十々-4七=()上无穷远点的齐次坐标。

18.设点3(1,-1,1),C(l,0,1),(AB,CD)=2,求点。的坐标。

19.求点尸(1,一1,0)关于二阶曲线3X；+5X；+X2+7X1X2+4XIX3+5X2X3=0的极

线方程。

20.求连接(1+i,2-“)与(1-/,2+〃)的直线方程。

21.求射影对应式，使直线L上的坐标是0,2,-1的三点对应直线L'上的坐标为1,-3.0的

三点。

22.求由两对对应元素2与-1,-2与8所决定的对合方程。

23.求点尸(2,1,1)关于二阶曲线4X「+3X,X2—X；=0的极线方程。

24.求一仿射变换，它使直线x+2y—l=0上的每个点都不变，且使点(1,-1)

变为(-1,2)

25.经过4-3,2)和8(6,1)的直线与直线工+3)，-6=0相交于尸，求(ABP)

三、证明题

1.设凡4尸'与0、B、。'分别在不同的两直线匕且点MXBQ、/1QX8P'、4Q'XBP共线,

则PQ'与尸'。的交点在月8上。

2.作已知点P关于二阶曲线C的极线。

3.作已知宜线p关于二阶曲线c的极点。

4.作出卜图的对偶图形。

作出下图的对偶图形。

6.作图证明：给定直线p上四个不同点4,8.C,。，建立一个射影对应使得

p(A,5cMp(C,O,4,5)

7.已知P点在二阶曲线上，求作点P的极线。

8.给定二阶曲线上5点，求作曲线上另外一些点。

《高等几何》练习题库参考答案

一填空题

1.13,5,5

2.定义叙述，公理列举，定理的叙述和证明

3.4,16

4.连续递增

5.相交，平行，超平行

6.(1J,O)

7.点列的底的交点是自对应点

8.无穷远直线

9.(AB,CQ)=-1

10.圆点

11.公理系统的无矛盾性、公理系统的独“性、公理系统的完备性

12.连续递减

13.6d2dId

14.任何一对对应元素与两个自对应元素调和共扼

15.交比

16.调和共腕

17.("0),(1,T,0)

18.3

19.古典公理法

20.如果两条直线与第三条直线相交，所构成的同侧内角的和小于两个直角，则这两条直线

在这一侧相交

21.儿何基础

22.欧儿里得

23.通过直线外的每一点，至少存在两条直线与已知直线不相交.

24.小于

25.一直角：六直角

26.外切「一条非退化的二阶曲线的简单六线形的三对对顶点的连线共点。

27.无穷远点

28.非奇异线性变换

29.迷向直线

30.欧几里得

31.实点；实直线

32.“过一点作一直线”和“在直线上取一点”

33.上底角小于直角

34.两个三点形对应顶点的连线交于一点，那么对应边的交点在同一直线上.

35.在射影平面里，如果一个命题成立，则它的对偶命题也成立.

36.2

37.自极三点形

38.内接于一条非退化的二阶曲线的简单六点形的三对对边的交点共线.

39.几何原本

40.小于180度的大圆弧

41.单比，交比

42.(1,-3,0)

43.x3=0

44.2/U-5(4+，)+12=0

45.(一：,-2)

2

46.两条直线确定•个交点

47.(2,-1,2)

48.-

2

二计算题

1•实点为(3,—8,—2)

2.二

3

3.x--x

4.4—4=0

5.9X,+2X,+4X3=0

6.实直线为占二()

7.1

2

8.2,3

9.22，+/1+/1，-2=0

10.(-3,1,1)

II.(1-2,4)

12.X-,=0

13.(1-3,0)

14.-5

15.2/t-Z=0

16.15X1+11X2+14X3=O

17.(1-1,0)

18.0(3,1,3)

19.X,+3X-,+X3=0

20.X)+X2-3X3=0

21.+4—4+1=0

22./lZ+22+2A/=()

23.19X,+4X2=0

24.解：在直线x+2)，-1=0上任取两点A(l,0),8(—1,1)

由A。，。)tA(l,0),B(-l,l)T8(-1,1),(1,-1)T(-1,2)

设仿射变换为I"f2丁+q3将点的坐标代入可解得

y=a2lx^a22y+a23

x=2x+2y-l

.,3—3

y=--x-2y+-

25.W：过4,8的直线方程为：1+9)，-15=0

33

直线与工+3)，-6二0的交点为Pl],])

所以(ABP)=-1

三证明题

1.设。=APx8Q,M=AQxBP',N=AQ'x8P,考虑三点、形P'MQ,PNQ',因

PP',MN,QQ'共点,故对应边的交点共线，即々'与尸'。的交点在4/上。

2.设〃J+3〃]〃2一〃；=(〃]一助2)(〃1一〃〃2)，可得两个点的方程为

〃1-All2=0,%一仅2=0

用坐标表示为(1,一40),这两个点在直线簇y=-/h：+。，y=-p.x+b±.

又％〃为/+3x—l=0的根，根据韦达定理，初二一1,故〃:+3%〃2一心=。决定的

点(1,-/1,0),(1,一〃,0)在相互垂直的两条直线上。

3.考虑以儿",。,4',优。'为顶的简单六线形。三对对顶连线是8夕,。。',41',由题设它

们共点。由布里安香定理的逆定理知结论成立。

4.取不在p上的点P,通过8的不同于〃的直线q与PAPCPO分别交于

记PD为r,A'C与r交于则有

££良

p(A,B,C,D&q(A\B\C\Q')Ar(D*,D,P,Df)Xp(C,D,4,B)

所以p(A,B,C、D)Ap(C,Q,A,B).

5.直接计算即可。

6.只须证C,O,尸。xUV三点共线。为此考虑六点形APQ8VU,因为

APxBV=C,尸QxVU=乂,。8乂匕4=。三点共线，由巴斯加定理得证。

7.考虑三点形AU,UCG,因对应边也与CG,LA^GU,A尸与UC分别交于共线

三点，所以根据笛沙格定理的逆定理知LG,C£AU共点.

8.考虑三点形ABC与0E产，由笛沙格定理即得结论.

9.令03与AC交于丫，则

(A,y,C,5')=C,0,A',5')

A

因。(AB,CX)=(AY,C8'),(A'3',C'0)=(C'0,A'B'),所以命题得证.

10.考虑三点形3'C'A,BCA',令3c与夕C的交点为丁，根据笛沙格定理可以证明

CA与CA'的交点M,84与8'A的交点N,点T三点共线，因此8c,8'C',MN三直线

共点T.

11.取不在〃上的点尸，通过8的不同于p的直线q与尸分别交于A',C',D'°

记PD为r,A'C与r交于0”,则有

££《

p(A,B,C,D)Xq(A\B',C',D')7r(D",D,P,O')Xp(C,。,A,B)

所以p(4,£C、D)Ap(C,Q,4,B).

12-1

12.证明：因为一112=0所以三点共线

30-5

由：z-5=3,2z+5=0,-r+25=-5解得/=1,5=-2

所以£=4一2配(』,2,3)

13.解：方程转化为齐次坐标形式：

2x}-x2+x3=0,3x,+x2-2X3=0,7x]-x2=0,5^-x3=0

2-1131-2

31-2=0且7-10=0所以四直线共点。

7-1050-1

因为：4=2。+右，4=。+4所以：44)