新疆乌鲁木齐地区2025届高三3月质检数学试题试卷含解析

新疆乌鲁木齐地区2025届高三3月质检数学试题试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数满足：当时，，且对任意，都有，则（）A．0 B．1 C．-1 D．2．设,则(

)A．10 B．11 C．12 D．133．“”是“，”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．函数的大致图象为（）A． B．C． D．5．的展开式中含的项的系数为（）A． B．60 C．70 D．806．已知是函数图象上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（）A． B． C．0 D．7．函数（其中是自然对数的底数）的大致图像为（）A． B． C． D．8．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角所对的边分别为，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为（）A． B． C． D．9．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式有解，则的取值范围是（）A． B．C． D．10．函数，，的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A． B．C． D．11．函数在上的图象大致为（）A． B． C． D．12．若，则()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列满足,且,则______.14．在的展开式中，的系数为______用数字作答15．已知函数，若关于的方程恰有四个不同的解，则实数的取值范围是______.16．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数是_____，_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为.（1）求的直角坐标方程和的直角坐标；（2）设与交于，两点，线段的中点为，求.18．（12分）已知椭圆的左右焦点分别是，点在椭圆上，满足（1）求椭圆的标准方程；（2）直线过点，且与椭圆只有一个公共点，直线与的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点的两点，与直线交于点（介于两点之间），是否存在直线，使得直线，，的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出的方程，若不能，请说理由.19．（12分）设实数满足.（1）若，求的取值范围；（2）若，，求证：.20．（12分）已知直线与椭圆恰有一个公共点，与圆相交于两点.（I）求与的关系式；（II）点与点关于坐标原点对称.若当时，的面积取到最大值，求椭圆的离心率.21．（12分）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上.（Ⅰ）求的极坐标方程和曲线的参数方程；（Ⅱ）求曲线的内接矩形的周长的最大值.22．（10分）第十三届全国人大常委会第十一次会议审议的《固体废物污染环境防治法（修订草案）》中，提出推行生活垃圾分类制度，这是生活垃圾分类首次被纳入国家立法中．为了解某城市居民的垃圾分类意识与政府相关法规宣传普及的关系，对某试点社区抽取户居民进行调查，得到如下的列联表．分类意识强分类意识弱合计试点后试点前合计已知在抽取的户居民中随机抽取户，抽到分类意识强的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为居民分类意识的强弱与政府宣传普及工作有关？说明你的理由；（2）已知在试点前分类意识强的户居民中，有户自觉垃圾分类在年以上，现在从试点前分类意识强的户居民中，随机选出户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在年以上的户数为，求分布列及数学期望．参考公式：，其中．下面的临界值表仅供参考

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【解析】

由题意可知，代入函数表达式即可得解.【详解】由可知函数是周期为4的函数，.故选：C.本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题.2．B【解析】

根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值，代入即可求出其值．【详解】∵f（x），∴f（5）＝f[f（1）]＝f（9）＝f[f（15）]＝f（13）＝1．故选：B．本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题．3．B【解析】

先求出满足的值，然后根据充分必要条件的定义判断．【详解】由得，即，，因此“”是“，”的必要不充分条件．故选：B．本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断．4．A【解析】

利用特殊点的坐标代入，排除掉C，D；再由判断A选项正确.【详解】，排除掉C，D；，，，.故选：A．本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题.5．B【解析】

展开式中含的项是由的展开式中含和的项分别与前面的常数项和项相乘得到，由二项式的通项，可得解【详解】由题意，展开式中含的项是由的展开式中含和的项分别与前面的常数项和项相乘得到，所以的展开式中含的项的系数为．故选：B本题考查了二项式系数的求解，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.6．C【解析】

先画出函数图像和圆，可知，若设，则，所以，而要求的最小值，只要取得最大值，若设圆的圆心为，则，所以只要取得最小值，若设，则，然后构造函数，利用导数求其最小值即可.【详解】记圆的圆心为，设，则，设，记，则，令，因为在上单调递增，且，所以当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以（当时等号成立）.故选：C此题考查的是两个向量的数量积的最小值，利用了导数求解，考查了转化思想和运算能力，属于难题.7．D【解析】由题意得，函数点定义域为且，所以定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故选D.8．A【解析】

根据，利用正弦定理边化为角得，整理为，根据，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.【详解】由得，即，即，因为，所以，由余弦定理，所以，由的面积公式得故选：A本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9．C【解析】

先求导得（），由于函数有两个不同的极值点，，转化为方程有两个不相等的正实数根，根据，，，求出的取值范围，而有解，通过分裂参数法和构造新函数，通过利用导数研究单调性、最值，即可得出的取值范围.【详解】由题可得：（），因为函数有两个不同的极值点，，所以方程有两个不相等的正实数根，于是有解得.若不等式有解，所以因为.设，，故在上单调递增，故，所以，所以的取值范围是.故选：C.本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.10．A【解析】

根据图像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊点求出，化简即得所求.【详解】由图像知，，，解得，因为函数过点，所以，，即，解得，因为，所以，.故选：A本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题.11．C【解析】

根据函数的奇偶性及函数在时的符号，即可求解.【详解】由可知函数为奇函数.所以函数图象关于原点对称，排除选项A，B；当时，，，排除选项D，故选：C.本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题.12．D【解析】

直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果．【详解】∵，∴，故选D本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

数列满足知，数列以3为公比的等比数列，再由已知结合等比数列的性质求得的值即可.【详解】，数列是以3为公比的等比数列，又，，．故答案为：．本题考查了等比数列定义，考查了对数的运算性质，考查了等比数列的通项公式，是中档题．14．1【解析】

利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令，求出展开式中的系数．【详解】二项展开式的通项为令得的系数为故答案为1．利用二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．15．【解析】

设，判断为偶函数，考虑x>0时，的解析式和零点个数,利用导数分析函数的单调性,作函数大致图象，即可得到的范围.【详解】设，则在是偶函数，当时，，由得，记，，，故函数在增，而，所以在减，在增，，当时，，当时，，因此的图象为因此实数的取值范围是.本题主要考查了函数的零点的个数问题，涉及构造函数，函数的奇偶性，利用导数研究函数单调性，考查了数形结合思想方法，以及化简运算能力和推理能力，属于难题.16．【解析】

直接利用复数的乘法运算化简，从而得到复数的共轭复数和的模．【详解】，则复数的共轭复数为，且.故答案为：；.本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1），（2）【解析】

（1）利用互化公式把曲线C化成直角坐标方程，把点P的极坐标化成直角坐标；（2）把直线l的参数方程的标准形式代入曲线C的直角坐标方程，根据韦达定理以及参数t的几何意义可得．【详解】（1）由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ＝2，将ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入上式并整理得曲线C的直角坐标方程为y2＝1，设点P的直角坐标为（x，y），因为P的极坐标为（，），所以x＝ρcosθcos1，y＝ρsinθsin1，所以点P的直角坐标为（1，1）．（2）将代入y2＝1，并整理得41t2+110t+25＝0，因为△＝1102﹣4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根为t1，t2，则t1，t2为A，B对应的参数，且t1+t2，依题意，点M对应的参数为，所以|PM|＝||．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．18．（1）；（2）不能，理由见解析【解析】

（1）设，则，由此即可求出椭圆方程；（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程可求得，则直线斜率为，设其方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得关于对称，可求得，假设存在直线满足题意，设，可得，由此可得答案．【详解】解：（1）设，则，，所以椭圆方程为；（2）设直线的方程为，与联立得，∴，因为两直线的倾斜角互补，所以直线斜率为，设直线的方程为，联立整理得，，所以关于对称，由正弦定理得，因为,所以，由上得，假设存在直线满足题意，设，按某种排列成等比数列，设公比为，则，所以，则此时直线与平行或重合，与题意不符，所以不存在满足题意的直线．本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力与推理能力，属于难题．19．（1）（2）证明见解析【解析】

（1）依题意可得，考虑到，则有再分类讨论可得；（2）要证明，即证，即证.利用基本不等式即可得证；【详解】解：（1）由及，得，考虑到，则有，它可化为或即或前者无解，后者的解集为，综上，的取值范围是.（2）要证明，即证，由，得，即证.因为（当且仅当，时取等号）.所以成立，故成立.本题考查分类讨论法解绝对值不等式，基本不等式的应用，属于中档题.20．（Ⅰ）（II）【解析】

（I）联立直线与椭圆的方程，根据判别式等于0，即可求出结果；（Ⅱ）因点与点关于坐标原点对称，可得的面积是的面积的两倍，再由当时，的面积取到最大值，可得，进而可得原点到直线的距离，再由点到直线的距离公式，以及（I）的结果，即可求解.【详解】（I）由，得，则化简整理，得；（Ⅱ）因点与点关于坐标原点对称，故的面积是的面积的两倍.所以当时，的面积取到最大值，此时，从而原点到直线的距离，又，故.再由（I），得，则.又，故，即，从而，即.本题主要考查直线与椭圆的位置关系，以及椭圆的简单性质，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、判别式等求解，属于中档试题.21．（Ⅰ）曲线的参数方程为：(为参数)；的极坐标方程为；（Ⅱ）16.【解析】

(

I

)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(

II

)利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用，即可求出结果.【详解】(Ⅰ)由题意：曲线的直角坐标方程为：，所以曲线的参数方程为(为参数)，因为直线的直角坐标方程为：，又因曲线的左焦点为，将其代入中，得到，所以的极坐标方程为.（Ⅱ）设椭圆的内接矩形的顶点为，，，，所以椭圆的内接矩形的周长为：，所以当时，即时，椭圆的内接矩形的周长取得最大值16.本题考查了曲线的参数方程，极坐标方程与普通方程间的互化，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，极径的应用，考查学生的求解运算能力和转化能力，属于基础题型.22．（1）有的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系．见解析（2）分布列见解析，期望为1．【解析】

（1）由在抽取的户居民中随机抽取户，