2025版高考数学一轮复习课时作业42空间几何体的表面积与体积理含解析新人教版

PAGEPAGE1课时作业42空间几何体的表面积与体积一、选择题1．(2024·合肥一检)一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为(A)A．72＋6πB．72＋4πC．48＋6πD．48＋4π解析：由三视图知，该几何体由一个正方体的eq\f(3,4)部分与一个圆柱的eq\f(1,4)部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π.2．如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积为(A)A．34＋6eq\r(5) B．6＋6eq\r(5)＋4eq\r(3)C．6＋6eq\r(5)＋4eq\r(13) D．17＋6eq\r(5)解析：由三视图得该几何体的直观图如图，其中，底面ABCD为矩形，AD＝6，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等腰三角形，且此四棱锥的高为4，故该几何体的表面积等于6×2＋2×eq\f(1,2)×2×5＋eq\f(1,2)×6×2eq\r(5)＋eq\f(1,2)×6×4＝34＋6eq\r(5).3．(2024·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(B)A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π解析：因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2eq\r(2)，底面圆的直径为2eq\r(2)，所以该圆柱的表面积为2×π×(eq\r(2))2＋2eq\r(2)π×2eq\r(2)＝12π.4．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为(C)A.eq\f(3,4)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,8)解析：由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为eq\f(1,2)×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为eq\f(1,2).5．(2024·石家庄质量检测)如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线表示的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的四个面中，最小面的面积是(C)A．2eq\r(3) B．2eq\r(2)C．2 D.eq\r(3)解析：在正方体中还原该几何体，如图中三棱锥D­ABC所示，其中正方体的棱长为2，则S△ABC＝2，S△DBC＝2eq\r(2)，S△ADB＝2eq\r(2)，S△ADC＝2eq\r(3)，故该三棱锥的四个面中，最小面的面积是2，故选C.6．(2024·西安八校联考)已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S­ABC的体积最大为(A)A．2 B.eq\f(8,3)C.eq\r(3) D．2eq\r(3)解析：如图，因为球的直径为SC，且SC＝4，∠ASC＝∠BSC＝30°，所以∠SAC＝∠SBC＝90°，AC＝BC＝2，SA＝SB＝2eq\r(3)，所以S△SBC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，则当点A到平面SBC的距离最大时，棱锥A­SBC即S­ABC的体积最大，此时平面SAC⊥平面SBC，点A到平面SBC的距离为2eq\r(3)sin30°＝eq\r(3)，所以棱锥S­ABC的体积最大为eq\f(1,3)×2eq\r(3)×eq\r(3)＝2，故选A.7．(2024·南昌摸底调研)已知三棱锥P­ABC的全部顶点都在球O的球面上，△ABC满意AB＝2eq\r(2)，∠ACB＝90°，PA为球O的直径且PA＝4，则点P究竟面ABC的距离为(B)A.eq\r(2)B．2eq\r(2)C.eq\r(3)D．2eq\r(3)解析：取AB的中点O1，连接OO1，如图，在△ABC中，AB＝2eq\r(2)，∠ACB＝90°，所以△ABC所在小圆O1是以AB为直径的圆，所以O1A＝eq\r(2)，且OO1⊥AO1，又球O的直径PA＝4，所以OA＝2，所以OO1＝eq\r(OA2－O1A2)＝eq\r(2)，且OO1⊥底面ABC，所以点P到平面ABC的距离为2OO1＝2eq\r(2).二、填空题8．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为20＋8eq\r(2).解析：由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．则该几何体的表面积为S＝2×eq\f(1,2)×2×2＋4×2×2＋2eq\r(2)×4＝20＋8eq\r(2).9.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是eq\f(\r(3),3).解析：由正视图知三棱锥的形态如图所示，且AB＝AD＝BC＝CD＝2，BD＝2eq\r(3)，设O为BD的中点，连接OA，OC，则OA⊥BD，OC⊥BD，结合正视图可知AO⊥平面BCD.又OC＝eq\r(CD2－OD2)＝1，∴V三棱锥A­BCD＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2\r(3)×1))×1＝eq\f(\r(3),3).10.(2024·天津卷)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M­EFGH的体积为eq\f(1,12).解析：连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因为E，H分别为AD1，CD1的中点，所以EH∥AC，EH＝eq\f(1,2)AC，因为F，G分别为B1A，B1C的中点，所以FG∥AC，FG＝eq\f(1,2)AC，所以EH∥FG，EH＝FG，所以四边形EHGF为平行四边形，又EG＝HF，EH＝HG，所以四边形EHGF为正方形，又点M到平面EHGF的距离为eq\f(1,2)，所以四棱锥M­EFGH的体积为eq\f(1,3)×(eq\f(\r(2),2))2×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12).三、解答题11．(2024·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝eq\f(2,3)DA，求三棱锥Q­ABP的体积．解：(1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC.又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3eq\r(2).又BP＝DQ＝eq\f(2,3)DA，所以BP＝2eq\r(2).作QE⊥AC，垂足为E，则QE綊eq\f(1,3)DC.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.因此，三棱锥Q­ABP的体积为VQ­ABP＝eq\f(1,3)×QE×S△ABP＝eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)×3×2eq\r(2)sin45°＝1.12．(2024·南宁、柳州联考)如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°.(1)求证：BC1⊥平面ABC；(2)E是棱CC1上的一点，若三棱锥E­ABC的体积为eq\f(\r(3),12)，求线段CE的长．解：(1)证明：∵AB⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，∴AB⊥BC1，在△CBC1中，BC＝1，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝60°，由余弦定理得BCeq\o\al(2,1)＝BC2＋CCeq\o\al(2,1)－2BC·CC1·cos∠BCC1＝12＋22－2×1×2cos60°＝3，∴BC1＝eq\r(3)，∴BC2＋BCeq\o\al(2,1)＝CCeq\o\al(2,1)，∴BC⊥BC1，又AB，BC⊂平面ABC，BC∩AB＝B，∴BC1⊥平面ABC.(2)∵AB⊥平面BB1C1C，∴VE­ABC＝VA­EBC＝eq\f(1,3)S△BCE·AB＝eq\f(1,3)S△BCE·1＝eq\f(\r(3),12)，∴S△BCE＝eq\f(\r(3),4)＝eq\f(1,2)CE·(BC·sineq\f(π,3))＝eq\f(1,2)CE·eq\f(\r(3),2)，∴CE＝1.13．(2024·河北五名校联考)如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为(D)A．27πB．30πC．32πD．34π解析：依据三视图可知，此多面体为三棱锥A­BCD，且侧面ABC⊥底面BCD，△ABC与△BCD都为等腰三角形，如图所示．依据题意可知，三棱锥A­BCD的外接球的球心O位于过△BCD的外心O′，且垂直于底面BCD的垂线上，取BC的中点M′，连接AM′，DM′，OO′，O′B，易知O′在DM′上，过O作OM⊥AM′于点M，连接OA，OB，依据三视图可知M′D＝4，BD＝CD＝2eq\r(5)，故sin∠BCD＝eq\f(2\r(5),5)，设△BCD的外接圆半径为r，依据正弦定理可知，2r＝eq\f(BD,sin∠BCD)＝5，故BO′＝r＝eq\f(5,2)，M′O′＝eq\f(3,2)，设OO′＝x，该多面体的外接球半径为R，在Rt△BOO′中，R2＝(eq\f(5,2))2＋x2，在Rt△AMO中，R2＝(eq\f(3,2))2＋(4－x)2，所以R＝eq\f(\r(34),2)，故该多面体的外接球的表面积S＝4πR2＝34π.故选D.14．(2024·石家庄质量检测)三棱锥S­ABC的各顶点都在同一球面上，若AB＝3，AC＝5，BC＝7，侧面SAB为正三角形，且与底面ABC垂直，则此球的表面积等于eq\f(205π,3).解析：设△ABC外接圆的圆心为O1，△SAB外接圆的圆心为O2，过O1，O2分别作平面ABC，平面SAB的垂线交于点O，则O为球心．在△ABC中，cos∠BAC＝eq\f(52＋32－72,2×3×5)＝－eq\f(1,2)，∴∠BAC＝120°，设圆O1的半径为r1，依据正弦定理，得2r1＝eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(14\r(3),3)，∴r1＝eq\f(7\r(3),3).△SAB外接圆的圆心O2为正三角形SAB的中心，连接SO2交AB于点D，则O2D＝eq\f(1,3)SD＝eq\f(\r(3),2)，且O2D＝OO1＝eq\f(\r(3),2).设外接球的半径为R，连接O1A，则R2＝O1A2＋OOeq\o\al(2,1)＝eq\f(49,3)＋eq\f(3,4)＝eq\f(205,12)，∴此球的表面积S＝4πR2＝eq\f(205π,3).eq\a\vs4\al(尖子生小题库——供重点班学生运用，一般班学生慎用)15．如图，在四棱锥E­ABCD中，△EAD为等边三角形，底面ABCD为等腰梯形，满意AB∥CD，AD＝DC＝eq\f(1,2)AB，且AE⊥BD.(1)证明：平面EBD⊥平面EAD；(2)若△EAD的面积为eq\r(3)，求点C到平面EBD的距离．解：(1)证明：如图，取AB的中点M，连接DM，则DM∥BC，∴DM＝eq\f(1,2)AB，即点D在以线段AB为直径的圆上，∴BD⊥AD，又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，∴BD⊥平面EAD.∵BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面EAD.(2)∵BD⊥平面EAD，且BD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面EAD.∵等边△EAD的面积为eq\r(3)，∴AD＝AE＝ED＝2，取AD的中点O，连接EO，则EO⊥AD，EO＝eq\r(3)，∵平面EAD⊥平面AB