高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点练习含解析新人教A版必修1

PAGEPAGE13.1.1方程的根与函数的零点1.函数y=1x(A)1 (B)-1(C)(1,0),(-1,0) (D)1,-1解析:由y=0,即1x2.二次函数f(x)=ax2+bx+c中,a·c<0,则该函数的零点个数是(B)(A)1 (B)2 (C)0 (D)无法确定解析:因为ac<0,所以Δ=b2-4ac>0,所以该函数有两个零点,故选B.3.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连绵不断的,且有对应值如表:x123f(x)3.42.6-3.7则函数f(x)肯定存在零点的区间是(C)(A)(-∞,1) (B)(1,2)(C)(2,3) (D)(3,+∞)解析:若f(x)在[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0则f(x)在[a,b]上肯定存在零点.因为f(2)>0,f(3)<0所以f(x)在[2,3]上肯定存在零点.选C.4.函数f(x)=lnx-x2+4x+5的零点个数为(C)(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:由数形结合可知函数y=lnx图象与函数y=x2-4x-5图象有2个交点.所以函数f(x)有2个零点.故C正确.5.函数f(x)=x2-ex的零点个数为(B)(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:函数f(x)=x2-ex的零点个数,可转化为函数y=x2和y=ex图象的交点的个数,在同一坐标系中作出函数y=x2和y=ex的图象,如图所示,由图象可知,当x<0时,函数y=x2和y=ex的图象只有一个交点,当x≥0时,函数y=x2的图象始终在函数y=ex的图象的下方,没有交点,所以函数f(x)=x2-ex有且只有一个零点,故选B.6.设函数f(x)=log2x+2x-3,则函数f(x)的零点所在的区间为(B)(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)解析:因为函数f(x)=log2x+2x-3,所以f(1)=log21+21-3=-1<0,f(2)=log22+22-3=2>0,所以在区间(1,2)内函数存在零点.故选B.7.函数f(x)=(12)x(A)(-1,0) (B)(0,1) (C)(2,3) (D)(1,2)解析:函数f(x)=(12)xf(0)=3>0,f(1)=32>0,f(2)=14>0,f(3)=-由零点存在定理可知,函数的零点在(2,3)内.故选C.8.已知x0是函数f(x)=2x+11-x的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0(A)f(x1)<0,f(x2)<0(B)f(x1)<0,f(x2)>0(C)f(x1)>0,f(x2)<0(D)f(x1)>0,f(x2)>0解析:因为x0是函数f(x)=2x+11所以f(x0)=0,因为f(x)=2x+11-x是单调递增函数,且x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),所以f(x1)<f(x09.已知函数f(x)=|2(A)(0,1) (B)(0,2) (C)(0,3) (D)(1,3)解析:因为函数f(x)=|210.定义:区间[x1,x2](x1<x2)的长度为x2-x1,已知函数y=2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,2],记区间[a,b]的最大长度为m,最小长度为n,则函数g(x)=mx-(x+2n)的零点个数是(B)(A)1 (B)2 (C)0 (D)3解析:函数y=2|x|的值域为[1,2],且函数在(-∞,0)单调递减,在[0,+∞)单调递增,则0≤|x|≤1,即最大长度m=2,最小长度n=1.则函数g(x)=mx-(x+2n)=2x-(x+2),求零点个数,可令y1=2x,y2=x+2,即两函数图象交点个数.由图象可看出共有两个零点.故选B.11.直线y=3与函数y=|x2-6x|图象的交点个数为.

解析:由y=|x2-6x|图象如图所示,则两函数图象交点个数为4.答案:412.已知函数f(x)=lgx+x-10的零点在区间(k,k+1)上,k∈Z,则k=.

解析:由题意知函数f(x)为(0,+∞)上的增函数.且f(9)=lg9+9-10=lg9-1<0,f(10)=lg10+10-10=1>0,即f(9)f(10)<0,所以函数f(x)在(9,10)内存在唯一的零点,因为函数f(x)=lgx+x-10的零点在区间(k,k+1)上,k∈Z,所以k=9.答案:913.已知a>0,且a≠1,则函数f(x)=ax+(x-1)2-2a的零点个数为.

解析:设g(x)=2a-ax,h(x)=(x-1)2,留意到g(x)的图象恒过定点(1,a),画出它们的图象,无论a>1还是0<a<1,g(x)与h(x)的图象都必定有两个交点.答案:214.推断下列函数是否存在零点,假如存在,恳求出零点.(1)f(x)=-8x2+7x+1;(2)f(x)=4x-16;(3)f(x)=x2(4)f(x)=lg2x-2lgx.解:(1)令-8x2+7x+1=0,解得x=-18所以函数的零点为x=-18(2)令4x-16=0,则4x=42,解得x=2.所以函数的零点为x=2.(3)因为f(x)=x2+4x令(x所以函数的零点为x=-6.(4)令lg2x-2lgx=0得lgx=0或lgx=2.所以x=1或x=100,即函数f(x)的零点是1和100.15.若函数f(x)=ax2-x-1的负零点有且仅有一个,求实数a的取值范围.解:当a=0时,f(x)=-x-1,令f(x)=0,得x=-1,符合题意;当a>0时,此函数图象开口向上,又f(0)=-1<0,结合二次函数图象知符合题意;当a<0时,此函数图象开口向下,又f(0)=-1<0,从而有Δ=1+4a=0综上可知,实数a的取值范围为{-14}∪[0,+∞16.已知函数f(x)=13x-log2x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且0<x1<x0,则f(x(A)恒为负值 (B)等于0(C)恒为正值 (D)不大于0解析:由f(x)=0,得(13)

x0=log2分别作出函数y=13x,y=log由图象可知,当0<x1<x0时,(13)

x1>log2所以f(x1)=(13)

x1-log217.已知函数f(x)=(12)

解析:画出函数f(x)的图象,令y=k与y=f(x)有两个不同的交点,依据图象分析,假如有两个不同的交点,34答案:(34,118.已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.(1)当a=1时,求函数f(x)的零点;(2)若f(x)有零点,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=2·4x