近五年黑龙江省中考数学真题及答案2024

2024年黑龙江中考数学试题及答案

考生注意：

1.考试时间120分钟

2.全卷共三道大题，总分120分

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列计算正确的是（）

A.B.（/丫=〃7C.（-2/。）'=D.

（一4+〃）（〃+〃）=〃2一2

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查同底数事的乘法，幕的乘方与积的乘方，平方差公式，运用相关运算法则求出各选

项的结果后再进行判断即可.

【详解】解：A、a"-a2=a5a（'»故选项A计算错误，此选项不符合题意：

B、（/7="。工故选项B计算错误，此选项不符合题意；

C、（-2。6丫=-此选项计算正确，符合题意；

D、（―4+〃）（4+〃）=。一〃）9+々）=力2一/,故选项D计算错误，此选项不符合题意；

故选:C.

2.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【解析】

【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个

平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的

定义：把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做

中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；

B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意.

故迄B.

3.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图，则搭成该几何体的小正方体的个数最

主视图左视图

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根据三视图的知识，主视图是由4个小正方形组成，而左视图是由4个小正方形组成，故这个几

何体的底层最少有3个小正方体，第2层最少有1个小正方体.

【详解】解：根据左视图和主视图，这个几何体的底层最少有1+1+1=3个小正方体，

第二层最少有1个小正方体，

因此组成这个几何体的小正方体最少有3+1=4个.

故选B.

【点睛】本题考查/由三视图判断几何体，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现

了对空间想象能力方面的考查.如果掌握口诀”俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得

到答案.

4.一组数据2,3,3,4,则这组数据的方差为（）

A.1B,0.8C.0.6D.0.5

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了方差的计算，解题的关键是方差的计算公式的识记.根据方差的计算公式，先算

出数据的平均数，然后代入公式计算即可得到结果.

【详解】平均数为：(2+3+3+4)+4=3

方差为：S2=}[(2-3『+(3-3)2+(3-3)2+(4-31

=1x(l+O+O+l)

=0.5

故选：D.

5.关于x的一元二次方程(加-2)/+4工+2=0有两个实数根，则m的取值范围是()

A.m<4B./n>4C.且〃D.mW4且机工2

【答案】I)

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式.根据一元二次方程〃/+云+c=03h0)的根的判别式

△=从一4讹的意义得到机一2二0且ANO,即4、4x(/n-2)x2>0,然后解不等式组即可得到加的取

值范围.

【详解】解：•,关于x的一元二次方程(m一2)f+4x+2=0有实数根，

「.〃2—2H0旦△之0,

即42-4X(W-2)X2>0,

解得：m<4,

■■■,n取值范围是〃?W4且相。2.

故选：D.

kx3

6.已知关于x的分式方程一一-2=——无解，则4的值为()

x-33-x

A.〃=2或k=—1B.k=—2C.k=2或％=1D.k=—\

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键.先将分式方程去分

母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可.

【详解】解：去分母得，乙一2。-3)=-3,

整理得，a―2)x=-9,

当k=2时，方程无解，

当攵工2时，令1=3,

解得*=一1,

l^x3

所以关于X的分式方程」匚-2二^无解时，女=2或4=-1.

x-33-x

故选：A.

7.国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动.班级决定为在活动中表现突

出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励(两种奖品都买)，其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费

28元，则共有几种购买方案()

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键.

设购买x支笔记本，y个碳素笔，利用总价=单价x数量，即可得出关于“，》的二元一次方程，再结合x,

)'均为正整数，即可得出购买方案的个数.

【详解】解：设购买x支笔记本，y个碳素笔，

依题意得：3x+2y=28,

v=14--x.

,2

又x,y均为正整数,

x=2x=4x=6x=8

或《或，

y=11y=8[y=5)=2,

・••共有4种不同的购买方案.

故选:B.

p

8.如图，双曲线y=一(x>0)经过尔B两点,连接。4、AB,过点见乍轴，垂足为〃BD交

-V

0A于点、E,且£为4。的中点，则△，心的面积是()

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点/作A尸_L8O,垂足为F,设

(]2、AFAFEF

A出一，证明,AFESAODE,有==根据〃为A。的中点，可得=

I。JODOEDE

D

进而有EF=DE=LF=L0,AF=OD=-yA=-,可得力=。。=€，/=2〃，则有

222aa

3£二8。一。七二一。，问题随之得解.

2

【详解】如图，过点力作AF_L4O,垂足为E

设Aa,—,〃>0,

ka)

•・・BO_Ly轴，AFLBD,

・・・A尸〃y轴,DF=a,

:.：AFEs.ODE,

*AFAEEF

'''OD~~OE~~DEf

•・F为AO的中点，

AE=OE，

AF_AE_EF

~0D~~0E~~DE

.AF=OD,EF=DE

.EF=DE=-DF=-a,AF=OD=-y=-

222aA

•OD=yH,

.yH=OD=—,

.BD=xB=2a,

：.BE=BD-DE=-a,

2

01"”1639-

••S=-xArxBE=-x—x—a=—=4.5,

,A的RF22a22

故选：A.

9.如图，菱形ABC。中，点。是BD的中点，垂足为M,AM交8力于点N,OM=2,30=8,

则MN的长为（）

375

rD

A.亚苧

5

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考直:了解三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等丁斜边一半.

先由菱形性质可得对角线AC与B。交于点0,由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得

OA=OC=OM=2,进而由菱形对角线求出边长，由5抽/"4。=5由/08。=、5解三角形即可求出

5

MC=ACsinZMAC=^-^4/^=tanZ6)BC=—

55

【详解】解：连接AC,如图,

•・•菱形ABC。中，AC与V。互相垂直平分,

又：点。是的中点，

・•"、0、C三点在同一直线上,

：.OA=OC,

•：0M=2,AM1BC,

：・OA=OC=OM=2,

・・,BD=8,

.・.OB=OD=-BD=4,

2

______________OC21

：•8C=J。爪2+"2="+22=2百,tanZOBC=—=-=

Un4Z

VZAGW+ZAMC=90°,ZACM+NOBC=90。,

：・/MAC=/OBC

℃_2_y[5

••sin/A/AC=sin/OBC==—产=—,

BC2>/55

475

・•・MC=ACsin/MAC=，

5

・••BM=BC-MC=2>j5--=—^

55

:•MN=BMtanNOBC==,

525

故选：C.

10.如图，在正方形ABC。中，点少在40边上（不与点力、〃重合），/BHF=90。,HF交正方形外角

的平分线。/于点凡连接4。交8〃于点M连接M交AC于点。交CD于点M连接BO.则下列

结论：①N印汨=45。；②点。是班'的中点；③若点〃是的中点，则sinNN5C=®；®

10

BN=C.BM；⑤若AH=;HD,则S△历⑦，其中正确的结论是（）

B.①③⑤C.0@@©D.①②③④⑤

【答案】A

【解析】

【分析】连接QG,可得£2=近，AC垂直平分3。，先证明点乐队。、少四点共圆，即可判断①;

AB

根据AC垂直平分8力，结合互余可证明。G=FU,即有ZX7=FG=BG,则可判断②正确；证明

"BMSAQBV,即有型=生=JL可判断④；根据相似有铝业=f—1=L根据A”=,"。

BMABSDBN\BD）22

S.....HM1

可得3A〃=A。，再证明aAHMsaCBM,可得不必="7=彳，即可判断⑤；根据点〃是AO的中

sMMBM3

点，设AD=2,即求出BH7AH、AB?=亚，同理可证明-4刈1人大78M,可得

BM=-BH=-卮即可得8N=及8"二—可，进而可判断③.

333

【详解】连接。G,如图，

•・•四边形A68是正方形,

・•・/BIX：=/BAC=NADB=45。,—=72,ZBAD=ZADC=90°,4c垂直平分8。,

AB

・•・ZCDP=90°,

,/。尸平分NCDP,

・•・乙CDF=-ZCDP=45°=4CDB,

2

・•・4BDF=/CDF+ZCDB=90°,

•・•4BHF=骄=/BDF,

・••点8、H、D、6四点共圆，

/.乙HFB=NHDB=45°,ZDHF=/DBF,

・•・/HBF=180O-NHFB-4FHB=45°,故①正确,

•••AC垂直平分80,

•••BG=DG，

・•・4BDG=/DBG,

•••/BDF=90。,

・•・ZBDG+ZGDF=90°=ZDBG+ZDFG,

・•・ZGDF=/DFG,

・•.DG=FG,

・•・DG=FG=BG,

工点6是所的中点，故②正确，

•:/BHF=90。=/BAH,

・•・ZAHB+/DHF=90°=ZAHB+ZABH,

••・4DHF=ZABH,

■:力HF=/DBF,

・••/ABH=/DBF,

又,：ABAC=/DBC=45°,

:‘ABMs,QBN,

.BN_BD_仄

••——V2,

BMAB

:.BN=CBM，故④正确，

空T=L

S.DBN\BD）2

若AH=；HD,则A〃=g”O=g（AQ—A"）,

・•・3AH=AD,

AH1AHAH1

:.——=-,即Ilrl——=——=-,

AD3BCAD3

•:AD〃BC,

・•・AHMs,CBM,

HMAH1

.S吟HMJ

sABMBM3

•••OsABM=——aqAHM，

..SABM_1

*DS、DBN42，

：•S&BND=2sABM=6sAHM,故⑤错误，

如图，③若点〃是40的中点，设A£)=2,即A3=8C=AO=2,

AH=—AD=1,

2

,BH=y/AH2+AB2=>/5，

同理可证明AHMs；CBM,

.HM_AH

*HM+BM3BH

**丽

・•・BM=-BH=—亚,

33

1BN-®BM・

・•.BN=EBM=-7io,

3

VBC=2,

・•・在Rt^BNC中，NC=dBN?-BC?=M

3

sin/NBC=，故③正确，

BN10

则正确的有：①②③④，

故选：A.

【点睛】本题是一道几何综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正弦，圆周角定

理以及勾股定理等知识，证明点从H、D、尸四点共圆，.ABWs.力BY,是解答本题的关键.

二、填空题（每小题3分，共30分）

11.国家统计局公布数据显示，2023年我国粮食总产量是13908亿斤，将13908亿用科学记数法表示为

【答案】1.3908xl（y2

【解析】

【分析】本题考杳了科学记数法，科学记数法的表示形式为ax10”的形式，其中〃为整数.确

定〃的值时，要看把原来的数，变成《时.，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值210时，〃是正数；当原数的绝对值VI时，〃是负数，确定。与〃的值是解题的关键.

【详解】1亿=1.0xIO',13908亿=1.3908xlO4xlO8=1.3908xlO12

故答案为：1.3908x10“

12.在函数y=Y零中，自变量>的取值范围是______.

【答案】x>3^3<x

【解析】

【分析】本题主要考杳函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不

等式求解即可.

【详解】解：根据题意得，X-320,且x+2/O,

解得，x>3,

故答案为：x>3.

13.已知菱形ABC。中对角线4G8D相交于点。，添加条件可使菱形43co成为正

方形.

【答案】AC=BDaABJ.BC

【解析】

【分析】本题主要考查的是菱形和正方形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键，依据正方形的

判定定理进行判断即可;

【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD；

根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：ABJ.BC；

故添加的条件为：AC=BD或ABJ.BC.

14.七年一班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和！名女生的概

率是________.

【答案】|3

【解析】

【分析】本题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两

步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数弓总情况数之比.画树状图，共有12种等

可能的结果，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可.

【详解】解：画树状图如下：

开始

男女女女男女女女男男女女男男女女男男女女

由图可知，共有20种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果有12种,

・•・选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率为：—12=^3,

故答案为：—.

4-2x>0

15.关于X的不等式组,1恰有3个整数解，则a的取值范围是_________.

-x-a>0

【答案】

2

【解析】

【分析】本题考查解一元一次不等式（组），一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一

次不等式的方法.

4-2r>0

先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组,1恰有3个整数解，即可得到关于。的

-x-a>0

12

不等式组，然后求解即可.

【详解】解：由4—2x20,得：x<2,

由一工一。〉0,得：x>2a,

2

4-2x>0

•・•穴等式组,1八恰有3个整数解，

-x-a>0

12

•••这3个整数解是0,L2,

.,.-1<2zz<0,

解得—W4<0,

2

故答案为：—<。<0.

2

16.如图，内接于OO,AD是直径，若/B=25。,则NC4。"

【答案】65

【解析】

【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接CO,根据直径所对的圆周角是直角

得出/ACZ>90。，根据同弧所对的圆周角相等得出25。，进而根据直角三角形的两个锐角互

余，即可求解.

【详解】解：如图所示，连接C。,

,/ABC内接于C0,AD是直径,

・•・ZACD=90°，

：AC=AC'N3=25。，

・・・/。=4=25。

・•・/CAD=90°-25°=65°,

故答案为：65.

17.若圆锥的底面半径为3,侧面积为36兀，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是

【答案】90

【解析】

【分析】此题主要考查了圆锥的侧面积公式以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的

关键.根据圆锥的侧面枳公式S二兀〃求出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数.

【详解】根据圆锥侧面积公式：S=7irl,可得几x3x/=36兀

解得：7=12,

解得〃=90,

・'•侧面展开图的圆心角是900.

故答案为：90.

18.如图，在RtZXABC中，NAC8=90。，tan/84C=g,BC=2,AD=],线段A力绕点A旋转，点

P为CO的中点，则鳍的最大值是________.

【答案】2%

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形，三角形中位线定理，旋转的性质，解题的关键是找出3P取最大值时以

只M三点的位置关系.

取AC的中点M连接PA7、BM，利用解三角点求出BM=[MC2+BC?=2叵，利用三角形中位线定

理推出=当AQ在AC下方时，如果8、尸、的三点共线，则有最大值.

22

【详解】解：取AC的中点机连接加、BM.

••"8=90。，tan.C斗BC=2,

AC=--------------=2-r—=4,

tanZBAC2

/.AM=CM=—AC=2,

2

：•BM=7MC2+BC2=A/22+22=2N/2，

・・・/M分别是CZXAC的中点，

・•・PM=-AD=-.

22

如图，当AD在AC下方时，如果以八必三点共线，则有最大值,

最大值为BM+MP=2&+1，

2

故答案为：2V2+1

2

19.矩形A3CO中，/3=3,BC=4,将4A沿过点1的一条直线折叠，折痕交直线3。于点P（点P

不与点〃重合），点3的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则PC长为一

57

【答案】大或大或10

22

【解析】

【分析】本题考查了矩形与折卷问题，解直角三角形，先根据点B的对称点落在矩形对角线所在的直线上的

不同位置分一:种情况，画出对应的图形，再根据矩形性质，利用解直角三角形求出PC即可.

【详解】解：①点8的对称点落在矩形对角线8。上，如图1,

图1

•・•在矩形AAC7）中，AR=CD=3,HC=AD=4,

由折叠性质可知：3BUAP,

・•・ABAP+ZBPA=NBPA+NCBD

・•・/BAP=/CBD

CD3

・•・tanZBAP=tanZCBD=—=~,

BC4

39

ABP=ABtanNBAP=6x-=-

42

97

••・PC=BC-BP=8——=一；

22

②点8的对称点&落在矩形对角线AC上，如图2,

图2

•・•在矩形A8CO中，AB=CD=3,BC=AD=4,2B90?,

・••AC=yjAB2+BC2=V32+42=5，

BC4

cosZ.ACB=---=—,

AC5

由折叠性质可知：ZABP=ZAB^P=90°,AB=AB=3^

•••irC=AC-AB,=5-3=2

B'C=2,5

，PC

cosZACB52

③点B的对称点*落在矩形对角线CA延长线上，如图3,

图3

•・•在矩形A3CO中，AB=CD=3,BC=AD=4,2B90?,

•*,AC=\JAB2BC2=\J32+42=5»

BC4

・••cosZACB=—二一，

AC5

由折叠性质可知：ZABP=ZABP=90°,AB=AB=3^

••・BT=AC+AB'=5+3=8

B'C4

・•.PC==8—=10；

cosZACB5

57

综上所述：则PC长为一或一或10.

22

57

故答案为：不或大或10.

22

20.如图，在平面直角坐标系中，正方形OMN尸顶点V的坐标为（3,0）,是等边三角形，点8坐标

是（1,0）,&OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为

OfMfN分尸fOfMf•・・）做无滑动滚动，第一次滚动后，点力的对应点记为A，A的坐标

是（2,0）；第二次滚动后，A的对应点记为4,4的坐标是（20）；第三次滚动后，&的对应点记为A”

'\/31、

4的坐标是3--y,-;如此下去，……,则4。24的坐标是.

p----------

■

Am,

oB4（4）MX

I'J”

【答案】（1,3）

【解析】

【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动力式，依次求

出点力的对应点A,A，……，A2的坐标，发现规律即可解决问题.

【详解】解：正方形OMVP顶点"的坐标为（3,0）,

:.OM=MN=NP=OP=3,

乙048是等边三角形，点8坐标是（1,0）,

•・.等边三角形高为立，

2

由题知，

A的坐标是（2,0）；

人的坐标是（2,0）；

（0一

A?的坐标是3——；

I22）

继续滚动有，儿的坐标是（3,2）；

A5的坐标是（3,2）；

（5也、

46的坐标是—,3——;

[22）

A’的坐标是（1,3）；

4的坐标是（1,3）；

A）的坐标是

%的坐标是（o,i）；

%的坐标是（0,1）；

412的坐标是

的坐标是（2,0）；……不断循环，循环规律为以A，4,,,42,12个为一组,

2024+12=1688,

4024的坐标与4的坐标一样为（L3）,

故答案为：（1,3）.

三、解答题（满分60分）

22]（2、

21.先化简，再求值：----；_■—+-；------1，其中/〃=cos60°.

nr-1m"+m）

【答案】一6+1,

【解析】

【分析】本题主要考杳分式的化简求值及特殊三角函数值，先对分式进行化简，然后利用特殊三角函数值

进行代值求解即可.

【详解】解：原式=广”^.业刊

=一6+1,

当加=cos60°=,时原式=’.

22

22.如图，在止方形网格中，每个小止方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，JWC'的三

个顶点坐标分别为A（—1,1）,B（-2,3）,C（-5,2）.

（1）画出一ABC关于y轴对称的△44G，并写出点用的坐标；

（2）画出一A3C绕点力逆时针旋转90。后得到的A&G,并写出点的坐标；

（3）在（2）的条件卜♦,求点6旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留兀）

【答案】⑴作图见解析，4（23）

（2）作图见解析，B2（-3,O）

⑶—71

2

【解析】

【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应

点的位置是解题的关键.

（1）根据题意画出即可：关于y轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变：

（2）根据网格结构找出点4、C以点A为旋转中心逆时针旋转90。后的对应点，然后顺次连接即可；

（3）先求出=再由旋转角等于90。，利用弧长公式即可求出.

【小问1详解】

解：如图.△4局。|为所求：点用的坐标为（2,3）.

如图，伍G为所求；B2(-3,O),

【小问3详解】

点5旋转到点点的过程中所经过的路径长9°x石"=&.

1802

23.如图，抛物线)，=—d+Zzx+c•与*轴交于力、4两点，与)轴交于点乙其中3(1,0),C(0,3).

(1)求抛物线的解析式.

(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点只使得△4PC的面积最大.若存在，请直接写出点P坐标和

△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)y=-x2-2x+3

(315、27

(2)存在，点尸的坐标是P,△APC的面积最大值是-

【解析】

【分析】本题主要考杳二次函数的图象与性质以及与几何综合：

(1)将8C两点坐标代入函数解析式，求出公。的值即可；

(2)过点尸作PElx轴于点E,设P(X,-X2-2A+3),且点尸在第二象限，根据

S“c=S“K+S梯形-SAOC可得二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解.

【小问1详解】

解：将8（1,0）,C（0,3）代入产-丁+加+C得,

-1+/?+6?=()

c=3

b=-2

解得：

c=3

v=-x2-2x4-3

【小问2详解】

解：对于），=一/一2X+3,令y=0,则一/—2X+3=0,

解得，%=-3,々=1，

.•・，4(-3,0),

:.OA=3,

V0(0,3)，

・•・0C=3,

过点P作PE_LX轴于点E,如图,

，OE=_x,AE=3+x,

SAPC=APE+S梯形PCOE-AOC

=-AExPE+-(OC+PE)xOE--OAxOC

22V72

=1(3+X)(-X2-2X+3)+-(3-X2-2X+3)(-X)--X3X3

222

3f3?27

=——x+—-\-----

2(2)8

3

•・•——<0,

2

，S有最大值，

327(315、

・•・当x=一不时，S有最大值，最大值为二，此时点P的坐标为一彳,二

28124；

24.为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各一小时体育活动时间”的要求，某学校要

求学生每天坚持体育锻炼.学校从全体男生中随机抽取了部分学生，调查他们的立定跳远成绩，整理如K

不完整的频数分布表和统计图，结合下图解答下列问题:

组频

分组(cm)

别数

A50<x<1003

B100<x<150m

C150<A:<20020

D200<x<25014

E250<x<3005

(1)频数分布表中加=,扇形统计图中"=.

(2)本次调查立定跳远成绩的中位数落在组别.

(3)该校有60()名男生，若立定挑远成绩大于200cm为合格，请估计该校立定跳远成绩合格的男生有多少

人7

【答案】（1）8,40

（2）C（3）估计该校立定跳远成绩合格的男生有228人

【解析】

【分析】本题主要考杳了扇形统计图和频数表、中位数，用样本估计总体，

（1）用力组的频数除以所占的百分比，即可求出调查的总人数；用总人数减去其它组的人数，即可求得8

组的人数，用C组的人数除以总人数即可求解；

（2）根据中位数的求法，即可求解；

（3）用总人数乘以样本中立定跳远成绩合格的男生人数所占，即可求解.

【小问1详解】

解.：被抽取的学生数为：3+6%=50（人）

故〃2=50—3—20—14一5=8（人），

〃％=20+50=40%,即〃=40,

故答案为：8，40；

【小问2详解】

解：把这组数据从小到大排列，笫25和第26个数据的平均数为这组数据的中位数，

•「3+8<25<26,5+14<25<26,

二•把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据都在。组，

故本次调查立定跳远成绩的中位数落在C组，

答案为：Q

【小问3详解】

14+5

解：600x——-=228（人）

50

答：该校立定跳远成绩合格的男生有228人.

25.甲、乙两货车分别从相距2256的力、/，两地同时出发，甲货车从/地出发途经配货站时，停下来卸货，

半小时后继续驶往4地，乙货车沿同一条公路从月地驶往力地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即

原路原速返回8地，结果比甲货车晚半小时到达8地.如图是甲、乙两货车距力地的距离），（km）与行驶时

间M（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题:

(1)甲货车到达配货站之前的速度是km/h,乙货车的速度是km/h：

(2)求甲货车在配货站卸货后驶往地的过程中，甲货车距力地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函

数解析式：

(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等.

【答案】(1)30,40

(2)石尸的函数解析式是y=8(h=215(44xK5.5)

45

(3)经过1.5h或一h或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等

14

【解析】

【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数

图象表示的意义是解题关键.

(1)由图象可知甲货车到达配货站路程为105km,所用时间为3.5h,乙货车到达配货站路程为120km,

到达后返回，所用时间为6h,根据速度二距离土时间即可得；

(2)甲货车从力地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往8地，由图象结合已知条件可知

E(4』()5)和点尸(5.5,225),再利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案；

(3)分两车到达配货站之前和乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回8地后、甲货车卸货,

半小时后继续驶往6地，三种情况与配货站的距离相等，分别列方程求出x的值即可得答案.

【小问1详解】

解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km,所用时间为3.5h,所以甲货车到达配货站之前的速度是

105・35=30(km/h)

・•・乙货车到达配货站路程为225-105=120(km),到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回3地，总

路程为240km，总时间是6h,

・•・乙货车速度=240+6=40km/h,

故答案为：30：40

【小问2详解】

甲货车从力地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往〃地，由图象可知E（4』05）和点

尸(5.5,225)

设y杼=H+Z?(4<x<5.5)

I4Z+/?=105

<5.5Z+〃=225

L

b=-2\5

解得：

Z=80

••・甲货车距力地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数解析式y=80x-215（4«x《5.5）

【小问3详解】

设甲货车出发加，甲、乙两货车与配货站的距离相等，

①两车到达配货站之前：105-30'=120—40%，

3

解得：工=一，

2

②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：105—30x=40x—120,

45

解得：x=一，

14

③甲货车在配货站卸货后驶往8地时：80.r-215-105=40x-120，

解得：x=5,

45

答：经过1.5h或一h或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等.

14

26.已知./8C是等腰三角形，AB=ACf/MAN==/BAC,/MAN在284C的内部，点机"

2

在8c上，点V在点N的左侧，探究线段3M、NC、MN之间的数展关系.

U）如图①，当N54C=90。时，探究如下:

由/B4C=90。，4B=AC可知，将ZMCV绕点力顺时针旋转90。，得到则CN=A?且

/PBM=90。,连接PM,易证也△4W7V,可得MP=MN,在RtAPBM中，

BM?+BP?=MP2，则有8M2+NC2=MN2.

(2)当4AC=6O。时，如图②：当NB4C=120。时，如图③，分别写出线段BM、NC、MV之间的数

量关系，并选择图②或图③进行证明.

【答案】图②的结论是：BM2+NC2+BM•NC=MN?；图③的结论是：BM2+NC2-BMNC=MN?;

证明见解析

【解析】

【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一

半，勾股定理等知识，选②，以点夕为顶点在外作乙4BK=6O。，在歌上截取BQ=CN,连接

QA、QM,过点。作QH_L3C,垂足为//,构造全等二角形，得出入N=AQ,NG4N=NQ/14,再

证明△AQM0△AVM,得到MN=QM；在中由勾股定理得。"？+"M?=。加2,即

(日■BQ=QM2,整理可得结论；选③方法同②

【详解】解：图②的结论是：BM?+NC?+BM♦NC=MM

证明：AB=AC,ABAC=60\

・•・乂3C是等边三角形，

・•・ZABC=ZACB=60°,

以点月为顶点在.ABC外作ZABK=60。，在冰上截取BQ=CN,连接QA、QM,过点。作QH上BC,

垂足为H,

•.•AB=AC，ZC=Z4BQ,CN=BQ

.•.△ACNdABQ

AAN=AQt/CAN二NQAB

又•・・N5V+N&U/=30。

/.^BAM+ZQAB=30°

即ZQAM=/MAN

又=

.•.△AQM/ANM,

MN=QM；

•・•ZABQ=60°,NABC=60°,

・•・NQ8”=60。，

・•.NBQH=30。,

QH=^-BQ

・•・HM=BM+BH=BM,

在RtZ\Q”M中，可得：2H'HM'QM?

即与BQ+（8M+g80）=QM2

整理得BM?+BQ1+BMBQ=QM2

BM2+NC?+BM-NC=MN

图③的结论是：BM〜NC?-BMNC=MN?

证明：以点B顶点在外作NA5K=30。，在BK上截取8Q=CN,连接QAQM,过点。作

QHA.BC,垂足为〃,

B

♦・・AB=AC,ZC=ZABQfCN=BQ

.•.△ACNgZ\ABQ

/.AN=AQ,ZCAN=ZQAB

又・・・NC4JV+NB4M=60。

.•.NB4M+NQAB=60。

即ZQAM=/MAN

又・.・AW=AM，

:./\AQM2AANM,

/.MN=QM

在RQBQH中，NQBH=60。,ZBQH=30°

/.BH=^BQ,QH=^-BQ

HM=BM-BH=BM-；BQ,

在RtZ^QZ/M中，可得：QH'HM'QM?

即+（BW-gBQ）=QM2

整理得BM、BQ2-BMBQ=QM2

：.BM?+NC?—BM-NC=MN2

27.为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢犍子活动，需购买甲、乙两种品牌犍子.已知

购买甲种品牌健子10个和乙种品牌健子5个共需200元；购买甲种品牌健子15个和乙种品牌健子10个共

需325元.

（1）购买一个甲种品牌健子和一个乙种品牌健子各需要多少元？

（2）若购买甲乙两种品牌健子共花费1000元，甲种品牌犍子数量不低于乙种品牌犍子数量的5倍且不超

过乙种品牌健子数量的16倍，则有几种购买方案？

（3）若商家每售出一个甲种品牌健子利润是5元，每售出一个乙种品牌犍子利润是4元，在（2）条件

卜，学校如何购买健子商家获得利润最大？最大利润是多少元？

【答案】（1）购买一个甲种品牌健子需15元，购买一个乙种品牌犍子需10元

（2）共有3种购买方案

（3）学校购买甲种品牌健子60个，购买乙种品牌健子1（）个，商家获得利润最大，最大利润是340元

【解析】

【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用，

（1）设购买一个甲种品牌健子需a元，购买一个乙种品牌犍子需。元，根据题意列出二元一次方程组，问

撅得解：

（2）设购买甲种品牌健子x个，购买乙种品牌健子（100-|x）个，根据题意列出一元一次不等式组，解

不等式组即可求解；

（3）设商家获得总利润为y元，即有一次函数），=5x+4（100一|x）根据一次函数的性质即可求解.

【小问1详解】

fl（）«+5Z?=2OO

解：设购买一个甲种品牌健子需a元，购买一个乙种品牌会子需〃元.由题意得：“U，

15。+10/?=325

67=15

解得：

/?