2024年秋九年级数学上册第23章解直角三角形23.2解直角三角形及其应用23.2.3方向角问题同步练习新版沪科版

PAGEPAGE123.2第3课时方向角问题一、选择题1．如图36－K－1，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，假如海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，那么海轮航行的路程AB是()A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里图36－K－12．［2024·合肥包河区期末］如图36－K－2，一只船沿正东方向航行，上午7时在灯塔A的正北方向C处，上午9时到达灯塔的北偏东60°的B处，已知船的航行速度为每小时20千米，那么A，B之间的距离是()A.eq\f(10\r(3),3)千米B.eq\f(20\r(3),3)千米C.eq\f(40\r(3),3)千米D.eq\f(80\r(3),3)千米图36－K－23．［2024·百色］如图36－K－3，在距离铁轨200m的B处，视察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10s后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这个时段动车的平均速度是()A．20(eq\r(3)＋1)m/sB．20(eq\r(3)－1)m/sC．200m/sD．300m/s图36－K－34．［2024·合肥市庐江县月考］如图36－K－4，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔60海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为()A．30eq\r(2)海里B．30eq\r(3)海里C．60海里D．30eq\r(6)海里图36－K－4二、填空题5．如图36－K－5，C，D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD＝6km，且D位于C的北偏东30°方向上，则AB＝________km.图36－K－56．如图36－K－6，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A动身，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为________.图36－K－6三、解答题7．［2024·宣城期末］如图36－K－7，A，B两城市相距80km，现安排在这两座城市间修建一条高速马路(即线段AB)，经测量，森林爱护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林爱护区的范围在以点P为圆心，50km为半径的圆形区域内，则安排修建的这条高速马路会不会穿过爱护区，为什么？(参考数据：eq\r(3)≈1.732，eq\r(2)≈1.414)图36－K－78．［2024·芜湖期末］如图36－K－8，小岛A在港口B的北偏东50°方向，小岛C在港口B的北偏西25°方向，一艘轮船以每小时20海里的速度从港口B动身向小岛A航行，经过5小时到达小岛A，这时测得小岛C在小岛A的北偏西70°方向，求小岛A距离小岛C有多少海里．(结果精确到1海里．参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)图36－K－89．［2024·锦州］超速行驶是一种非常危急的违法驾驶行为．如图36－K－9，在一条笔直的高速马路MN上，小型车限速为每小时120千米，设置在马路旁的超速监测点C，现测得一辆小型车在监测点C的南偏西30°方向的A处，7秒后，测得其在监测点C的南偏东45°方向的B处，已知BC＝200米，B在A的北偏东75°方向，则这辆车超速了吗？通过计算说明理由．(参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)图36－K－910阅读理解背景材料：近年来由于世界各国大力发展海洋经济、加强海洋实力开发，海洋争端也呈上升趋势．为增加海洋执法实力、维护海洋领土，近期我国多个部门联合进行护航、护渔演习．解决问题：(1)如图36－K－10，我国渔船(C)在某岛海疆正被某国不明船只袭扰，“中国海政310”船(A)接到陆地指挥中心(B)护渔吩咐时，渔船(C)位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国海政310”船西南方向，“中国海政310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向，AB＝eq\f(140\r(6),3)海里，“中国海政310”船最大航速为20海里/时．依据以上信息，请你求出“中国海政310”船赶往渔船所在位置进行护渔至少须要多长时间；(2)假如(1)中条件不变，此时位于“中国海政310”船(A)南偏东30°海疆有一某国军舰(O)，AO＝560eq\r(2)海里，其火力打击范围是500海里，假如渔船沿着正南方向接着航行，是否会驶进这只军舰的打击范围？图36－K－10

1．C2．[解析]D由题意，得CB＝40千米，∠BAC＝60°，则AB＝eq\f(40,sin60°)＝eq\f(80\r(3),3)(千米)．3．[解析]A过点B作BD⊥AC，垂足为D.在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，∴AD＝BD·tan∠ABD＝200eq\r(3)m；在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∴CD＝BD＝200m，则AC＝AD＋CD＝(200＋200eq\r(3))m，这个时段动车的平均速度为eq\f(200＋200\r(3),10)＝20(eq\r(3)＋1)m/s.4．[解析]A如图，过点P作PC⊥AB于点C.在Rt△PAC中，∵PA＝60海里，∠PAC＝30°，∴CP＝eq\f(1,2)AP＝30海里．在Rt△PBC中，∵CP＝30海里，∠PBC＝∠BPC＝45°，∴PB＝eq\r(2)CP＝30eq\r(2)海里，即海轮所在的B处与灯塔P的距离为30eq\r(2)海里．5．[答案]3eq\r(3)[解析]过点C作CE⊥BD于点E，可求出DE＝3km，AB＝CE＝3eq\r(3)km.6．[答案]2eq\r(2)km[解析]如图所示，过点A作AD⊥OB于点D.在Rt△AOD中，∵∠ADO＝90°，∠AOD＝30°，OA＝4km，∴AD＝eq\f(1,2)OA＝2km.在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠B＝∠CAB－∠AOB＝75°－30°＝45°，∴BD＝AD＝2km，∴AB＝eq\r(2)AD＝2eq\r(2)km.即该船航行的距离(即AB的长)为2eq\r(2)km.故答案为2eq\r(2)km.7．解：不会穿过爱护区．理由：过点P作PM⊥AB于点M，如图．由题意得AE∥PM∥BF，∴∠APM＝30°，∠BPM＝45°，∴PM＝eq\f(AM,tan∠APM)＝eq\r(3)AM，BM＝PM.设BM＝PM＝xkm，则AM＝eq\f(\r(3),3)xkm，eq\f(\r(3),3)x＋x＝80，解得x＝120－40eq\r(3)≈50.72＞50.故这条高速马路不会穿过爱护区．8．解：由题意得，AB＝20×5＝100(海里)，∠ABC＝25°＋50°＝75°，∠BAC＝180°－70°－50°＝60°，则∠C＝45°.如图，过点B作BD⊥AC，垂足为D.在Rt△ABD中，∠BAD＝60°，则BD＝AB·sin60°＝100×eq\f(\r(3),2)＝50eq\r(3)(海里)，AD＝AB·cos60°＝100×eq\f(1,2)＝50(海里)．在Rt△BCD中，∠C＝45°，则CD＝BD＝50eq\r(3)海里，∴AC＝AD＋CD＝50＋50eq\r(3)≈137(海里)．故小岛A距离小岛C约137海里．9．[解析]依据特别锐角构造直角三角形，如图，利用特别角的三角函数关系分段得出AB的长，进而求出汽车的速度，进而可推断这辆车是否超速．解：这辆车超速了．理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于点D.由题意易知∠ACB＝30°＋45°＝75°，∠CAB＝75°－30°＝45°，∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠CAB＝60°.在Rt△BCD中，∵BC＝200米，∠ABC＝60°，∴BD＝BC·cos60°＝100米，CD＝BC·sin60°＝100eq\r(3)米． 在Rt△ACD中，∵∠CAB＝45°，∴AD＝CD＝100eq\r(3)米，∴AB＝AD＋BD＝(100eq\r(3)＋100)米，∴这辆车的速度为eq\f(100\r(3)＋100,7)≈39(m/s)．∵120km/h≈33.3(m/s)＜39m/s.∴这辆车超速了．10[解析](1)过点A作AD⊥BC于点D，通过AB＝eq\f(140\r(6),3)海里，∠B＝60°求出AD的长；再通过AD的长，∠DAC＝45°，求出AC的长；依据路程和最大速度，求出“中国海政310”船赶往渔船所在位置至少须要的时间；(2)延长BC，过点O作OE⊥BC交BC的延长线于点E，过点A作AF⊥OE于点F.将点O到航线BC的距离分为两段EF，FO来求：一是证明EF＝AD，二是通过解直角三角形AOF，求出FO，再和杀伤半径500海里作比较，从而推断是否会驶进这只军舰的打击范围．解：(1)如图所示，过点A作AD⊥BC于点D.∵AB＝eq\f(140\r(6),3)海里，∠B＝60°，∴sinB＝eq\f(AD,AB)，∴AD＝AB·sin60°＝eq\f(140\r(6),3)·eq\f(\r(3),2)＝70eq\r(2)(海里)．在Rt△ADC中，AD＝70eq\r(2)海里，∠ACD＝45°，∴AC＝70eq\r(2)×eq\r(2)＝140(海里)，∴“中国海政310”船赶往海船所在位置进行护渔至少须要140÷20＝7(时)．(2)如图，延长BC，过点O作OE⊥BC