2025年 九年级数学中考二轮复习 解直角三角形 填空题专题提升训练

2025年春九年级数学中考二轮复习《解直角三角形》填空题专题提升训练（附答案）1．如图，在△ABC中，AB＝BC，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交BC于点C和点D，再分别以点C，D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点M，若CM＝1，BD＝3，则sinB＝．2．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tanB＝，那么边AD的长为．3．如图，在△ABD中，点C为BD边中点，连接AC，点E在AC上，连接BE，若AB＝AC，tan∠BAC＝，∠BAC＝2∠EBC，BC＝，则AD的长为．4．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，sinA＝，AD＝6，BC＝CD，AB＝CD，那么BC＝．5．如图，点D在钝角△ABC的边BC上连接AD，∠B＝45°，∠CAD＝∠CDA，CA：CB＝5：7，则∠CAD的余弦值为．6．在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB＝∠MBC，则tan∠ABM＝．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝，点C关于直线AB的对称点为D，点E为边AC上不与点A，C重合的动点，过点D作BE的垂线交BC于点F，则的值为．8．我们把有三个内角相等的凸四边形叫做三等角四边形，例如：在四边形PQMN中，如果∠P＝∠Q＝100°，∠M＝60°，那么四边形PQMN是三等角四边形．请阅读以上定义，完成下列探究：如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，cosB＝，如果点D在边AB上，AD＝6，点E在边AC上，四边形DBCE是三等角四边形，那么线段CE的长是．9．如图，在△ABC中，tan∠DFC＝2，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，若AC＝2，则线段EF的长为．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线分别交边BC，AB于点D，E．如果BC＝18，tanA＝，那么CD＝．11．如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，在AH上取一点K，连接CK，使得∠HKC+∠HAC＝90°，在CK上取一点N，使得CN＝AC，连接BN，交AH于点M，若tan∠ABC＝2，BN＝15，则CH的长为．12．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，连接AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为．13．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝，则点F的坐标是．14．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，∠AEC＝45°，若AC＝2，tan∠ACB＝，则AB的长为．15．如图，在△ABC中，tan∠B＝2，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，若AC＝5，则线段EF的长为．16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D为AC边上一点，∠ABD＝45°，tan∠A＝，若BC＝21，则DC的长为．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，sinB＝，延长BC至点D，使CD：AC＝1：3，则tan∠CAD＝．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，sinB＝，延长BC至点D，使CD：AC＝1：2，则tan∠CAD＝．19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D，线段AE与线段CD相交于点F且AE＝AB，连接DE，∠E＝∠C，若AD＝2DE，则cos∠BAD的值为．20．如图，正△EFG内接于正方形ABCD，其中E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若，则＝．21．（按课改要求命制）如图，设P是等边三角形ABC内的一点，PA＝1，PB＝2，PC＝，将△ABP绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点P旋转到P′外，则sin∠PCP′的值是（不取近似值）．22．如图，正方形ABCD中，E是CD中点，，则tan∠EAF＝．23．如图，Rt△ABC，∠C＝90°，tanA＝，D是AC中点，∠ABD＝∠FBD，BC＝6，CF∥AB，则DF＝．24．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM为AB边上的中线，AN⊥CM，交BC于点N．若CM＝3，AN＝4，则tan∠CAN的值为．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanB＝，点D，E分别在边AB，AC上，DE⊥AC，DE＝6，DB＝20，则tan∠BCD的值是．

参考答案1．解：连接AD，由作图可知，AD＝AC，AM是∠DAC的角平分线，∴AM⊥DC，DM＝MC＝1，∵BD＝3，∴BM＝3+1＝4，AB＝3+2＝5＝BC，∴AM＝，∴sinB＝，故答案为：．2．解：如图，过端午A作AH⊥BC于H，过点C作CE⊥AD于E，连接AC．在Rt△ABH中，tanB＝＝，∴可以假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝5k＝10，∴k＝2，∴AH＝6，BH＝8，∵BC＝12，∴CH＝BC﹣BH＝12﹣8＝4，∴AC＝＝＝2，∵∠B+∠D＝90°，∠D+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠B，在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝，∵CD＝5，∴DE＝3，CE＝4，∴AE＝＝＝6，∴AD＝AE+DE＝9．故答案为：9．3．解：作AF⊥BC于点F，∵AB＝AC，∴AF平分∠BAC，BF＝CF，∴∠CAF＝∠BAC，即2∠CAF＝∠BAC，∵∠BAC＝2∠EBC，∴∠CAF＝∠EBC，∵∠CAF+∠ACF＝90°，∴∠EBC+∠ACF＝90°，∴∠BEC＝90°，∴∠AEB＝90°，∵tan∠BAC＝，∴设BE＝3x，则AE＝4x，∴AB＝＝5x，∴AC＝5x，∴CE＝x，∵BC＝，BE＝3x，CE＝x，∴10＝（3x）2+x2，解得x1＝1，x2＝﹣1（舍去），∴AC＝5x＝5，∵∠AFC＝90°，BF＝BC＝，∴AF＝＝，∵点C为BD的中点，∴FD＝+＝，∵∠AFD＝90°，∴AD＝＝3，故答案为：3．4．解：作BE⊥AD于E，连接BD，如图所示：设BC＝CD＝x，则AB＝x，∵sinA＝＝，∴BE＝AB＝x，∴AE＝＝＝x，∵BC＝CD，∠C＝90°，∴BD＝BC＝x，∴BD＝AB，∵BE⊥AD，∴AE＝DE＝AD＝3，∴x＝3，解得：x＝，即BC＝，故答案为：．5．解：如图作AH⊥BC于H，设AC＝CD＝5k，BC＝7k，∵∠B＝45°，∠AHB＝90°，∴AH＝BH，设AH＝BH＝x，在Rt△ACH中，∵AH2+HC2＝AC2，∴x2+（7k﹣x）2＝（5k）2，解得x＝3k或4k（舍弃与钝角三角形矛盾），当x＝3k时，∴BH＝AH＝3k，DH＝k，∴AD＝k，∴cos∠CAD＝cos∠ADH＝＝＝．故答案为．6．解：如图：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则OT⊥BM，∵∠ABM+∠MBT＝90°，∠OTB+∠MBT＝90°，∴∠ABM＝∠OTB，则△BAM∽△TOB，∴＝，即＝，即MB2＝2AM•BT①令DN＝1，CT＝MD＝K，则：AM＝2﹣K，BM＝，BT＝2+K，代入①中得：4+（2﹣K）2＝2（2﹣K）（2+K），解方程得：K1＝0（舍去），K2＝．∴AM＝2﹣＝．tan∠ABM＝＝＝．故答案是：．7．解：如图，设DF交AB于M，CD交AB于N，BE交DF于J．∵∠ACB＝90°，∴sinA＝＝，∴可以假设BC＝4k，AB＝5k，则AC＝3k，∵C，D关于AB对称，∴CD⊥AB，CN＝DN，∵S△ABC＝×BC×AC＝×AB×CN，∴CN＝DN＝k，∴CD＝k，∵∠FCD+∠DCA＝90°，∠DCA+∠A＝90°，∴∠DCF＝∠A，∵DF⊥BE，CD⊥AB，∴∠BJM＝∠DNM＝90°，∵∠BMJ＝∠DMN，∴∠D＝∠ABE，∴△DCF∽△BAE，∴＝＝＝．8．解：如图，过点A作AJ⊥BC于J，连接CD，过点C作CK⊥AB于K，过点D作DH⊥AC于H．∵AB＝AC＝9，AJ⊥BC，∴BJ＝JC，∵cosB＝＝，∴BJ＝JC＝3，∵CK⊥AB，∴cosB＝＝，∴BK＝2，CK＝＝＝4，∵∠DAH＝∠CAK，∠AHD＝∠AKC＝90°，∴△AHD∽△AKC，∴＝＝，∴＝＝，∴AH＝，DH＝，∵四边形DBCE是三等角四边形，∴∠DEH＝∠B，∴cos∠DEH＝cos∠B＝＝，设EH＝m，DE＝3m，在Rt△DEH中，∵DE2＝EH2+DH2，∴（3m）2＝m2+（）2，∴m＝或﹣（舍弃），∴EH＝，∴AE＝AH﹣EH＝﹣＝，∴CE＝AC﹣AE＝9﹣＝．故答案为：．9．解：∵∠ACB＝45°，AD⊥BC，AC＝2，∴AD＝CD＝×2＝2，∵tan∠DFC＝2＝，∴DF＝AF＝AD＝，∴FC＝＝5，∵CE⊥AB，∠DFC＝∠AFE，∴cos∠DFC＝＝cos∠AFE＝，∴＝，∴EF＝1，故答案为：1．10．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，tanA＝，∴AC＝＝＝12，∴AB＝＝＝6，cosB＝＝＝，∵边AB的垂直平分线交边AB于点E，∴BE＝AB＝3．∵在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∴cosB＝＝∴BD＝13，∴CD＝BC﹣BD＝18﹣13＝5，故答案为5．11．解：如图，过点N作NJ⊥BC于J．设HJ＝x．∵AH⊥BC，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∵tan∠ABH＝＝2，∴可以假设BH＝k，2k，∵∠HKC+∠HAC＝90°，∠HKC+∠KCH＝90°，∴∠HAC＝∠KCH，∵NJ⊥BC，∴∠AHC＝∠CJN＝90°，∴△AHC∽△CJN，∴＝＝＝2，∴CJ＝k，∴CH＝x+k，JN＝（x+k），∴tan∠NBJ＝＝，设NJ＝y，BJ＝2y，∵BN＝15，∴5y2＝152，∴y＝3，∴NJ＝3，∴CH＝2NJ＝6．12．解：如图，过点E作EH⊥BC于H．∵BC＝7，CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵AB＝4＝BD，∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，∴∠ADC＝∠ADE＝120°，∴∠EDH＝60°，∵EH⊥BC，∴∠EHD＝90°，∵DE＝DC＝3，∴EH＝DE•sin60°＝，∴E到直线BD的距离为，故答案为．13．解：过点F作直线FA∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥FA于点H，则∠FAE＝90°，∵FA∥OG，∴∠FGO＝∠HFG．∵∠EFG＝90°，∴∠FEA+∠AFE＝90°，∠HFG+∠AFE＝90°，∴∠FEA＝∠HFG＝∠FGO，∵cos∠FGO＝，∴cos∠FEA＝，在Rt△AEF中，EF＝10，∴AE＝EFcos∠FEA＝10×＝6，∴根据勾股定理得，AF＝8，∵∠FAE＝90°，∠AOG＝90°，∠GHA＝90°∴四边形OGHA为矩形，∴AH＝OG，∵OG＝17，∴AH＝17，∴FH＝17﹣8＝9，∵在Rt△FGH中，＝cos∠HFG＝cos∠FGO＝，∴FG＝9÷＝15，∴由勾股定理得：HG＝＝12，∴F（8，12）．故答案为：（8，12）．14．解：过点B作BF⊥CA交CA的延长线于F．∵tan∠ACB＝＝，∴可以假设BF＝3k，CF＝4k，则BC＝5k，∵CE平分∠ACB，∠AEC＝45°，∴∠FBC＝90°﹣∠ACB＝2（45°﹣∠ECB）＝2∠ABC，∴AB平分∠FBC，∵∠F＝∠ADB＝90°，BA＝BA，∠ABF＝∠ABD，∴△AFB≌△ADB（ASA），∴BD＝BF＝3k，CD＝2k，∴AF＝AD＝4k﹣2，在Rt△ADC中，∵AD2+CD2＝AC2，∴（4k﹣2）2+（2k）2＝4，∴k＝或0（舍弃），∴BD＝，AD＝，∴AB＝＝＝．故答案为．15．解：∵在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，∴△ADC为等腰直角三角形，∴AD＝CD，∵AC＝5，∴AD＝CD＝AC•sin45°＝5×＝5，∵AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，∴∠B+∠BAD＝∠AFE+∠BAD＝90°，∴∠DFC＝∠AFE＝∠B，∵tan∠B＝2，∴tan∠DFC＝2，∴＝2，∴DF＝＝，∴AF＝AD﹣DF＝5﹣＝，∵tan∠AFE＝tan∠B＝2，∴设AE＝2x，EF＝x，由勾股定理得AF＝x＝，∴EF＝x＝，故答案为：．16．解：过点D作BD的垂线交AB于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．∵∠ABD＝45°，∴DE＝BD．又∵∠C＝90°，∴∠CBD+∠BDC＝90°，∠EDF+∠BDC＝90°，∴∠CBD＝∠EDF，又∠C＝∠EFD＝90°，∴△BCD≌△DFE（AAS），∴DF＝BC＝21，EF＝CD，设CD＝EF＝3x，∵，∴AF＝4x，∴AC＝AF+CD+DF＝4x+3x+21＝7x+21，又，∴AC＝28，∴7x+21＝28，∴x＝1，∴CD＝3x＝3．故答案为：3．17．解：过点D作DE⊥AC，与AC的延长线交于点E，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠DCE＝∠ACB，∴∠DCE＝∠B，∵sinB＝，∴，不妨设DE＝4x，则CD＝5x，∴，∵CD：AC＝1：3，∴AC＝3CD＝15x，∴AE＝AC+CE＝18x，∴tan∠CAD＝，故答案为18．解：过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点F，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝∠DCF，BE＝CE，由sinB＝，设AE＝4x，则AB＝AC＝5x，∴BE＝CE＝3x，∵CD：AC＝1：2，∴CD＝x，∵sin∠DCF＝sinB＝，∴DF＝sin∠DCF•CD＝×x＝2x，CF＝＝x，∴AF＝AC+CF＝5x+x＝x，∴tan∠CAD＝＝＝，故答案为：．19．解：取AD的中点G，连接BG，如图所示：则AG＝DG，AD＝2AG，∵AD＝2DE，∴DE＝AG，∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ABC+∠C＝∠ABC+∠BAG＝90°，∴∠C＝∠BAG，∵∠C＝∠E，∴∠BAG＝∠E，在△ABG和△EAD中，，∴△ABG≌△EAD（SAS），∴BG＝AD＝2DE＝2DG，∴BD＝＝＝DG，∴AB＝＝＝DG，∴cos∠BAD＝＝＝；故答案为：．20．解：如图，作EK⊥FG，K是FG的中点，连AK、KB，易知E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆∴∠KBE＝∠EGK＝60°，∠EAK＝∠EFK＝60°．∴三角形ABK是等边三角形作KM⊥AB，M是AB的中点，设AB＝6则EB＝AB＝2，MB＝3，ME＝1，MK＝6sin60°＝3∴EK＝；；．故．故答案为．21．解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°．根据旋转的性质，有∠PAP′＝60°，AP′＝AP＝1，CP′＝BP＝2．∴△APP′是等边三角形，PP′＝1．在△PCP′中，PC＝，PP′＝1，CP′＝2．∴PC2＝P′P2+P′C2．∴△PCP′是直角三角形，且∠PP′C＝90°．∴sin∠PC