福建省泉州某中学2024年高考数学模拟最后一卷

2024年福建省泉州一中高考数学模拟最终一卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给

出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集集R,集合行权|0<*忘1},2以k忘0},则MA（CuN）=（）

A.{x|0WxVl}B.{x10<x^l}C.{xOWxWl}D.{x|x<

1}

2.已知复数z=3+i（i为虚数单位），则z的共短复数》在复平面内对

应的点位于（）

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限

3.设W、吊都是非零向量，下列四个条件中，肯定能使工且三成立

laiIbI

的是（）

A.Z二一与B.a!lbC.a=2bD.aj_b

3

4.等比数列{a。}中，a3=6,前三项和S3=J赳xdx,则公比q的值为（）

A.1B.-1C.1或-1D.-1或-1

222

5.下列四个命题中正确命题的是（）

A.学校抽取每个班级座号为21-30号的同学检查作业完成状况,

这是分层抽样

B.可以通过频率分布直方图中最高小矩形的高来估计这组数据的

众数

C.设随机变量自听从正态分布N(0,1),若P(&>l)=p,则P

(-1<€<0)=1-p

D.在散点图中，回来直线至少经过一个点

6.已知f(x)=x2-2x+3,g(x)=kx-1,则“|k|W2”是"f(x)

Ng(x)在R上恒成立”的()

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.执行如图所示的程序框图，假如输入x,t的值均为2,最终输出S

的值为n,在区间上随机选取一个数D,则DWn的概率为()

/怅5/

IAf=lSn3|

B.Ac.7

A.京1010

8.正项等差数列瓜｝中的a1、a3是函数f(x)=lnx-x2+8x-1的极

值点，则log2a202’尸()

A.2B.3C.4D.1

9.过抛物线xMy的焦点F作倾斜角为Q的直线交抛物线于P、Q两点,

过点P作抛物线的切线1交y轴于点T,过点P作切线1的垂线交y

轴于点N,则4PNE为()

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

10.定义：若对定义域D内的随意两个X”x2(XiWx2),均有|f(X1)

-f(x2)|v|x「X21成立,则称函数Sf(x)是D上的“平缓函数”.则

以下说法正确的有()

①f(x)=-lnx+x为(0,+8)上的“平缓函数二

②g(x)=sinx为R上的“平缓函数”

③h(x)=x2-x是为R上的“平缓函数”；

④已知函数尸k(x)为R上的“平缓函数”，若数列｛xj对Vn£N’总有

Xn”-Xn|W—则Ik(X)-k(J

(2n+l)2nn++11X14

A.0个B.1个C.2个D.3个

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答

题卡相应位置.

11.若(4)8绽开式中含x2的项的系数为.

xX

X-y>l

12.已知实数x,y满意约束条件.x+y>l,则z=x+2y的最大值

2x-y<4

为.

13.己知双曲线£-41(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,

ab

以FF2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P.若NPFF2=30°,

则该双曲线的离心率为.

14.已知函数f(x)=asin(ax十6)-b的部分图象如图，其中3>

0,|0|<2L,a,b分别是AABC的角A,B所对的边,CosC=f(-^)+b

22

贝IJ/XABC的面积S=.

15.已知单位向量彳，j,了两两的夹角均为0(0V。Vn,且0士工)，

若空间向量W满意；r：+yG+zE(x,y,zER)，则有序实数组(X,y,z)

称为向量索E“仿射”坐标系O-xyz(0为坐标原点)下的“仿射”坐

标.记作；二(X,y,z)a有下列命题：

①已知£(1,3,-2)0,b=(4,0,2)则看后。；

②已知全(x,y,0)R,b=(0,0,z)1r其中xyzWO,则当且仅当x=y

T-石

时，向量二E的夹角取得最小值；

③已知

z+z

a=(X],yj>Z[)Q>h=(x2»y2»z2)9，贝lla+b=(Xj+x2»了]+丫2，l28

④已知赢二（1,0,0）1T，砾（0,1,0）R,oc=（0,0,1）七则三棱

~3~3~3

锥0-ABC的表面积S二五，其中真命题有（写出全部真命

题的序号）

三、解答题：本大题共5小题，共80分.解答应写出文字说明，证明

过程或演算步骤.

16.已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动,ZMCN=in,

Vq

在aABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.

（I）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2.求c的值；

（II）若/ABC二（）,试用0表示AABC的周长，并求周长的最

大值.

17.某个海边旅游景点，有小型游艇出租供游客出海游玩，收费标准

如下：租用时间不超过2小时收费100,超过2小时的部分按每小时

100收取（不足一小时按一小时计算）.现甲、乙两人独立来该景点租

用小型游艇，各租一次.设甲、乙租用不超过两小时的概率分别为L

V3

-1；租用2小口寸以上且不超过3小时的概率分别为2,2,且两人租用的

223

时间都不超过4小时.

（I）求甲、乙两人所付费用相同的概率；

(II)设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量g,求之的分布列与

数学期望.

18.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，ZBCD=120°,AB=PC=2,

AP二BP二表.

(I)求证：AB_LPC；

(Il)在线段AD上是否存在点Q,使得直线CQ和平面BCP所成角0的

正弦值为亚？若存在，请说明点Q位置；

7

若不存在，请说明不存在的理由.

19.已知椭圆C：(a>b>0)的中心为0,右顶点为A,在线

a2b”

段0A上随意选定一点M(m,0)(0<m<2),过点M作与x轴垂直的直

线交C于P,Q两点.

(I)若椭圆C的长半轴为2,离心率及，

2

(i)求椭圆C的标准方程；

(ii)若点N在0M的延长线上，且|0M|,|0A|,|0N|成等比数

列，试证明直线PN与C相切；

(II)试猜想过椭圆(a>b>0)上一点G(x0,y0)(x0>0,

ab

yo>0)的切线方程的一种方法，再加以证明.

20.己知函数f(x)=x|Inx-a|,a£R.

(I)当a=l时•，试求f(x)的单调区间；

(II)若对随意的a&2,方程f(x)=x+b恒有三个不等根，试求实数

b的取值范围.

本题有21、22、23三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，

满分7分，假如多2做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅

笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号

中.选修4-2：矩阵与变换

21.已知直线1：2x-y=3,若矩阵b£R所对应的变换。

把直线1变换为它自身.

(I)求矩阵A；

(II)求矩阵A的逆矩阵.

选修4-4：坐标系与参数方程

22.已知曲线C的极坐标方程是P=4cos().以极点为平面直角坐标系

的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线1的参数

方程是:(t是参数).

y=a+—t

(I)写出曲线C的一般方程；

(II)若直线1与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=旧，求a的值.

选修4-5：不等式选讲

23.函数y=|x+l|+|x-2］的最小值为M；

(I)求实数M的值；

(II)若不等式正式+V?忘WM,(其中a>0)恒成立，求实数a的取

值范围.

2024年福建省泉州一中高考数学模拟最终一卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给

出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集U=R,集合M={x|OVxWl},N={x|xWO},则MPl（［1：N）=（）

A.{x|0^x<1}B.{x10<x^1}C.{xOWxWl}D.（x|x<

1}

考点：交、并、补集的混合运算.

专题：集合.

分析：依据集合的基本运算进行求解即可.

解答：解：TN={x|xWO},

C（：N={xx>0},

则MG={x|O<x^l},

故选：B

点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础.

2.已知复数z=3+i（i为虚数单位），则z的共扼复数；在复平面内对

应的点位于（）

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限

考点：第数的代数表示法与其几何意义.

专题：数系的扩充和复数.

分析：利用共加复数的概念即得结论.

解答：解：・.'z=3+i,・・・；=3-i,

・•・；在复平面内对应的点为（3,-1）,

故选：D.

点评：本题考查复数的儿何意义，留意解题方法的积累，属于基础题.

3.设W、吊都是非零向量，下列四个条件中，肯定能使成立

la|IbI

的是（）

A.a=--ifcB.a'/bC.a=2bD.aJ_b

考点：平行向量与共线向量.

专题：计算题；平面对量与应用.

分析：依据向量共线定理，可得若马工与成立，则向量W、E共线

laiIbI

且方向相反，比照各个选项并结合数乘向量的含义，可得本题答案.

解答:角隼：由工j•二旗工二一二,即E二一国G，贝力句量彳、石共

laiIblIbllaiIaI

线且方向相反,

能使工工耳成立.

因此当向量：、三共线且方向相反时,

IaIlbI

比照各个选项，可得B项中向量W、5的方向相同或相反;

C项中向量W、E的方向相同;D项中向量W、三的方向相互垂直.

只有A项能确定向量w、E共线且方向相反.

故选：A

点评：本题给出非零向量W、K求使成立的条件.着重考

IaIIbI

查了数乘向量的含义与向量共线定理等学问，属于中档题.

4.等比数列｛a#中，@3=6,前三项和S.3=J^4xdx,则公比q的值为（）

J0

A.1B.-1C.1或-2D.-1或-1

222

考点：定积分；等比数列的前n项和.

专题：计算题.

分析•：依据题意，干脆找出被积函数4x的原函数，干脆计算在区间

上的定积分即可得S3,再结合等比数列的性质求得公比q的值即可.

3

解答：ft?：VS3=f04xdx=18,

=—

•,a1+a2|（1+q）=12

q

=>2q2-q-1=0

=q=l或q=-L

2

故选C.

点评：本题考查等比数列的前n项和、定积分的基本运算，求定积分

关键是找出被积函数的原函数，本题属于基础题.

5.下列四个命题中正确命题的是（）

A.学校抽取每个班级座号为21-30号的同学检查作业完成状况,

这是分层抽样

B.可以通过频率分布直方图中最高小矩形的高来估计这组数据的

众数

C.设随机变量自听从正态分布N(0,1),若P(&>l)=p,则P

(-1<€<0)=1-p

D.在散点图中，回来直线至少经过一个点

考点：命题的真假推断与应用.

专题：简易逻辑.

分析：A项考查分层抽样的概念.

B项频率分布直方图的概念理解

C项画出正态分布N(0,1)的密度函数的图象，由图象的对称性可得

结果.

I)项由散点图的概念可知.

解答：解：对于A项每个班级座号为21-30号的同学不具有层次性,

故A项不对.

对于B项，可以通过频率分布直方图中最高小矩形的高来估计这组数

据的众数，故B对.

对于C项解：画出正态分布N(0,1)的密度函数的图象如下图：

由图象的对称性可得，若P(g>1)=p,则P(&<-1)=p,

・••则P(-IV&VI)=1-2p,：.P(-1<€<0)=2-p.c不对

对于D项散点图中，回来直线不肯定过任何散点，故D不对.

故选：B

点评：本题主要考查了分层抽样，频率分布直方图、正态分布N(0,

1)的密度函数，散点图的概念，属于基础题型.

6.已知f(x)=x2-2x+3,g(x)=kx-1,贝ij”|kIW2”是“f(x)

Ng(x)在R上恒成立”的()

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

考点：必耍条件、充分条件与充耍条件的推断.

专题：函数的性质与应用.

分析：将不等式f(x)2g(x)在R上恒成立化简，再与条件|k|W2

比较，然后依据充分性与必要性的定义进行推断即可得出所耍的答案.

解答:解：由二次函数的性质知，由f(x)2g(x)得X,-(2+k)

x+420

故“f(x)2g(x)在R上恒成立"成立=△=(2+k)2-16W0Q-6

WxW2；

而|k|W2=-2WxW2.

・・.|k|W2可推出“f(x)2g(x)在R上恒成立”，而“f(x)2g(x)

在R上恒成立"不能保证|k|W2.

则“|k|W2”是“f(x)2g(x)在R上恒成立”成立的充分但不必

要条件.

故选A.

点评：本题考查充分条件与必要条件的推断，以不等式的大小比较为

载体，属于简洁题型.

7.执行如图所示的程序框图，假如输入x,t的值均为2,最终输出S

的值为n,在区间上随机选取一个数D,则DWn的概率为()

//L/

一

IAf・lS・3|

A.书•r・

考点：程序框图；几何概型.

专题：算法和程序框图.

分析：由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用循环结构计算

并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的改

变状况，可得答案.

解答：解：♦・•输入X,t的值均为2,

当k=l时，满意条件kWt,执行完循环体后，M=2,S=5,k=2,

当k=2时，满意条件k<t,执行完循环体后，M=2,S=7,k=3,

当k二3时，不满意条件k〈t,

故输出的S值为7,

故在区间上随机选取一个数D,则DWn的概率P二3，

1C

故选：D

点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运

行过程，以便得出正确的结论，是基础题.

8.正项等差数列｛aj中的a)>ag是函数f(x)=lnx-x2+8x-1的极

值点，则10g2a2024=()

A.2B.3C.4D.1

考点：利用导数探讨函数的极值.

专题：导数的概念与应用.

分析•：利用导数即可得出函数的极值点，再利用等差数列的性质与其

对数的运算法则即可得出.

2

解答：解：f'(x)T-2X+8」-2X+8X,

Vai>a/是函数f(x)=lnx-x2+8x-1的极值点,

・•・4、④侬是方程1-2X2+8X=0的两个实数根,

则a.。29=4.而｛a｝为等差数列,

•・a】+a.1029=2a202.l,BP32024=2,从向从而10g2a2024=10g24=l.

故选D.

点评：娴熟驾驭利用导数探讨函数的极值、等差数列的性质与其对数

的运算法则是解题的关键.属于中档题.

9.过抛物线x2=4y的焦点F作倾斜角为。的直线交抛物线于P、Q两点,

过点P作抛物线的切线1交y轴于点T,过点P作切线1的垂线交y

轴于点N,则4PNE为()

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

考点：抛物线的简洁性质.

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析：设出P点坐标，对抛物线方程进行求导表示出PN和PT的斜率,

则直线PN的方程可得，令x=0,求得N点坐标，进而可表示出|NF|,

由抛物线定义可知IPF

推断出PF|二|NF|,把x=0代入直线1的方程求得T点坐标,表示出|TF|,

进而可知|NF|=|TF|=|PF|.

解答：解：由x、4y,得焦点F(0,1),设P(A),

Ax04c

由y'=lx知L=y'|二七，则女二-2,

fyPN

2'x=x020x0

直线PN的方程为：y-l=-A(x-xo),

4xUXc

2

令x=0,得N(0,2-+2),点F(0,1),

4

2

则|NF|二当_+i.

由抛物线定义知IPF|二至-(-1)二立+1,

44

即|PF|二|NF

直线1的方程为y-宣=1(x-xo),

42

22

令x=0,得到y二-①，.•.|TF|二迎+1,

T44

故|NF|=|TF|=|PF|,

•••△PNF为等腰三角形.

故选：C.

点评：本题主要考查了抛物线的定义与性质的运用.考查了学生综合

分析问题的实力，属中档题.

10.定义：若对定义域D内的随意两个X”x2(X1WX2),均有|f(x1)

-f(x2)|V|x「X21成立，则称函数尸f(x)是D上的“平缓函数”.则

以下说法正确的有()

①f(x)=-lnx+x为(0,+8)上的“平缓函数”；

②g(x)=sinx为R上的“平缓函数”

③h(x)=x?-x是为R上的“平缓函数”；

④己知函数尸k(x)为R上的“平缓函数”，若数列｛右｝对Vn£N*总有

IX"i-X』WJ,WJ|k(Xn+1)-k(X1)|<|

(2n+l)

A.0个B.1个C.2个D.3个

考点：抽象函数与其应用；命题的真假推断与应用.

专题：函数的性质与应用；简易逻辑.

分析：对于①②③新定义函数类型的题目，解答时要先充分理解定义:

“平缓函数”才能答题，对于(1)只需依据定义作差：If(x。-f

(x2)I，然后寻求[f(x2)-f(Xi)|W|x2-X』成立的条件.

对于④的解答略微困难一些，此处除了用到放缩外，还有添项减项的

技巧应用与对数列拆项求和的充分利用.

解答：解:对于①|f(xD-f(x2)1=1-lnxi+xi-(-lnx2+x2)|=|ln-^+xi

xi

-X2IW|ln%|+|xi-X2,故均有|f(xi)-f(x2)l<|x「X2|不肯定

xi

成立，

故f(x)=-Inx+x不为(0,+8)上的“平缓函数"，故①错误；

对于②设小(x)=x-sinx,则“'(x)=1-cosx>O,则6(x)=x-

sinx是实数集R上的增函数，

不妨设x】Vx2,则。(Xi)<(X2),即X】-sinx1<X2-sinx2,

则sinx?-sinx】VX2-x”①

又y=x+sinx也是R上的增函数,则xi+sinxl<x2+sinx2,

B[Jsinx2-sinxi>xi-x2,②

由①、②得-(x2-Xi)<sinx2-sinx1<x2-Xi

因此|sinx2-sinx』Vk2-X/，对x【Vx2的实数都成立,

当X]>X2时，同理有Isinx?-sinxil<|x2-xj成立

又当Xi=X2时,不等式Isinx2-sinx1|=|x2-x,|=C,

故对随意的实数Xi,X2^R均有|sinx2-sinx』W|x2-x』

因此sinx是R上的“平缓函数，故②正确

对于③取Xi=3,x2=l,则|h(Xi)-h(x2)|=4>|xi-x2|,因此h(x)

二x2・x不是R上的“平缓函数”，故③错误，

对于④函数y二k(x)为R上的“平缓函数，

则|k(X2)-k(xi)K|x2-XiI,所以ly^i-y"Wlx*1-x］，

因为IXn+l-XnIW-------------(--)，

(2n+l)24-n+1

而|ynr-y』=l(ynn-y„)+(yn-yn-i)+(yn-i-yn-2)+…(y2-yJI

所以lyn+i-y-<|yn+i-y』+|yn-i-yn-2|+-+|y2-yd»

・・.|yn.「y』W』"(1-，)<2,故④正确.

44n+14

故选：C.

点评：本题抽象函数、新定义函数类型的概念，不等式的性质，放缩

法的技巧，对于新定义类型问题，在解答时要先充分理解定义才能答

题，避开盲目下笔，遇到困难才来重头读题，费时费劲，另外要在充

分抓住定义的基础上，对式子的处理要敏捷，各个式子的内在联系耍

充分挖掘出来，可现有结论向上追溯，看看须要哪些条件才能得出结

果，再来寻求转化取得这些条件

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答

题卡相应位置.

11.若(x4)8绽开式中含X?的项的系数为56.

考点：二项式系数的性质.

专题：二项式定理.

分析：写出二项绽开式的通项，由x得指数等于2求得r,则答案可

求.

解答：解：由北X…心〔中8一工

r»1oxo

令8-2r=2,得r=3,

・,•含X?的项的系数为需二56・

U

故答案为：56.

点评：本题考查二项式系数的性质，关键是对通项的记忆与应用，是

基础题.

x-

12.已知实数x,y满意约束条件x+y>l,则z=x+2y的最大值为7.

2x-y<4

考点：简洁线性规划.

专题：不等式的解法与应用.

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到

结论.

解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由z=x+2y得y=-lx+lz,

22

平移直线y二-」x+』z由图象可知当直线y二-lx+2z经过点A时，直线

2222

y二-1x+』z的截距最大，

22

此时z最大，

由，即产3,

2x-y=4(y=2

即A(3,2),此时z=3+2X2=7,

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关

键.

22

13.已知双曲线三-4二1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F”F2,

ab

以FE为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P.若NPFF2=30°,

则该双曲线的离心率为—在+1_.

考点：双曲线的简洁性质.

专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析：先设FR=2c,由题意知△FFJ是直角三角形，利用NPFF2=30°,

求出|PFj、|PF2|,依据双曲线的定义求得a,c之间的关系，则双曲

线的离心率可得.

解答：解：设FF2=2C,由题意知AFF2P是直角三角形，ZPF.F,=30°

，IPF/W^c,IPF2I二c,

_

PFr-|PF2|=V3cc=2a,

.e=U_2二V3+1.

aV3-1

故答案是后1.

点评：本题主要考查了双曲线的简洁性质.考查了学生综合分析问题

和数形结合的思想的运用.

14.已知函数f(x)=asin(ax+0)-b的部分图象如图，其中3>

0,|0|<2L,a,b分别是△ABC的角A,B所对的边，cosOf(&)+1，

22

则△ABC的面积S二亚.

-5—

考点：正弦函数的图象.

专题：三角函数的图像与性质.

分析：依据函数的图象，先求出函数的解析式，结合三角形的面积公

式进行求解即可.

解答：解：由函数的图象可知函数的最大值为a-b二加-1,最小值为

-a-b二-亚-1,

解得a二亚，b=l,

T=7H_3冗=4冗_冗

1~~~8=2'

即函数的周期T二兀，

即2九二JI,

3

BPCO=2,

故f(x)二点sin(2x+0)-1,

・.・f(空)二加sin(2X12L+0)

88

.,.sin(121+0)=1,

4

即空+0=2kJi+2£,

42

即e=2kJT-2L,kez.

4

vI0I<Z,

2

・・・k=o时，0=-2L,

4

故f(x)二亚sin(2x-《)-1,

,cosC=f*)+1»

.*.cosC=V2sin(C-—)-l+l=sinC-cosC,

4

即sinC=2cosC,

平方得sinJC=4cos2C,

5sin0=4,解得sinO&E

5

则AABC的面积S=1bsinC=lx①xix耍华，

故答案为：VK.

5

点评：本题主要考查三角函数解析式的求解，以与三角形面积公式的

计算，依据图象求出三角函数的解析式是解决本题的关键.

15.已知单位向量彳，彳，了两两的夹角均为0（0V。V冗，且0Wg）,

若空间向量W满意；r£/+zE（x,y,z£R），则有序实数组（X,y,z）

称为向量彳在“仿射”坐标系O-xyz（0为坐标原点）下的“仿射”坐

标，记作全（x,y,z）.有下列命题：

□

①已知£（1,3,-2）0,b=（4,0,2）0»则=0;

②已知全（x,y,0）R,b=（0,0,z）1r其中xyzHO,则当且仅当x=y

T-与

时，向量二E的夹角取得最小值；

③已知

a=（X],y[,Z]）&,b=（x2»丫2'Z2）8，则a+b=（X[+X2，丫廿丫？，Z[+z2）g

④已知赢二（1,0,0）1T，/（0,1,0）R,oc=（0,0,1）…则三棱

TTT

锥0-ABC的表面积S二五，其中真命题有②③（写出全部真命题的

序号）

考点：命题的真假推断与应用.

专题：新定义；简易逻辑.

分析：理解仿射坐标的概念，利用空间向量的共线定理与数量积运算

即可求解.

解答：解：①若H（2,0,-1）c»护（1，0,2）c，则a*b=（2]_-

k）*Ci+2k）=2+3l*k-2=3cos0,

V0<o<Ji,且87f：[,2*b^o；

②2二（X,y,0）R,b=（0,0,z）其中xyzHO,向量W的夹角取得

~3~3

最小值，两向量同向

存在实数入＞0,满意7入E，依据仿射坐标的定义，易知②为正确：

③已知券(X”yi,Zi)o,b=(X2,y2,z2)°,则左(xi-x2)T+(yi

-丫2)彳+(Zi-z2)k，

a-b二(X「X2，y「y”Z1-z2^8

@0A=(1,0,0)0E=(0,1,0)e0C=(0,0,1)1r已知，则三棱

T~3~3

锥0-ABC为正四面体，棱长为1,・••表面积为S=4X4X；XIX亨会.

故答案为：②③.

点评：本题主要考察了向量的相关概念，综合性较强，属于中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共80分.解答应写出文字说明，证明

过程或演算步骤.

16.已知A、B分别在射线CM、CN(不含端点C)上运动，ZMCN=-2JI,

q

在aABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.

(I)若a、b、c依次成等差数列，且公差为2.求c的值；

(H)若c=加，ZABC=0,试用()表示△/$€：的周长，并求周长的最

大值.

考点：余弦定理；正弦定理.

专题：解三角形.

分析：(I)由题意可得a二c-4、b=c-2.乂因NMCN二兀，cosC二-3

222

可得a+b-c二一」,，、亘等变形得C2-9C+14=0,再结合C>4,可得C

2ab2

的值.

(II)在aABC中，由正弦定理可得AC=2sin0,BC=2sin(--6).△

3

ABC的周长f(0)=|AC|+|BC|+|AB|=2sin(8+匹)+&.再由

3

eg(o,工)，利用正弦函数的定义域和值域，求得f(0)取得最大

3

值.

解答：解：(I)Ta、b、c成等差，且公差为2,・飞=c-4、b=c-2.

XVZHCN=iK，cosC=-f

•a2+b2_c2__1•(c-4)2+(C-2)2_C2__1

2^b~~~~22(c-4)(c-2)2f

恒等变形得c2-9c+14=0,解得c=7,或c=2.

又；c>4,.*.c=7.…(6分)

(11)在4413(：中，由正弦定理可得y二_单

sinZABCsinZBACsinZACB

ACBC

=2»AC_2sin°,BC=2sin(--B).

esinB".九—Q.2九

sm(--W)sinr^-3

•••△ABC的周长f(0)=|AC|+|BC|+|AB|=2sine+2sin(工-0)+«

3

=zgsinB+坐cos8]+V?2sin(8+£)+加,…(1。分)

又・.・0£(o,5),Y<e吟<W，

JJJJ

・••当eTJ,即8』时.，f(0)取得最大值2+加.…(12分)

326

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域

和值域，属于中档题.

17.某个海边旅游景点，有小型游艇出租供游客出海游玩，收费标准

如下：租用时间不超过2小时收费100,超过2小时的部分按每小时

100收取（不足一小时按一小时计算）.现甲、乙两人独立来该景点租

用小型游艇，各租一次.设甲、乙租用不超过两小时的概率分别为L

Vq

工租用2小时以上且不超过3小时的概率分别为11,且两人租用的

223

时间都不超过4小时.

（I）求甲、乙两人所付费用相同的概率：

（II）设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量求g的分布列与

数学期望.

考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量与其分布列.

专题：概率与统计.

分析：（I）首先求出两个人租车时间超过三小时的概率，甲乙两人

所付的租车费用相同即租车时间相同：都不超过两小时、都在两小时

以上且不超过三小时和都超过三小时三类求解即可.

（II）随机变量&的全部取值为200,300,400,500,600,由独立事

务的概率分别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可.

解答：解：（I）甲、乙所付费用可以为100、200元、300元…（1

分）

甲、乙两人所付费用都是100元的概率为…（2分）

甲、乙两人所付费用都是200元的概率为…（3分）

甲、乙两人所付费用都是300元的概率为

p=(1----)x(1---—)」

1322336

故甲、乙两人所付费用相等的概率为p二…(6分)

1/J36

(II)随机变量g的取值可以为200,300,400,500,600…(7分)

P(€=200)=-lx』」

236

P(=400)=(1----)xl+(1-A-A)

2323332236

P(€=500)=lx(i-l-l)+(i-A-1)xl=A

22323336

P(1=600)=(i-1-l)x(1-1-1)4

232336

故&的分布列为：

€200300400500600

p213H_5

-636363636

…(11分)

J&的数学期望是Eg二200'1300'誉400义务500*枭600X、3503

636363636

(13分)

点评：本题考查独立事务、互斥事务的概率、离散型随机变量的分布

列和数学期望，考查利用所学学问解决问题的实力.属于中档题型.

18.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，NBCD=120°,A四PC=2,

AP二BP二表.

(I)求证：AB1PC：

（II）在线段AD上是否存在点Q,使得直线CQ和平面BCP所成角0的

正弦值为2G?若存在，请说明点Q位置；

7

若不存在，请说明不存在的理由.

考点：直线与平面所成的角；棱锥的结构特征.

专题：空间位置关系与距离；空间向量与应用.

分析：（I）取AB的中点0,连接P0,CO,AC；证明AB_L平面PCO

即可；

（II）依据题意，以0为坐标原点，以0C,OB,0P为x轴，y轴，z

轴建立空间直坐标系0-xyz,

求出平面BCP的一个法向量，假设存在点Q满意题意，求满意条件的

点Q坐标是否存在.

解答：解：（I）证明：取AB的中点0,连接P0,CO,AC；…（1分）

VAP=BP,AP01AB；…（2分）

又四边形ABCD是菱形，且NBCD=120°,

•••△ACB是等边三角形，・・・CO_LAB；

又CO门P0=0,平面PCO；—（4分）

又PCu平面PCO,.\AB_LPC；…（5分）

(II)由AB二PC二2,AP二BP二血，得P0=1,OC=VS，

/.OP^OC'-PC%OP±OC；•・・(6分)

以0为坐标原点，以OC,OB,0P分别为x轴，y轴，z轴建立空间直

坐标系0-xyz,

则B（0,1,0）,C（5，0,0）,P（0,0,1）,D（近，-2,0）,

BC=（73»-1,0），PC=（«,0,-1）yAD=（V3，7,0）；…（7

分）

设平面BCP的一个法向量为W二（1,b,c），则WjL玩，nlBC，

.[n*PC=V3-c=0

n・BCR5-b二。

**,n=（1,V3»V3）（10分）

假设存在点Q满意题意，设Q（a,b,0）,

・・,点Q在线段AD上，则设而二人标（a,b+1,0）二入（近，-1,0）,

解得Q（尺,-1-入，0）,

,,CQ=（V5入--1-入，0）；…（11分）

依题意sine二cos〈而，\〉-，可与,

ICQl-lnl7

代入解得人」；

2

・•・存在点Q满意题意，点Q为AD中点.…（13分）

点评：本题考查了空间中的位置关系的应用问题，也考查了空间向量

的应用问题，考查了空间想象实力与逻辑思维实力的应用问题，是综

合性题目.

19.己知椭圆C：(a>b>0)的中心为0,右顶点为A,在线

ab

段0A上随意选定一点M(m,0)(0<m<2),过点M作与x轴垂直的直

线交C于P,Q两点.

(I)若椭圆C的长半轴为2,离心率立，

2

(i)求椭圆C的标准方程；

(ii)若点N在0M的延长线上,且|0M|,|0A|,|0N|成等比数

列，试证明直线PN与C相切；

(II)试猜想过椭圆乂+£=1(a>b>0)上一点G(x0,y0)(x0>0,

ab

yo>0)的切线方程的一种方法，再加以证明.

考点：直线与圆锥曲线的综合问题.

专题：等差数列与等比数列；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方

程.

分析：(I)(i)运用椭圆的离心率公式和a,b,c的关系，计算

即可得到椭圆方程；

(H)运用等比数列的性质，求得P,N的坐标，求出直线PN的方程,

代入椭圆方程，计算判别式，即可得到直线PN与C相切；

(II)在x轴上取点N(S,0)，连结GN,则直线GN为点G处的切线

xo

方程.设直线GN的方程为：产k(x-S)，代入椭圆方程，计算判别

xo

式为0,即可得到切线方程.

解答:解：(I)(i)因为a=2,星彦，

a2

所以a=2,c=V2,b=V2»

所以椭圆C的标准方程为：［+［二1.

(ii)由已知条件得:|0M|=l,|OA|=2,

设P(1,y),则所以P(i,土当).

因为|OM|,|0A|,|0N|成等比数列,

所以|OA「二|OM||ON|,即|ON|二黑台4,所以N(4,0).

直线PN的方程为：尸土坐(x-4)代入椭圆C：彳+晨1，

642

整理得:x2-2x+l=0.

因为△=4-4=0,

所以直线PN与C相切.

(II)在x轴上取点N(£,0)，连结GN,则直线GN为点G处的切线

xo

方程.

证明：设直线GN的方程为：y=k(x-^)(其中k，°2二铲与).

x

0_a_x0-a

x。xY0

222

把产k(x-^-)代入二+y1(a>b>0)，

x0a2b2

整理得：(b?+a2k2)x2-^!kx+M~-a2b2工，

x0xj

判别式△二门4

22

因为点G在椭圆C上，所以T+之二1，…(2)

ab

式

判别

明以直线GN为所求的切线.

点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方

程的运用，留意直线方程和椭圆方程联立，运用判别式为0,考查化简

整理的运算求解实力，属于中档题.

20.已知函数f(x)=x|Inx-a|,a£R.

(I)当好1时-，试求f(x)的单调区间；

(II)若对随意的a22,方程f(x)=x+b恒有三个不等根，试求实数

b的取值范围.

考点：分段函数的应用；根的存在性与根的个数推断.

专题：函数的性质与应用；导数的综合应用.

分析：(I)当a=l时，f(x)rllnx-lljx-xlnx'*<上利用导

[xlnx-x,x/e

数法，可求f(x)的单调区间；

(II)利用导数法，可得f(x)在(0,ea-2)上递增，在(C-2,/)

上递减，在(e",+8)上递增，若方程f(x)=x+b有三个不等根，则

必需在(0,e1))上有两个不等根，在(e“，十8)上有一个根.分类探

讨后，可得实数b的取值范围.

解答：解：(I)Sa=lBt,f(X)=x|lnx-l|=(X"XlnX，

当0<x<e时，f>(x)=-Inx,可得f(x)在(0,1)上递增，在(1,

e)上递减；

当x2c时，f'(x)=lnx,可得f(x)在(c,+8)上递增.

\.fax-xlnx,0<x<e®

(zITIT)f(x)=|lnx-a|=，

xxlnx-ax,x)/

当0<xVe"时，f'(x)=a-1-Inx,

当时，f'(x)=lnx+l-a,

a2a

・・・f(x)在(0,e-)上递增，在(3*,/)上递减，在(e,+8)

上递增.

若方程f(x)=x+b有三个不等根，则必需在(0,ea)上有两个不等根,

在(e:1,+8)上有一个根.

①当OVxVe"时，令g(x)=f(x)-(x+b),则g'(x)=-lnx+a

-2；令g'(x)=0,得x=e"Y.

所以当OVxVe…时，g(x)是增函数，当。“7VxVe"时，g(x)是

减函数，所以若g(x)在(0,e)上有两个不等根，此时应满意

a2a2

fg(e_)=e--b>0俎―

aa

g(e)=-e-b<0

又因为当x-0时，可得k>0,所以0<bVei.

②当x>e"时，令h(x)=f(x)-(x+k),贝Uh'(x)=lnx-a；令

h'(x)=0,得x=e".

所以当x>3时，h(x)是增函数.所以若h(x)在(ea,+8)上有

一个根，则应满意g(不)=-e-kVO,解得b>-e>

由①、②可得，OVbVcF

又对于随意的a22,方程f(X