高中数学不等式知识点

不等式

知识点归纳：

一、不等式的概念与性质

1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系：

a>ba—h>0a<hoa-h<0a=b<^>a-h=0

2、不等式的性质：

（1）a>b<^b<a,a<bob>a（反对称性）

（2）a>b,b>c=a>c,a<b,b<c=>a<c（传递性）

（3）a>bna+c>b+c,故Q+〃>c=>a>（移项法则）

推论：a>b,c>dna+c>b+d（同向不等式相加）

（4）a>b,c>0=>ac>be9a>b,c<0^>ac<hc

推论1：a>b>O,c>d>0ac>hd

推论2：a>b>0=a">b"

推论3：”">0=标>物

不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟

练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。

3、常用的基本不等式和重要的不等式

（1）aeR,a2>0,|a|>0当且仅当a=0,取“="

（2）eR,贝!]/+〃N2aZ?

（3）a,beR+,则a+

4、最值定理：设>0,由x+y22A向

（1）如积孙=P（定值），则积v+y有最小值2"

（2）如积x+y=S（定值），则积冲有最大值（1）2

即：积定和最小，和定积最大。

运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等.

5、均值不等式：

两个正数的均值不等式：—

2

三个正数的均值不等是：a+b+c>^

3

n个正数的均值不等式：1+生+…234%…明

6、.四种均值的关系：两个正数。、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、

均方根之间的关系是

112

a+b

小结:在不等式的性质中，要特别注意下面4点：

1、不等式的传递性：若a>b,b>c,则a>c,这是放缩法的依据，在运用传递

性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明a>c,选择中间量

b,在证出a>b,c>b,后，就误认为能得到a>Co

2、同向不等式可相加但不能相减，即由a〉b,c〉d,可以得出a+c>b+d,

但不能得a—c>b—do

3、不等式两边同时乘以一个数或式时，只有该数或式保证为正，才能得到

同向的不等式，否则不能保证所乘之数或式为正，则不等式两边同时乘以该数或

式后不能确定不等式的方向；不等式两边同偶次乘方时，也要特别注意不等式的

两边必须是正。

不等式的应用范围十分广泛，在数学中，诸如集合问题，方程（组）的解的讨

论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解

析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，

最终都可归结为不等式的求解或证明。

二、不等式的证明方法

（1）比较法：作差比较：A-B<Q^A<B

作差比较的步骤：

①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。

②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。

③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。

注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。

（2）综合法：由因导果.由已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不

等式，直到推导出前面的不等式。常用的基本不等式有①均值不等式；②若

,a<b,则一v-----；③若R,则|。|一|/?区|。±/〈|々|+|匕|；④

bb+m

柯西不等式这她）24这吮

/=1/=1i=\

（3）分析法：执果索因.基本步骤：要证...只需证....，只需证....

①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以

利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。

(4)反证法：正难则反.直接证明难，就用反证。

(5)放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.

放缩法的方法有：

①添加或舍去一些项，如：J/+1>时；(〃+1)>〃；

②将分子或分母放大(或缩小)

③利用基本不等式，

如：Iog3-lg5<(1g3^lg5)2=lgV15<lgV16^lg4；

//八n+(«+l)

+<——-----

④利用常用结论：

I、J%+1—yfk—/----j=<—-7=;

y/k+l+ylk14k

11111111

H、-7<------=---------7>-------=--------(程度大)

k~攵(％—1)k—1kk~Z(Z+1)k攵+1

IIL-----------=-(—......—)；(程度小)

k2k2-l仪-1)/+1)2k-lk+1

(6)换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为

简，常用的换元有三角换元和代数换元。.如：

已知X2+丁=/,可设x=qcos&y=asin8；

已知x2+y2<1,可设x=rcos^,y=rsin(0<r<1)；

已知I+q=1,可设x=acos0,y=bsin0；

a~b

222

已知一一二=1,可设x=asec，,y=Z>tan，；

a'b

(7)构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是

证明不等式的最基本方法。要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当

的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特

点。

数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中专门研究。

例1已知a,beR,且a+b=l。

22

求证：(«+2)+(^+2)>yo

证法一：（比较法）

a.bGR,a+b=1,/.b-1-a

••.（0+2）2+e+2）2—曰=。2+户+4（Q+〃）-g

9ii

=a2+（1—a）2+4—=2a2—2aH—=2（〃—）2>0

222

即1+2）2+0+2）2（当且仅当a=/,=g时，取等号）。

证法二：（分析法）

（4+2）2+（8+2）2>y<=«2+Z?2+4（6Z+/?）+8>y

b=\-a

<=S.251

a2+（1-a）92+4+8>—<=（«——）92>0

I22

因为显然成立，所以原不等式成立。

点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的

充分条件。

证法』：（综合法）由上分析法逆推获证（略）。

证法四：（反证法）假设（a+2）2+S+2）2<*,

2

2s

贝Ua2+Z?2+4（a+/?）+8<—o

2

25

由a+b=1,得b=l—于是有/+（1—。）？+12<二.

2

所以（。-'）2<0,

2

这与［一，1N0矛盾。

I2J

所以（a+2）2+0+2）22三。

证法五：（放缩法）a+b=1

i__|2

./\2/、2（。+2）+（。+2）~

・•・左边=（。+2）+（。+2）-22----——L

=；［（4+8）+4丁=g=右边。

点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=l这个特点，选用基本不等式

2,2、/a+b\

a+b->2----o

2

证法六：(均值换元法)\'a+b=\,

所以可设〃='b=--t9

22

>>11

，左边=(a+2)-+(。+2)=(5+/+2)2+(5-1+2)2

(5丫(5丫-2525_*』

=[/+/]+[,—万)=2厂H————

当且仅当t=0时，等号成立。

点评：形如a+b=l结构式的条件，一般可以采用均值换元.

证法七：(利用一元二次方程根的判别式法)

设y=(a+2)2+(b+2¥，

由a+b=1,有y—(a+2)~+(3—a)~——2a~—2a+13,

所以2a2—2a+13-y=0,

因为aeR,所以△=4—4・2・(13—y)20,BPy>yo

故(a+2)2+0+2)2»至

o

mic,、beacab、.

例］2a,b,c>0,:1------1-----N。+Z?+c0

abc

证：生+半N2c,同样地，利用均值不等式，我们可以得到

ab

~bcacab、、、/heacah.

2(----1------F——)>2(a+〃7+cx),R即n——H------1----->a+b-\-c

abcabco

例3已知九,y>0,元+y=1,(1+—)(1+—)>9。

证：(l+-)(l+-)=(l+^-)(l+^-)=4+^+—+1>9

xyxyxy

例4已知。，力,c>O,a+h+c=l,求J3a+1+j3/?+l+J3c+1的最大值。

解：由题可得而•尾▼当且仅当3川=2即”;时等式成立。

同理，可得/(V§*T+国斤+疡日)W迎土等9=6；

故而可知其最大值为6.

例5已知x+y+z=l,求证Y++

证：令。+/?+/=0,且x=-+a,y=-+/7,z=一+7,于是

x2+y2+z2=I+1(a++/)+(a2++/2)=^+(a2++/2)>|o

例6已知〃是正整数，求证:3+上+上+..+3<3

证：当〃>2时，有

1222

_________________________________________________

〃3ny[n+nyl~n—1+(十一1)册VnVn-1(+Vn-1)

于是

苏+9+苏+…+g<l+2(+W)+2(专-2)+…+2(岩—白)=3—喘<3

小结：

1、掌握好不等式的证明，不等式的证明内容甚广，证明不但用到不等式的

性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面。如与数

列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程,

一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制

约，这些也是近年命题的重点。

2、在不等式证明中还要注意数学方法，如比较法（包括比差和比商）、分析

法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要注意一些数学技巧，如数形结合、放

缩、分类讨论等。

3、比较法是证明不等式最常用最基本的方法.当欲证的不等式两端是多项式

或分式时，常用差值比较法.当欲证的不等式两端是乘积的形式或幕指不等式时

常用商值比较法，即欲证a>b,（a>0,b>0）可证8>1

b

4、基本思想、基本方法：

⑴用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本

方法。

⑵用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决

数学问题的一种重要的数学思想方法。

⑶“分析法”证明不等式就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断利

用充分条件或者充要条件替换前面的不等式，直至找到显然成立的不等式，书写

方法习惯上用“<=”来表达.分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，

两个重要策略原则是：

正难则反原则：若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探

索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯。

简单化原则：寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题,

在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一

个较易证明的不等式。

⑷凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法。

⑸换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，

可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题。

⑹含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二

次式时，这时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件。

⑺有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到

有的放矢，注意放缩适度。

三、解不等式

1、解不等式问题的分类

(D解一元一次不等式

⑵解一元二次不等式

(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式

①解一元高次不等式；

②解分式不等式；

③解无理不等式；

④解指数不等式；

⑤解对数不等式；

⑥解带绝对值的不等式；

⑦解不等式组

2、解不等式时应特别注意下列几点：

(1)正确应用不等式的基本性质

(2)正确应用寻函数、指数函数和对数函数的增、减性

(3)注意代数式中未知数的取值范围

3、不等式的同解性

f(x)>0f(x)<0

(l)f(x)-g(x)>0与<IIV<八同解.

g(x)>0一gx)<0

f(x)>0f(x)<0

(2)f(x)•虱刈<0与<g(x)<0S同解.

g(x)>0

⑶黑＞°与'f(x)>0-f(x)＜0

ny<g⑶＜。同解♦(驱产。)

,g(x)>0一

⑷"与f(x)>0f(x)<0"

ny<g(x)>。同解.3)*0)

g(x)<0一

(5)|f(x)|Vg(x)与一g(x)<f(x)<g(x)同解.(g(x)>0)

(6)If(x)|>g(x)与

①f(x)>g(x)或f(x)V—g(x)(其中g(x)20)；②g(x)<0同解

f(x)>[g(x)]2

f(x)20

⑺廊J>g(x)与彳f(x)20或则〈。同姓

g(x)2O

上*解.

(8)同〈8汽)与＜

f(x)2O

(9)当a>l时，户>产与f(x)>g(x)同解，

当OVaVl时，产>产与f(x)Vg(x)同解.

(10)当a>l时，logaf(x)>logag(x有｛同解.

f(x)<g(x)

当OVaVl时，logjaiAogaglx)与f(x)>0同解.

g(x)>0

4、零点分段法：高次不等式与分式不等式的简洁解法

步骤：①形式：名油>。一移项，通分(不轻易助母)

②首项系数符号>0——标准式，若系数含参数时，须判断或讨论系数的符

号，化负为正

③判断或比较根的大小

小结：

1、带等号的分式不等式求解时，要注意分母不等于0,二次函数

y=ax2+/?x+c的值恒大于0的条件是a>0且△<0；若恒大于或等于0,则a>0

且AWO。若二次项系数中含参数且未指明该函。.是二次函数时，必须考虑二次

项系数为0这一特殊情形。

2、忽略对定义域的考虑以及变形过程的不等价，是解无理不等式的常见错误,

因此要强化对转化的依据的思考。

3、数形结合起来考虑，可以简化解题过程，特别是填空、选择题，还可利用

图形验证，解题的结果。

4、解指数、对数不等式的过程中常用到换元法。底数是参数时，须不重不漏

地分类讨论。化同底是解不等式的前提.取对数也是解指数、对数不等式的常用

方法之一，在取对数过程中，特别要注意必须考虑变量的取值范围。当所取对数

的底数是字母时，随时要把“不等号是否变向”这一问题斟酌再三。

5、解含参数的不等式时，必须要注意参数的取值范围，并在此范围内对参数

进行分类讨论。分类的标准要通过理解题意(例如能根据题意挖掘出题目的隐含

条件)，根据方法(例如利用单调性解题时，抓住使单调性发生变化的参数值)，

按照解答的需要(例如进行不等式变形时必须具备的变形条件)等方面来决定，

要求做到不重复、不遗漏。

四、含绝对值的不等式

1、解绝对值不等式的基本思想:解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，常采用

的方法是讨论符号和平方。

2、注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题.

I|a|一|b||<|a+b|<|a|+|b|;||a|一|b||ga-b|<|a|+|b|;并指出等号条

件。

3、(1)|f(x)|<g(x)<=>—g(x)<f(x)<g(x);

（2）|f（x）|>g（x）of（x）〉g（x）或f（x）<—g（x）.（无论g（x）是否为正）。

（3）含绝对值的不等式性质（双向不等式）

时士网业土张时+网

左边在ah<（）（>0）时取得等号，右边在ah>0（<0）时取得等号。

五、简单的线性规划问题

1、二元一次不等式表示平面区域：

在平面直角坐标系中，已知直线1产好信0,坐标平面内的点尸（的，必）。

B>Q时，①而《+砌）+6>0,则点P（毛，%）在直线的上方；②/荀+8%+CV0,则

点尸（及，必）在直线的下方。

对于任意的二元一次不等式力广册00（或V