人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：3 2 2 第二课时 双曲线的方程及性质的应用学案

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE1第二课时双曲线的方程及性质的应用课标要求素养要求1.理解直线与双曲线的位置关系.2.会求解有关弦长问题.通过运用双曲线的方程与性质解决问题，提升逻辑推理及数学运算素养.新知探究上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题.问题类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？〖提示〗有三种位置关系，分别为相交、相切、相离三种情况.1.直线与双曲线位置关系的判断当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线不一定相切设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，②将①代入②，得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.a.当b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点.b.当b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)，Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切；Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离.2.设弦两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线的斜率为k，则弦长|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)(k≠0).拓展深化〖微判断〗1.过点A(1，0)作直线l与双曲线x2－y2＝1只有一个公共点，则这样的直线可作2条.(×)〖提示〗过A(1，0)作直线l与双曲线只有一个公共点这样的直线可作3条.两条平行于渐近线，一条与双曲线相切.2.直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点.(√)〖微训练〗1.若直线y＝kx与双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1相交，则k的取值范围为________.〖解析〗把y＝kx代入eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1，由Δ>0求得.〖答案〗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(2,3)))2.过双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.〖解析〗由双曲线方程可得右焦点为(2，0)，渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，把x＝2代入渐近线方程，得y＝±2eq\r(3)，故|AB|＝4eq\r(3).〖答案〗4eq\r(3)〖微思考〗如何判断直线与双曲线的位置关系？〖提示〗将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定.题型一直线与双曲线位置关系的判断〖例1〗已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试分别确定满足下列条件的实数k的取值范围.(1)直线l与双曲线有两个不同的公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点.解联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝4，,y＝k（x－1），))消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－3k2>0，,1－k2≠0))得－eq\f(2\r(3),3)<k<eq\f(2\r(3),3)且k≠±1，此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点.(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－3k2＝0，,1－k2≠0))得k＝±eq\f(2\r(3),3)，此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线l与双曲线有且只有一个公共点；当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点.故当k＝±eq\f(2\r(3),3)或±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点.(3)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－3k2<0，,1－k2≠0))得k<－eq\f(2\r(3),3)或k>eq\f(2\r(3),3)，此时方程(*)无实数解，即直线l与双曲线无公共点.规律方法(1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论.〖训练1〗已知双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k.解(ⅰ)当直线l的斜率不存在时，l：x＝1与双曲线相切，符合题意.(ⅱ)当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.当4－k2＝0时，k＝±2，l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝eq\f(5,2).综上，k＝eq\f(5,2)或k＝±2或k不存在.题型二弦长公式及中点弦问题〖例2〗过双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的左焦点F1作倾斜角为eq\f(π,6)的弦AB，求|AB|的长.解易得双曲线的左焦点为F1(－2，0)，∴直线AB的方程为y＝eq\f(\r(3),3)(x＋2)，与双曲线方程联立，消y得8x2－4x－13＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(1,2)，x1x2＝－eq\f(13,8)，∴|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,3))×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,8))))＝3.规律方法双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围.〖训练2〗已知双曲线的方程为x2－eq\f(y2,2)＝1.试问：双曲线上是否存在被点B(1，1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由.解法一设被点B(1，1)所平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－eq\f(y2,2)＝1，得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，∴Δ＝〖－2k(k－1)〗2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0，解得k<eq\f(3,2).设弦的两端点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(2k（k－1）,k2－2).∵点B(1，1)是弦的中点，∴eq\f(k（k－1）,k2－2)＝1，∴k＝2>eq\f(3,2).故双曲线上不存在被点B(1，1)所平分的弦.法二设双曲线上存在被点B平分的弦MN，且点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,1)－\f(yeq\o\al(2,1),2)＝1，①,xeq\o\al(2,2)－\f(yeq\o\al(2,2),2)＝1.②))由①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－eq\f(1,2)(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴kMN＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝2，∴直线MN的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,x2－\f(y2,2)＝1))消去y，得2x2－4x＋3＝0.又Δ＝－8<0，∴直线MN与双曲线不相交，故双曲线上不存在被点B平分的弦.题型三直线与双曲线位置关系的综合问题〖例3〗已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(eq\r(3)，0).(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋eq\r(2)与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))>2(其中O为坐标原点)，求实数k的取值范围.解(1)设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0).由已知得a＝eq\r(3)，c＝2，所以b＝1.故所求双曲线的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1.(2)将y＝kx＋eq\r(2)代入eq\f(x2,3)－y2＝1，可得(1－3k2)x2－6eq\r(2)kx－9＝0，由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－3k2≠0，,Δ＝72k2＋4（1－3k2）×9>0，))解得k2≠eq\f(1,3)且k2<1.①设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(6\r(2)k,1－3k2)，x1x2＝eq\f(－9,1－3k2).由eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))>2，得x1x2＋y1y2>2.而x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋eq\r(2))(kx2＋eq\r(2))＝(k2＋1)x1x2＋eq\r(2)k(x1＋x2)＋2＝(k2＋1)×eq\f(－9,1－3k2)＋eq\r(2)k·eq\f(6\r(2)k,1－3k2)＋2＝eq\f(3k2＋7,3k2－1).所以eq\f(3k2＋7,3k2－1)>2，解得eq\f(1,3)<k2<3.②由①②得－1<k<－eq\f(\r(3),3)或eq\f(\r(3),3)<k<1，故实数k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(\r(3),3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))规律方法解决综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题进行化归，然后利用直线与双曲线位置关系进行求解.〖训练3〗设A，B为双曲线x2－eq\f(y2,2)＝1上的两点，线段AB的中点为M(1，2).求：(1)直线AB的方程；(2)△OAB的面积(O为坐标原点).解(1)显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，即y＝kx＋2－k.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2－k，,x2－\f(y2,2)＝1))消去y，整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(k（2－k）,2－k2)(2－k2≠0)，解得k＝1.当k＝1时，满足Δ>0，∴直线AB的方程为y＝x＋1.(2)由(1)得x1＋x2＝2，x1x2＝－3，∴|AB|＝eq\r(2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(2)×eq\r(4＋12)＝4eq\r(2).又点O到直线AB的距离d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴S△AOB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×4eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝2.一、素养落地1.通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养.2.双曲线的综合问题常常涉及离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力.(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解.(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.二、素养训练1.双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的焦点到渐近线的距离为()A.2eq\r(3) B.2C.eq\r(3) D.1〖解析〗∵双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的一个焦点为F(4，0)，其中一条渐近线方程为y＝eq\r(3)x，∴点F到直线eq\r(3)x－y＝0的距离为eq\f(4\r(3),2)＝2eq\r(3).〖答案〗A2.“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件〖解析〗直线与双曲线有唯一交点时，直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线平行时)；直线与双曲线相切时，直线与双曲线一定有唯一交点.〖答案〗B3.直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是()A.(1，2) B.(－2，－1)C.(－1，－2) D.(2，1)〖解析〗将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(－2,2)＝－1，纵坐标为－1－1＝－2.故选C.〖答案〗C4.过点A(3，－1)且被A点平分的双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1的弦所在的直线方程是________.〖解析〗易知所求直线的斜率存在，设为k，则该直线的方程为y＋1＝k(x－3)，代入eq\f(x2,4)－y2＝1，消去y得关于x的一元二次方程(1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0(4－4k2≠0)，∴－eq\f(24k2＋8k,1－4k2)＝6，∴k＝－eq\f(3,4)(满足Δ>0)，∴所求直线方程为3x＋4y－5＝0.〖答案〗3x＋4y－5＝05.过双曲线x2－eq\f(y2,2)＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则满足条件的直线l有________条.〖解析〗设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝eq\r(3)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)，,x2－\f(y2,2)＝1))得y＝±2，∴|AB|＝|y1－y2|＝4，满足题意.当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－eq\r(3))，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－\r(3)），,x2－\f(y2,2)＝1))得(2－k2)x2＋2eq\r(3)k2x－3k2－2＝0.当2－k2≠0时，x1＋x2＝eq\f(2\r(3)k2,k2－2)，x1x2＝eq\f(3k2＋2,k2－2)，|AB|＝eq\r(1＋k2)eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3)k2,k2－2)))\s\up12(2)－\f(12k2＋8,k2－2))＝eq\r(1＋k2)eq\r(\f(16（k2＋1）,（k2－2）2))＝eq\f(4（1＋k2）,|k2－2|)＝4，解得k＝±eq\f(\r(2),2).故满足条件的直线l有3条.〖答案〗3第二课时双曲线的方程及性质的应用课标要求素养要求1.理解直线与双曲线的位置关系.2.会求解有关弦长问题.通过运用双曲线的方程与性质解决问题，提升逻辑推理及数学运算素养.新知探究上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题.问题类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？〖提示〗有三种位置关系，分别为相交、相切、相离三种情况.1.直线与双曲线位置关系的判断当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线不一定相切设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，②将①代入②，得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.a.当b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点.b.当b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)，Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切；Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离.2.设弦两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线的斜率为k，则弦长|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)(k≠0).拓展深化〖微判断〗1.过点A(1，0)作直线l与双曲线x2－y2＝1只有一个公共点，则这样的直线可作2条.(×)〖提示〗过A(1，0)作直线l与双曲线只有一个公共点这样的直线可作3条.两条平行于渐近线，一条与双曲线相切.2.直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点.(√)〖微训练〗1.若直线y＝kx与双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1相交，则k的取值范围为________.〖解析〗把y＝kx代入eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1，由Δ>0求得.〖答案〗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(2,3)))2.过双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.〖解析〗由双曲线方程可得右焦点为(2，0)，渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，把x＝2代入渐近线方程，得y＝±2eq\r(3)，故|AB|＝4eq\r(3).〖答案〗4eq\r(3)〖微思考〗如何判断直线与双曲线的位置关系？〖提示〗将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定.题型一直线与双曲线位置关系的判断〖例1〗已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试分别确定满足下列条件的实数k的取值范围.(1)直线l与双曲线有两个不同的公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点.解联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝4，,y＝k（x－1），))消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－3k2>0，,1－k2≠0))得－eq\f(2\r(3),3)<k<eq\f(2\r(3),3)且k≠±1，此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点.(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－3k2＝0，,1－k2≠0))得k＝±eq\f(2\r(3),3)，此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线l与双曲线有且只有一个公共点；当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点.故当k＝±eq\f(2\r(3),3)或±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点.(3)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－3k2<0，,1－k2≠0))得k<－eq\f(2\r(3),3)或k>eq\f(2\r(3),3)，此时方程(*)无实数解，即直线l与双曲线无公共点.规律方法(1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论.〖训练1〗已知双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k.解(ⅰ)当直线l的斜率不存在时，l：x＝1与双曲线相切，符合题意.(ⅱ)当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.当4－k2＝0时，k＝±2，l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝eq\f(5,2).综上，k＝eq\f(5,2)或k＝±2或k不存在.题型二弦长公式及中点弦问题〖例2〗过双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的左焦点F1作倾斜角为eq\f(π,6)的弦AB，求|AB|的长.解易得双曲线的左焦点为F1(－2，0)，∴直线AB的方程为y＝eq\f(\r(3),3)(x＋2)，与双曲线方程联立，消y得8x2－4x－13＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(1,2)，x1x2＝－eq\f(13,8)，∴|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,3))×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,8))))＝3.规律方法双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围.〖训练2〗已知双曲线的方程为x2－eq\f(y2,2)＝1.试问：双曲线上是否存在被点B(1，1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由.解法一设被点B(1，1)所平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－eq\f(y2,2)＝1，得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，∴Δ＝〖－2k(k－1)〗2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0，解得k<eq\f(3,2).设弦的两端点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(2k（k－1）,k2－2).∵点B(1，1)是弦的中点，∴eq\f(k（k－1）,k2－2)＝1，∴k＝2>eq\f(3,2).故双曲线上不存在被点B(1，1)所平分的弦.法二设双曲线上存在被点B平分的弦MN，且点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,1)－\f(yeq\o\al(2,1),2)＝1，①,xeq\o\al(2,2)－\f(yeq\o\al(2,2),2)＝1.②))由①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－eq\f(1,2)(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴kMN＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝2，∴直线MN的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,x2－\f(y2,2)＝1))消去y，得2x2－4x＋3＝0.又Δ＝－8<0，∴直线MN与双曲线不相交，故双曲线上不存在被点B平分的弦.题型三直线与双曲线位置关系的综合问题〖例3〗已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(eq\r(3)，0).(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋eq\r(2)与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))>2(其中O为坐标原点)，求实数k的取值范围.解(1)设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0).由已知得a＝eq\r(3)，c＝2，所以b＝1.故所求双曲线的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1.(2)将y＝kx＋eq\r(2)代入eq\f(x2,3)－y2＝1，可得(1－3k2)x2－6eq\r(2)kx－9＝0，由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－3k2≠0，,Δ＝72k2＋4（1－3k2）×9>0，))解得k2≠eq\f(1,3)且k2<1.①设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(6\r(2)k,1－3k2)，x1x2＝eq\f(－9,1－3k2).由eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))>2，得x1x2＋y1y2>2.而x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋eq\r(2))(kx2＋eq\r(2))＝(k2＋1)x1x2＋eq\r(2)k(x1＋x2)＋2＝(k2＋1)×eq\f(－9,1－3k2)＋eq\r(2)k·eq\f(6\r(2)k,1－3k2)＋2＝eq\f(3k2＋7,3k2－1).所以eq\f(3k2＋7,3k2－1)>2，解得eq\f(1,3)<k2<3.②由①②得－1<k<－eq\f(\r(3),3)或eq\f(\r(3),3)<k<1，故实数k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(\r(3),3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))规律方法解决综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题进行化归，然后利用直线与双曲线位置关系进行求解.〖训练3〗设A，B为双曲线x2－eq\f(y2,2)＝1上的两点，线段AB的中点为M(1，2).求：(1)直线AB的方程；(2)△OAB的面积(O为坐标原点).解(1)显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，即y＝kx＋2－k.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2－k，,x2－\f(y2,2)＝1))消去y，整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(k（2－k）,2－k2)(2－k2≠0)，解得k＝1.当k＝1时，满足Δ>0，∴直线AB的方程为y＝x＋1.(2)由(1)得x1＋x2＝2，x1x2＝－3，∴|AB|＝eq\r(2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(2)×eq\r(4＋12)＝4eq\r(2).又点O到直线AB的距离d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴S△AOB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×4eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝2.一、素养落地1.通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养.2.双曲线的综合问题常常涉及离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力.(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解.(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.二、素养训练1.双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的焦点到渐近线的距离为()A.