人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：1 4 1 第3课时 空间中直线、平面的垂直学案

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE3第3课时空间中直线、平面的垂直学习目标熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系．知识点一线线垂直的向量表示设u1，u2分别是直线l1,l2的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.知识点二线面垂直的向量表示设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.知识点三面面垂直的向量表示设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.1．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥α B．l⊥αC．l⊂α D．l与α斜交〖答案〗B〖解析〗∵n＝－2a，∴a∥n，即l⊥α.2．已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为a＝(3λ＋1,0,2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若l1⊥l2，则λ的值为()A．1或－eq\f(1,2) B．1或eq\f(1,2)C．－1或eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)〖答案〗D〖解析〗由题意知，a⊥b，∴3λ＋1＋2λ2＝0，∴λ＝－1或－eq\f(1,2).3．(多选)下列命题中，正确的命题为()A．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥βB．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0C．若n是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面α垂直，则n∥aD．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直〖答案〗BCD〖解析〗A中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知BCD正确．4．平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1,0,5)，v＝(t，5,1)，则t的值为________．〖答案〗5〖解析〗∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量u与平面β的法向量v垂直，∴u·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.一、证明线线垂直问题例1如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC.证明由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B(0,0,0)，A(0，－1，eq\r(3))，D(eq\r(3)，－1,0)，C(0,2,0)，因而Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，－\f(\r(3),2)))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0,2,0)，因此eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.从而eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以EF⊥BC.反思感悟证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．跟踪训练1已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝eq\f(1,4)CC1.求证：AB1⊥MN.证明设AB的中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由已知得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，0))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，\f(1,4)))，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，1))，∵M为BC的中点，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，0)).∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,4)))，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(1,0,1)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)＋0＋eq\f(1,4)＝0.∴eq\o(MN,\s\up6(→))⊥eq\o(AB1,\s\up6(→))，∴AB1⊥MN.二、证明线面垂直问题例2如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：PB⊥平面EFD.证明由题意得，DA，DC，DP两两垂直，所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设DC＝PD＝1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2))).所以eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，－\f(1,2)))，设F(x，y，z)，则eq\o(PF,\s\up6(→))＝(x，y，z－1)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y－\f(1,2)，z－\f(1,2))).因为eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(PB,\s\up6(→))，所以x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z－\f(1,2)))＝0，即x＋y－z＝0.①又因为eq\o(PF,\s\up6(→))∥eq\o(PB,\s\up6(→))，可设eq\o(PF,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②由①②可知，x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(2,3)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(1,6)，\f(1,6))).方法一因为eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝(1,1，－1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))＝0＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝0，所以eq\o(PB,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，所以PB⊥DE，因为PB⊥EF，又EF∩DE＝E，EF，DE⊂平面EFD.所以PB⊥平面EFD.方法二设n2＝(x2，y2，z2)为平面EFD的法向量，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·\o(EF,\s\up6(→))＝0，,n2·\o(DE,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2－\f(1,6)y2＋\f(1,6)z2＝0，,\f(1,2)y2＋\f(1,2)z2＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－z2，,y2＝－z2.))取z2＝1，则n2＝(－1，－1,1)．所以eq\o(PB,\s\up6(→))∥n2，所以PB⊥平面EFD.反思感悟用坐标法证明线面垂直的方法及步骤(1)利用线线垂直①将直线的方向向量用坐标表示．②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量．③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直．(2)利用平面的法向量①将直线的方向向量用坐标表示．②求出平面的法向量．③判断直线的方向向量与平面的法向量平行．跟踪训练2如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.证明设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)．∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)．eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．设平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB1,\s\up6(→))＝2y＋2z＝0，,n·\o(AC,\s\up6(→))＝－2x＋2y＝0，))令x＝1得n＝(1,1，－1)，又eq\o(EF,\s\up6(→))＝－n，∴EF∥n，∴EF⊥平面B1AC.三、证明面面垂直问题例3在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.证明设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2))).方法一连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0)).易知eq\o(AS,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，所以eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AS,\s\up6(→))，所以OE∥AS.又AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD.又OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.方法二设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)．易知eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2)))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1⊥\o(BD,\s\up6(→))，,n1⊥\o(BE,\s\up6(→))，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(BD,\s\up6(→))＝－x＋y＝0，,n1·\o(BE,\s\up6(→))＝－\f(1,2)x＋\f(1,2)y＋\f(1,2)z＝0.))令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1,1,0)．因为AS⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为n2＝eq\o(AS,\s\up6(→))＝(0,0,1)．因为n1·n2＝0，所以平面BDE⊥平面ABCD.反思感悟证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．跟踪训练3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．求证：平面AED⊥平面A1FD1；证明以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2，0,2)，D1(0,0,2)，∴eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(D1A1,\s\up6(→))＝(2,0,0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(2,2,1)，eq\o(D1F,\s\up6(→))＝(0,1，－2)．设平面AED的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(DA,\s\up6(→))＝x1，y1，z1·2，0，0＝0，,n1·\o(DE,\s\up6(→))＝x1，y1，z1·2，2，1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x1＝0，,2x1＋2y1＋z1＝0.))令y1＝1，得n1＝(0,1，－2)．同理，平面A1FD1的一个法向量为n2＝(0,2,1)．∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n1⊥n2，∴平面AED⊥平面A1FD1.1．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是()A．平行 B．垂直C．相交但不垂直 D．无法确定〖答案〗B〖解析〗a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.2．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于()A．4B．－4C．5D．－5〖答案〗D〖解析〗∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5.3．如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E是棱AB的中点，点F(0，y，z)是正方体的面AA1D1D上一点，且CF⊥B1E，则点F(0，y，z)满足方程()A．y－z＝0B．2y－z－1＝0C．2y－z－2＝0D．z－1＝0〖答案〗D〖解析〗E(1,0,0)，B1(2,0,2)，C(2,2,0)，所以eq\o(B1E,\s\up6(→))＝(－1,0，－2)，eq\o(CF,\s\up6(→))＝(－2，y－2，z)，因为CF⊥B1E，所以eq\o(B1E,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝0，即2－2z＝0，即z＝1.4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝eq\r(3)，AD＝2eq\r(2)，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系是________．〖答案〗PM⊥AM〖解析〗以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，依题意可得，D(0,0,0)，P(0,1，eq\r(3))，A(2eq\r(2)，0,0)，M(eq\r(2)，2,0)，所以eq\o(PM,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，2,0)－(0,1，eq\r(3))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，2,0)－(2eq\r(2)，0,0)＝(－eq\r(2)，2,0)，所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))·(－eq\r(2)，2,0)＝0，所以PM⊥AM.5．在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝eq\r(13)，SB＝eq\r(29)，则直线SC与BC是否垂直________．(填“是”“否”)〖答案〗是〖解析〗如图，以A为坐标原点，平行于BC的直线为x轴，AC，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则由AC＝2，BC＝eq\r(13)，SB＝eq\r(29)，得B(－eq\r(13)，2,0)，S(0,0，2eq\r(3))，C(0,2,0)，eq\o(SC,\s\up6(→))＝(0,2，－2eq\r(3))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(－eq\r(13)，0,0)．因为eq\o(SC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，所以SC⊥BC.1．知识清单：(1)线线垂直．(2)线面垂直．(3)面面垂直．2．方法归纳：转化法、法向量法．3．常见误区：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混．第3课时空间中直线、平面的垂直学习目标熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系．知识点一线线垂直的向量表示设u1，u2分别是直线l1,l2的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.知识点二线面垂直的向量表示设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.知识点三面面垂直的向量表示设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.1．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥α B．l⊥αC．l⊂α D．l与α斜交〖答案〗B〖解析〗∵n＝－2a，∴a∥n，即l⊥α.2．已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为a＝(3λ＋1,0,2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若l1⊥l2，则λ的值为()A．1或－eq\f(1,2) B．1或eq\f(1,2)C．－1或eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)〖答案〗D〖解析〗由题意知，a⊥b，∴3λ＋1＋2λ2＝0，∴λ＝－1或－eq\f(1,2).3．(多选)下列命题中，正确的命题为()A．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥βB．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0C．若n是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面α垂直，则n∥aD．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直〖答案〗BCD〖解析〗A中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知BCD正确．4．平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1,0,5)，v＝(t，5,1)，则t的值为________．〖答案〗5〖解析〗∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量u与平面β的法向量v垂直，∴u·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.一、证明线线垂直问题例1如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC.证明由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B(0,0,0)，A(0，－1，eq\r(3))，D(eq\r(3)，－1,0)，C(0,2,0)，因而Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，－\f(\r(3),2)))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0,2,0)，因此eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.从而eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以EF⊥BC.反思感悟证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．跟踪训练1已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝eq\f(1,4)CC1.求证：AB1⊥MN.证明设AB的中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由已知得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，0))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，\f(1,4)))，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，1))，∵M为BC的中点，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，0)).∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,4)))，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(1,0,1)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)＋0＋eq\f(1,4)＝0.∴eq\o(MN,\s\up6(→))⊥eq\o(AB1,\s\up6(→))，∴AB1⊥MN.二、证明线面垂直问题例2如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：PB⊥平面EFD.证明由题意得，DA，DC，DP两两垂直，所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设DC＝PD＝1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2))).所以eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，－\f(1,2)))，设F(x，y，z)，则eq\o(PF,\s\up6(→))＝(x，y，z－1)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y－\f(1,2)，z－\f(1,2))).因为eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(PB,\s\up6(→))，所以x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z－\f(1,2)))＝0，即x＋y－z＝0.①又因为eq\o(PF,\s\up6(→))∥eq\o(PB,\s\up6(→))，可设eq\o(PF,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②由①②可知，x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(2,3)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(1,6)，\f(1,6))).方法一因为eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝(1,1，－1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))＝0＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝0，所以eq\o(PB,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，所以PB⊥DE，因为PB⊥EF，又EF∩DE＝E，EF，DE⊂平面EFD.所以PB⊥平面EFD.方法二设n2＝(x2，y2，z2)为平面EFD的法向量，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·\o(EF,\s\up6(→))＝0，,n2·\o(DE,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2－\f(1,6)y2＋\f(1,6)z2＝0，,\f(1,2)y2＋\f(1,2)z2＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－z2，,y2＝－z2.))取z2＝1，则n2＝(－1，－1,1)．所以eq\o(PB,\s\up6(→))∥n2，所以PB⊥平面EFD.反思感悟用坐标法证明线面垂直的方法及步骤(1)利用线线垂直①将直线的方向向量用坐标表示．②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量．③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直．(2)利用平面的法向量①将直线的方向向量用坐标表示．②求出平面的法向量．③判断直线的方向向量与平面的法向量平行．跟踪训练2如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.证明设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)．∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)．eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．设平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB1,\s\up6(→))＝2y＋2z＝0，,n·\o(AC,\s\up6(→))＝－2x＋2y＝0，))令x＝1得n＝(1,1，－1)，又eq\o(EF,\s\up6(→))＝－n，∴EF∥n，∴EF⊥平面B1AC.三、证明面面垂直问题例3在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.证明设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2))).方法一连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0)).易知eq\o(AS,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，所以eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AS,\s\up6(→))，所以OE∥AS.又AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD.又OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.方法二设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)．易知eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2)))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1⊥\o(BD,\s\up6(→))，,n1⊥\o(BE,\s\up6(→))，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(BD,\s\up6(→))＝－x＋y＝0，,n1·\o(BE,\s\up6(→))＝－\f(1,2)x＋\f(1,2)y＋\f(1,2)z＝0.))令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1,1,0)．因为AS⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为n2＝eq\o(AS,\s\up6(→))＝(0,0,1)．因为n1·n2＝0，所以平面BDE⊥平面ABCD.反思感悟证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．跟踪训练3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．求证：平面AED⊥平面A1FD1；证明以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2，0,2)，D1(0,0,2)，∴eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(D1A1,\s\up6(→))＝(2,0,0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(2,2,1)，eq\o(D1F,\s\up6(→))＝(0,1，－2)．设平面AED的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(DA,\s\up6(→))＝x1，y1，z1·2，0，0＝0，,n1·\o(DE,\s\up6(→))＝x1，y1，z1·2，2，1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x1＝0，,2x1＋2y1＋z1＝0.))令y1＝1，得n1＝(0,1，－2)．同理，平面A1FD1的一个法向量为n2＝(0,2,1)．∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n1⊥n2，∴平面AED⊥平面