2025版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数第7讲函数的图象教案理含解析新人教A版

PAGEPAGE1第7讲函数的图象基础学问整合1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、eq\o(□,\s\up3(01))描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③探讨函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其留意特别点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换y＝f(x)eq\o((a>0，右移a个单位),\s\do17(a<0，左移|a|个单位))y＝f(x－a)；y＝f(x)eq\o((b>0，上移b个单位),\s\do17(b<0，下移|b|个单位))y＝eq\o(□,\s\up3(02))f(x)＋b.(2)伸缩变换(3)对称变换y＝f(x)eq\o((关于x轴对称))y＝－f(x)；y＝f(x)eq\o((关于y轴对称))y＝f(－x)；y＝f(x)eq\o((关于原点对称))y＝eq\o(□,\s\up3(04))－f(－x)．(4)翻折变换y＝f(x)eq\o((去掉y轴左边图，保留y轴右边图),\s\do17(作其关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)；y＝f(x)eq\o((留下x轴上方图),\s\do17(将x轴下方图翻折上去))y＝|f(x)|.1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生改变的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．假如x的系数不是1，须要把系数提出来，再进行变换．2．上下平移仅仅是相对y而言的，即发生改变的只是y本身，利用“上减下加”进行操作．但平常我们是对y＝f(x)中的f(x)进行操作，满意“上加下减”．1．(2024·昆明模拟)函数y＝x2－2|x|的图象是()答案B解析由y＝x2－2|x|知是偶函数，故图象关于y轴对称，解除C.当x≥0时，y＝x2－2x＝(x－1)2－1.即当x＝0时，y＝0，当x＝1时，y＝－1，解除A，D，故选B.2．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则在下列给出的四个选项中，图②中的图象对应的函数只可能是()A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)答案C解析由图②知，图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数．对于A，当x>0时，y＝f(|x|)＝f(x)，其图象在y轴右侧与图①的相同，不符合，故错误；对于B，当x>0时，对应的函数是y＝f(x)，明显B错误；对于D，当x<0时，y＝－f(－x)，其图象在y轴左侧与图①的不相同，不符合，故错误；所以C正确．3．(2024·四川模拟)函数y＝eq\f(x3,3x－1)的图象大致是()答案C解析因为函数的定义域是非零实数集，所以A错误；当x<0时，y>0，所以B错误；指数型函数远比幂函数上升的快，故当x→＋∞时，y→0，所以D错误．故选C.4.(2024·宁夏模拟)函数f(x)＝2x＋sinx的部分图象可能是()答案A解析函数f(x)＝2x＋sinx是奇函数，故其图象关于原点对称，解除B；又当0<x<eq\f(π,2)时，函数值为正，仅有A满意，故选A.5．(2024·梅州模拟)函数f(x)＝eq\f(x＋lnx,x2)的大致图象是()答案B解析函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当x→0时，f(x)<0，解除C，D；当x→＋∞时，f(x)>0，解除A，故选B.核心考向突破考向一函数图象的画法例1作出下列函数的图象：(1)y＝|x－2|·(x＋2)；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(4)y＝x2－2|x|－1.解(1)函数式可化为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4，x≥2，,－x2＋4，x<2，))其图象如图(1)实线所示．(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(2)所示．(3)原函数解析式可化为y＝2＋eq\f(1,x－1)，故函数图象可由函数y＝eq\f(1,x)的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图(3)所示．(4)因为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0，))且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再依据对称性作出(－∞，0)上的图象，最终得函数图象如图(4)所示．触类旁通画函数图象的一般方法(1)干脆法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟识的基本函数时，就可依据这些函数的特征干脆画出．2图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要留意变换依次，对不能干脆找到熟识的基本函数的要先变形，并应留意平移变换与伸缩变换的依次对变换单位及解析式的影响.即时训练1.作出下列各函数的图象：(1)y＝x－|x－1|；(2)y＝|x2－4x＋3|；(3)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|；(4)y＝|log2x－1|.解(1)依据肯定值的意义，可将函数式化为分段函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥1，,2x－1，x<1，))可见其图象是由两条射线组成，如图(1)所示．(2)函数式可化为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3，x≥3或x≤1，,－x2＋4x－3，1<x<3，))图象如图(2)所示．(3)作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图象，保留y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图象中x≥0的部分，加上y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|的图象，如图(3)实线部分．(4)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图(4)所示．考向二识图与辨图角度1知式选图例2(2024·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝eq\f(ex－e－x,x2)的图象大致为()答案B解析∵x≠0，f(－x)＝eq\f(e－x－ex,x2)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故不选A；∵f(1)＝e－e－1>0，∴不选D；∵f′(x)＝eq\f(ex＋e－xx2－ex－e－x2x,x4)＝eq\f(x－2ex＋x＋2e－x,x3)，∴当x>2时，f′(x)>0，∴不选C.因此选B.角度2知图选式例3(2024·太原模拟)函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝x＋sinxB．f(x)＝eq\f(cosx,x)C．f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3π,2)))D．f(x)＝xcosx答案D解析函数为奇函数，解除C；函数f(x)＝x＋sinx只有一个零点，解除A；B选项中x≠0，所以B不正确，选D.触类旁通函数图象的识辨(1)从函数的定义域，推断图象的左右位置；从函数的值域，推断图象的上下位置．eq\a\vs4\al(2从函数的单调性，推断图象的改变趋势.)eq\a\vs4\al(3从函数的奇偶性，推断图象的对称性.)eq\a\vs4\al(4从函数的周期性，推断图象的循环往复.)eq\a\vs4\al(5从函数的特征点，解除不合要求的图象.)即时训练2.(2024·浙江高考)函数y＝2|x|sin2x的图象可能是()答案D解析设f(x)＝2|x|sin2x，其定义域关于坐标原点对称，又f(－x)＝2|－x|·sin(－2x)＝－f(x)，所以y＝f(x)是奇函数，故解除A，B；令f(x)＝0，所以sin2x＝0，所以2x＝kπ(k∈Z)，所以x＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，故解除C.故选D.3．下列四个函数中，图象如图所示的只能是()A．y＝x＋lgx B．y＝x－lgxC．y＝－x＋lgx D．y＝－x－lgx答案B解析(特别值法)当x＝1时，由图象知y>0，而C，D中y<0，故解除C，D；又当x＝eq\f(1,10)时，由图象知y>0，而A中y＝eq\f(1,10)＋lgeq\f(1,10)＝－eq\f(9,10)<0，解除A.故选B.考向三函数图象的应用例4(1)(2024·洛阳统考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3x，x≤0，))关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．答案(1，＋∞)解析问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，如图，结合函数图象可知a>1.(2)(2024·天津高考)已知a>0，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2ax＋a，x≤0，,－x2＋2ax－2a，x>0.))若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________．答案(4,8)解析由题可设函数g(x)＝f(x)－ax＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋ax＋a，x≤0，,－x2＋ax－2a，x>0，))当x≤0时，Δ1＝a2－4a，当x>0时，Δ2＝a2－8a.依据题目条件可知a>0时，函数g(x)恰有2个不同的零点，可分以下三种状况：①当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1＝0，,Δ2＝0))时，解得a＝0，不满意条件a>0，此时无解；②当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1>0，,Δ2<0))时，解得4<a<8，此时函数g(x)的两个零点均为负数；③当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1<0，,Δ2>0))时，此时无解．综上可得a的取值范围是4<a<8.即时训练4.如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1<x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1<x≤1}D．{x|－1<x≤2}答案C解析令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)的图象如图．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,y＝log2x＋1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}．5．(2024·陕西模拟)已知函数y＝eq\f(|x2－1|,x－1)的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．答案(0,1)∪(1,2)解析函数y＝eq\f(|x2－1|,x－1)的定义域为{x|x≠1}，所以当x>1时，y＝x＋1，当－1<x<1时，y＝－x－1，当x≤－1时，y＝x＋1，图象如图所示，由图象可知当0<k<2且k≠1时两函数的图象恰有两个交点，所以实数k的取值范围为(0,1)∪(1,2)．[特别点法]1．(2024·北师大附中模拟)函数y＝ecosx(－π≤x≤π)的大致图象为()答案C解析当x＝0时，函数y取得最大值ecos0＝e；当x＝π时，则y＝ecosπ＝eq\f(1,e).可解除A，B，D，选C.答题启示运用特别点法解除一些不符合要求的错误选项，主要留意两点：一是选取的点要具备特别性和代表性，能解除一些选项；二是可能要选取多个特别点进行解除才能得到正确答案．对点训练函数y＝xcosx＋sinx的图象大致为()答案D解析令f(x)＝xcosx＋sinx，则有f(－x)＝－xcosx－sinx＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．∵奇函数的图象关于原点对称，而B中的图象不关于原点对称，∴解除B；当x＝eq\f(π,2)时，y＝1，而由C中图象知当x＝eq\f(π,2)时，y≠1，∴解除C；当x＝π时，y＝－π，而A中，当x＝π时，y>0，∴解除A.故选D.

[性质检验法]2．(2024·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为()答案D解析当x＝0时，y＝2，解除A，B.y′＝－4x3＋2x＝－2x(2x2－1)，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))时，y′>0，解除C.故选D.答题启示利用性质识别函数图象是辨图中的主要方法，采纳的性质主要是定义域、值域，函数整体的奇偶性，函数局部的单调性等．当然，对于一些更为困难的函数图象的推断，还可能同特别点法结合起来运用．对点训练(2024·沧州七校联考)函数f(x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))的图象是()答案B解析因为f(x)＝lneq\