浙江专用2025版高考数学一轮复习第八章平面解析几何第七节双曲线教案含解析

PAGEPAGE1第七节双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的肯定值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.(1)当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2ba叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长[小题体验]1．双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1的焦距为________．解析：由双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1，易知c2＝3＋2＝5，所以c＝eq\r(5)，所以双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1的焦距为2eq\r(5).答案：2eq\r(5)2．(教材习题改编)以椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．解析：设要求的双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，由椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)．所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.答案：x2－eq\f(y2,3)＝13．(2024·北京高考)若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4)＝1(a＞0)的离心率为eq\f(\r(5),2)，则a＝________.解析：由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))，得eq\f(a2＋4,a2)＝eq\f(5,4)，∴a2＝16.∵a＞0，∴a＝4.答案：41．双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a＞0，b＞0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，eq\r(2))；若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝eq\r(2)；若0＜a＜b，则双曲线的离心率e∈(eq\r(2)，＋∞)．3．留意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±eq\f(b,a)，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±eq\f(a,b).[小题纠偏]1．设P是双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,20)＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于________．解析：由题意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.答案：172．以直线y＝±eq\r(2)x为渐近线，且过点(－eq\r(3)，2)的双曲线的标准方程为________．解析：因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(2)x，不妨可设该双曲线的方程为2x2－y2＝λ.因为双曲线过点(－eq\r(3)，2),所以6－4＝λ＝2，所以双曲线的方程为2x2－y2＝2，即其标准方程为x2－eq\f(y2,2)＝1.答案：x2－eq\f(y2,2)＝1eq\a\vs4\al(考点一双曲线的标准方程)eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2024·金华调研)已知双曲线的一个焦点与圆x2＋y2－4y＝0的圆心重合，且其渐近线的方程为eq\r(3)x±y＝0，则该双曲线的标准方程为()A.eq\f(x2,3)－y2＝1 B.eq\f(y2,3)－x2＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 D.eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1解析：选B由圆的方程知其圆心为(0,2)，故双曲线的焦点在y轴上，设其方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，且a2＋b2＝4，①又知渐近线方程为eq\r(3)x±y＝0，∴eq\f(a,b)＝eq\r(3)，②由①②得a2＝3，b2＝1，∴双曲线方程为eq\f(y2,3)－x2＝1.2．(2024·海口二模)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)过点(eq\r(2)，eq\r(3))，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是()A.eq\f(x2,\f(1,2))－y2＝1 B.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1C．x2－eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,\f(2,3))－eq\f(y2,\f(3,2))＝1解析：选C∵实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，∴eq\f(b,a)＝tan60°＝eq\r(3)，即b＝eq\r(3)a，∵双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)过点(eq\r(2)，eq\r(3))，∴eq\f(2,a2)－eq\f(3,b2)＝1，即eq\f(2,a2)－eq\f(3,3a2)＝1，解得a2＝1，∴b2＝3，故双曲线C的标准方程是x2－eq\f(y2,3)＝1.3．(2024·温岭模拟)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，且离心率等于eq\f(3,2)，则该双曲线的标准方程为____________；渐近线方程为____________．解析：因为c＝3，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,2)，解得a＝2，所以b2＝5.所以双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1，其渐近线方程为y＝±eq\f(\r(5),2)x.答案：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1y＝±eq\f(\r(5),2)x4．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线eq\f(y2,4)－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．解析：设所求双曲线的标准方程为eq\f(y2,4)－x2＝－λ(λ＞0)，即eq\f(x2,λ)－eq\f(y2,4λ)＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1.答案：eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1[谨记通法]求双曲线标准方程的2种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，依据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．eq\a\vs4\al(考点二双曲线的定义)eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知双曲线x2－eq\f(y2,24)＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝eq\f(4,3)|PF2|，则△F1PF2的面积为()A．48 B．24C．12 D．6解析：选B由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝eq\f(1,3)|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝24.[由题悟法]应用双曲线的定义需留意的问题在双曲线的定义中要留意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的肯定值为一常数，且该常数必需小于两定点的距离”．若定义中的“肯定值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时留意定义的转化应用．[即时应用]1．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,5)解析：选C双曲线方程可化为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1，∴a＝b＝eq\r(2)，∴c＝2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|－|PF2|＝2\r(2)，,|PF1|＝2|PF2|))得|PF1|＝4eq\r(2)，|PF2|＝2eq\r(2)，由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(3,4).2．(2024·余姚期初)已知△ABC的顶点A，B分别为双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点，顶点C在双曲线上，则eq\f(|sinA－sinB|,sinC)的值为____________．解析：由正弦定理知，eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，由双曲线的定义可知，eq\f(|sinA－sinB|,sinC)＝eq\f(||BC|－|AC||,|AB|)＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)eq\a\vs4\al(考点三双曲线的几何性质)eq\a\vs4\al(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]双曲线的几何性质是每年高考命题的热点．常见的命题角度有：(1)求双曲线的离心率(或范围)；(2)求双曲线的渐近线方程；(3)求双曲线方程．[题点全练]角度一：求双曲线的离心率(或范围)1．(2024·山东高考)已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．解析：如图，由题意知|AB|＝eq\f(2b2,a)，|BC|＝2c.又2|AB|＝3|BC|，∴2×eq\f(2b2,a)＝3×2c，即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．答案：2角度二：求双曲线的渐近线方程2．(2024·乐清调研)以椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是________．解析：由题意可知所求双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，则a＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，c＝2，所以b2＝c2－a2＝4－3＝1，故所求渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x.答案：y＝±eq\f(\r(3),3)x角度三：求双曲线方程3．过双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,7)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1解析：选A由题意知右顶点为(a,0)，不妨设其中一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，因此可得点A的坐标为(a，b)．设右焦点为F(c,0)，由已知可得c＝4，且|AF|＝4，即(c－a)2＋b2＝16，所以有(c－a)2＋b2＝c2，又c2＝a2＋b2，则c＝2a，即a＝eq\f(c,2)＝2，所以b2＝c2－a2＝42－22＝12，故双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.[通法在握]与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．(3)求双曲线的方程．依据题设条件，求出a，b的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a，b，c之间的关系求解．[演练冲关]1．(2024·萧山六校联考)已知l为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线，l与圆F：(x－c)2＋y2＝a2(其中c2＝a2＋b2)相交于A，B两点，若△ABF为等腰直角三角形，则C的离心率为()A．2 B.eq\f(5,2)C.eq\f(\r(5),3) D.eq\f(\r(6),2)解析：选D由题意可设l的方程为bx＋ay＝0.已知圆F：(x－c)2＋y2＝a2的圆心为(c,0)，半径为a，∵l为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线，l与圆F：(x－c)2＋y2＝a2(其中c2＝a2＋b2)相交于A，B两点，△ABF为等腰直角三角形，∴|AB|＝eq\r(2)a.又(c,0)到l的距离d＝eq\f(|bc＋0|,\r(b2＋a2))＝eq\f(bc,c)＝b，∴b2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＝a2，将|AB|＝eq\r(2)a代入上式，得a2＝2b2.又c2＝a2＋b2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),2).2．(2024·台州调研)设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2eq\r(3)，则双曲线的渐近线方程为________．解析：因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2eq\r(3)，所以c＝eq\r(3)，所以a＝eq\r(c2－b2)＝eq\r(2)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(\r(2),2)x.答案：y＝±eq\f(\r(2),2)x3．(2024·杭州二中适应)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上存在一点P，与坐标原点O、右焦点F2构成正三角形，则双曲线的离心率为____________．解析：由题可得，要使三角形OPF2为正三角形，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c，\f(\r(3),2)c))在双曲线上，所以eq\f(c2,4a2)－eq\f(3c2,4b2)＝1，结合b2＝c2－a2及e＝eq\f(c,a)，化简得e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4＋2eq\r(3)或e2＝4－2eq\r(3).因为e＞1，所以e2＝4＋2eq\r(3)，所以e＝eq\r(4＋2\r(3))＝eq\r(3)＋1.答案：eq\r(3)＋14．(2024·安阳二模)已知焦点在x轴上的双曲线eq\f(x2,8－m)＋eq\f(y2,4－m)＝1，它的焦点F到渐近线的距离的取值范围是________．解析：一般地，焦点在x轴上的双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，它的右焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为eq\f(|bc|,\r(b2＋a2))＝b.而双曲线eq\f(x2,8－m)＋eq\f(y2,4－m)＝1，即eq\f(x2,8－m)－eq\f(y2,m－4)＝1的焦点在x轴上，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－m＞0，,m－4＞0，))解得4＜m＜8，它的焦点F到渐近线的距离为eq\r(m－4)∈(0,2)．答案：(0,2)eq\a\vs4\al(考点四直线与双曲线的位置关系)eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]设A，B分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4eq\r(3)，焦点到渐近线的距离为eq\r(3).(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y＝eq\f(\r(3),3)x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\o(ON,\s\up7(→))＝teq\o(OD,\s\up7(→))，求t的值及点D的坐标．解：(1)由题意知a＝2eq\r(3)，∵一条渐近线为y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0.∴由焦点到渐近线的距离为eq\r(3)，得eq\f(|bc|,\r(b2＋a2))＝eq\r(3).又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝3，∴双曲线的方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,3)＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.将直线方程y＝eq\f(\r(3),3)x－2代入双曲线方程eq\f(x2,12)－eq\f(y2,3)＝1得x2－16eq\r(3)x＋84＝0，则x1＋x2＝16eq\r(3)，y1＋y2＝eq\f(\r(3),3)(x1＋x2)－4＝12.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x0,y0)＝\f(4\r(3),3)，,\f(x\o\al(2,0),12)－\f(y\o\al(2,0),3)＝1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝4\r(3)，,y0＝3.))∴t＝4，点D的坐标为(4eq\r(3)，3)．[由题悟法]直线与双曲线的位置关系推断方法和技巧(1)推断方法：直线与双曲线的位置关系的推断与应用和直线与椭圆的位置关系的推断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，留意二次项系数是否为0的推断．(2)技巧：对于中点弦问题常用“点差法”，但须要检验．[即时应用]已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C经过A(－7,5)，B(－1，－1)两点．(1)求双曲线C的方程；(2)设直线l：y＝x＋m交双曲线C于M，N两点，且线段MN被圆E：x2＋y2－12x＋n＝0(n∈R)三等分，求实数m，n的值．解：(1)设双曲线C的方程是λx2＋μy2＝1，依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(49λ＋25μ＝1，,λ＋μ＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝2，))所以所求双曲线的方程是2y2－x2＝1.(2)将l：y＝x＋m代入2y2－x2＝1，得x2＋4mx＋(2m2－1)＝0，①Δ＝(4m)2－4(2m2－1)＝8m2＋4＞0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则x1＋x2＝－4m，x1x2＝2m2－1，所以x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－2m，y0＝x0＋m＝－m，所以P(－2m，－m)．又圆心E(6,0)，依题意kPE＝－1，故eq\f(m,6＋2m)＝－1，即m＝－2.将m＝－2代入①得x2－8x＋7＝0，解得x1＝1，x2＝7，所以|MN|＝eq\r(1＋12)|x1－x2|＝6eq\r(2).故直线l截圆E所得弦长为eq\f(1,3)|MN|＝2eq\r(2).又E(6,0)到直线l的距离d＝2eq\r(2)，所以圆E的半径R＝eq\r(2\r(2)2＋\r(2)2)＝eq\r(10)，所以圆E的方程是x2＋y2－12x＋26＝0.所以m＝－2，n＝26.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2024·浙江高考)双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的焦点坐标是()A．(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0) B．(－2,0)，(2,0)C．(0，－eq\r(2))，(0，eq\r(2)) D．(0，－2)，(0,2)解析：选B∵双曲线方程为eq\f(x2,3)－y2＝1，∴a2＝3，b2＝1，且双曲线的焦点在x轴上，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(3＋1)＝2，∴该双曲线的焦点坐标是(－2,0)，(2,0)．2．(2024·唐山期中联考)已知双曲线C：eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m＞0，n＞0)的离心率与椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为()A．4x±3y＝0 B．3x±4y＝0C．4x±3y＝0或3x±4y＝0 D．4x±5y＝0或5x±4y＝0解析：选A由题意知，椭圆中a＝5，b＝4，∴椭圆的离心率e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(3,5)，∴双曲线的离心率为eq\r(1＋\f(n2,m2))＝eq\f(5,3)，∴eq\f(n,m)＝eq\f(4,3)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(n,m)x＝±eq\f(4,3)x，即4x±3y＝0.故选A.3．(2024·湖南师大附中12月联考)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形AF1F2的一边AF1与双曲线左支交于点B，且AF1＝4BF1，则双曲线C的离心率为()A.eq\f(\r(3),2)＋1 B.eq\f(\r(3)＋1,2)C.eq\f(\r(13),3)＋1 D.eq\f(\r(13)＋1,3)解析：选D不妨设点A在x轴的上方，由题意得，F1(－c,0)，A(0，eq\r(3)c)，设B(x，y)，∵AF1＝4BF1，∴(－c，－eq\r(3)c)＝4(－c－x，－y)，∴x＝－eq\f(3c,4)，y＝eq\f(\r(3)c,4)，代入双曲线方程可得eq\f(\f(9c2,16),a2)－eq\f(\f(3c2,16),c2－a2)＝1，∴9e4－28e2＋16＝0，∴e＝eq\f(\r(13)＋1,3).4．(2024·义乌质检)设F1，F2是双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点，P在双曲线的右支上，且满意|PF1|·|PF2|＝32，则∠F1PF2＝____________；S△F1PF2＝____________.解析：由题可得，|PF1|－|PF2|＝2a＝6，|F1F2|＝10.因为|PF1|·|PF2|＝32，所以|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝100＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2，所以∠F1PF2＝eq\f(π,2)，所以S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝32×eq\f(1,2)＝16.答案：eq\f(π,2)165.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若|AB|＝4，|BC|＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．由题意得B(2,0)，C(2,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝a2＋b2，,\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,b2＝3，))∴双曲线的标准方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.答案：x2－eq\f(y2,3)＝1二保高考，全练题型做到高考达标1．“k＜9”是“方程eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,k－9)＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A∵方程eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,k－9)＝1表示双曲线，∴(25－k)(k－9)＜0，∴k＜9或k＞25，∴“k＜9”是“方程eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,k－9)＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．(2024·杭州调研)过双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝()A.eq\f(4\r(3),3) B．2eq\r(3)C．6 D．4eq\r(3)解析：选D由题意知，双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，将x＝c＝2代入得y＝±2eq\r(3)，即A，B两点的坐标分别为(2,2eq\r(3))，(2，－2eq\r(3))，所以|AB|＝4eq\r(3).3．(2024·杭州五中月考)已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝eq\f(2π,3)，则eq\f(S△AF1F2,S△ABF2)＝()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：选B如图所示，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2a.因为|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，又∠F1AF2＝eq\f(2π,3)，所以S△AF1F2＝eq\f(1,2)|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝eq\f(1,2)×2a×4a×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)a2.由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又|BF1|＝2a＋|BA|，所以|BA|＝|BF2|.因为∠BAF2＝eq\f(π,3)，所以△ABF2为等边三角形，边长为4a，所以S△ABF2＝eq\f(\r(3),4)|AF2|2＝eq\f(\r(3),4)×(4a)2＝4eq\r(3)a2，故eq\f(S△AF1F2,S△ABF2)＝eq\f(2\r(3)a2,4\r(3)a2)＝eq\f(1,2).4．(2024·浙大附中测试)如图，F1，F2分别是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，经过右焦点F2的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，且|PF2|＝2|F2Q|，PQ⊥F1Q，则双曲线C的离心率是()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\f(\r(10),2) D.eq\f(\r(17),3)解析：选D设|F2Q|＝m，则|F1Q|＝2a＋m，|F2P|＝2m，|F1P|＝2a＋2m.因为PQ⊥F1Q，所以(2a＋m)2＋(3m)2＝(2a＋2m)2，解得6m2＝4am，解得m＝eq\f(2,3)a，所以|F1Q|＝eq\f(8,3)a.所以在△F1F2Q中，|F1F2|＝2c，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8a,3)))2＝(2c)2，解得17a2＝9c2，所以e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(17,9)，即e＝eq\f(\r(17),3).5．(2024·宁波六校联考)已知点F为双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，直线y＝kx(k＞0)与E交于M，N两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,6)))，则该双曲线的离心率的取值范围是()A．[eq\r(2)，eq\r(2)＋eq\r(6)] B．[2，eq\r(3)＋1]C．[2，eq\r(2)＋eq\r(6)] D．[eq\r(2)，eq\r(3)＋1]解析：选D设左焦点为F′，令|MF|＝r1，|MF′|＝r2，则|NF|＝|MF′|＝r2，由双曲线定义可知r2－r1＝2a①，∵点M与点N关于原点对称，且MF⊥NF，∴|OM|＝|ON|＝|OF|＝c，∴req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＝4c2②，由①②得r1r2＝2(c2－a2)＝2b2，又知S△MNF＝2S△MOF，∴eq\f(1,2)r1r2＝2·eq\f(1,2)c2·sin2β，∴b2＝c2·sin2β＝c2－a2，∴e2＝eq\f(1,1－sin2β)，又∵β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,6)))，∴sin2β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴e2＝eq\f(1,1－sin2β)∈[2，(eq\r(3)＋1)2]，又∵e＞1，∴e∈[eq\r(2)，eq\r(3)＋1]，故选D.6．已知双曲线的一个焦点F(0，eq\r(5))，它的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为________________；其离心率为____________．解析：设双曲线的标准方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝\r(5)，,\f(a,b)＝2))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝5，,a＝2b))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1，))所以双曲线的标准方程为eq\f(y2,4)－x2＝1.所以a＝2，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2).答案：eq\f(y2,4)－x2＝1eq\f(\r(5),2)7．若点P是以A(－3,0)，B(3,0)为焦点，实轴长为2eq\r(5)的双曲线与圆x2＋y2＝9的一个交点，则|PA|＋|PB|＝________.解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PA|＞|PB|.因为点P是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定义知，|PA|－|PB|＝2eq\r(5)，①又|PA|2＋|PB|2＝36，②联立①②化简得2|PA|·|PB|＝16，所以(|PA|＋|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2＋2|PA|·|PB|＝52，所以|PA|＋|PB|＝2eq\r(13).答案：2eq\r(13)8．(2024·绍兴四校联考)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2MF＝FN，则双曲线C的离心率e＝________.解析：法一：由2MF＝FN知，eq\f(|MF|,|FN|)＝eq\f(1,2).由渐近线的对称性知∠NOF＝∠MOF，即OF为∠NOM的角平分线，则cos∠NOM＝eq\f(|OM|,|ON|)＝eq\f(|MF|,|FN|)＝eq\f(1,2)，所以∠NOM＝eq\f(π,3)，∠NOF＝∠MOF＝eq\f(π,6).因为双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，所以eq\f(b,a)＝taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),3)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(2\r(3),3).法二：如图所示，双曲线C的一条渐近线的方程为bx＋ay＝0，右焦点为F(c,0)，因此|FM|＝eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b，过点F向ON作垂线，垂足为P，则|FP|＝|FM|＝b，又因为2MF＝FN，所以|FN|＝2b.在Rt△FNP中，sin∠FNP＝eq\f(1,2)，所以∠FNP＝eq\f(π,6)，故在△OMN中，∠MON＝eq\f(π,3)，所以∠FON＝eq\f(π,6)，所以eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，所以双曲线C的离心率e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)9．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq\r(2)，且过点(4，－eq\r(10))，点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：MF1·eq\o(MF2,\s\up7(→))＝0；(3)求△F1MF2的面积．解：(1)∵e＝eq\r(2)，则双曲线的实轴、虚轴相等．∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.∵双曲线过点(4，－eq\r(10))，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：设eq\o(MF1,\s\up7(→))＝(－2eq\r(3)－3，－m)，eq\o(MF2,\s\up7(→))＝(2eq\r(3)－3，－m)．∴eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))＝(3＋2eq\r(3))×(3－2eq\r(3))＋m2＝－3＋m2，∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))＝0.(3)∵△F1MF2的底边长|F1F2|＝4eq\r(3).由(2)知m＝±eq\r(3).∴△F1MF2的高h＝|m|＝eq\r(3)，∴S△F1MF2＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×eq\r(3)＝6.10．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\r(3)，点(eq\r(3)，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|.解：(1)∵双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\r(3)，点(eq\r(3)，0)是双曲线的一个顶点，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\r(3)，,a＝\r(3)，))解得c＝3，b＝eq\r(6)，∴双曲线的方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1.(2)双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1的右焦点为F2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F