重庆市字水中学2024-2025学年高二下学期4月学情调研数学试题

年4月高届学情调研数学试卷（试卷共4页，满分分，考试时间分钟）本试卷分第I在本试卷上答题无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.选择题答案使用铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内（黑色线框）作答，写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效.保持卡面消洁，不折叠，不破损.8小题，每个小题5分，共分）1.下列求导运算正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用导数的求导公式与求导法则求解即可.【详解】因为为常数，所以，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B.2.某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书．从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（）第1页/共16页A.13种B.7种C.种D.42种【答案】D【解析】【分析】先取本历史书，再取本地理书，根据分步乘法计数原理可得出答案.【详解】本不同的历史书任取本历史书有种取法，本不同的地理书任取本地理书有种取法，从这些书中任取本历史书和本地理书，根据分步乘法计数原理得到不同的取法有种.故选：D.3.已知函数在点处的切线的倾斜角为，则实数的值为（）A.2B.1C.D.【答案】A【解析】【分析】利用导数的几何意义计算即可.【详解】易知，所以.故选：A4.已知函数，则（）A.1B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】先对函数求导，然后令可求出的值.【详解】由，得，所以，解得.故选：A5.函数极小值为（）A.B.1C.D.第2页/共16页【答案】C【解析】【分析】根据函数求极小值的过程求解：先求的解，再判断在两侧的单调性，确定极值.【详解】因为，所以.令得，当时，，当时，.故的单调递增区间为和，单调递减区间为.则当时，取得极小值，且极小值为.故选：C6.数列的前项和为，首项，若，则A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】当时，由得，两式相减，可得，所以数列是以2为公比的等比数列，从而可求出结果.【详解】解：当时，，得当时，由得，所以，即，所以数列是以2为公比，2为首项的等比数列，所以，所以，故选：B【点睛】此题考查由数列的递推式求通项公式，等比数列的通项公式，属于基础题.第3页/共16页7.若函数在上单调递增，则a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用求导，将函数在给定区间上为增函数转化为不等式在上恒成立问题，即求出二次函数在上的最大值即得.【详解】由可得，因在上单调递增，故在上恒成立，即在上恒成立，而函数在上单调递减，则，故，即a的取值范围是.故选：A.8.已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，结合题意利用导数计算可得该函数单调性，即可将不等式转化为，从而得到，即可得解.【详解】令，则，则当时，，即在上单调递减，第4页/共16页由，则，又，即不等式等价于，即，即有，解得.故选：D.二、多选题：本大题共3小题，每个小题6分，共分有错得0分，部分选对得部分）9.“”T内完成房产供应量任务S知房产供应量S与时间t位时间的供应量）不是逐步提高的（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据变化率的知识，结合曲线在某点处导数的几何意义，可得结果.【详解】单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应一直下凹的.则选项B满足条件，所以在时间[0，T]内供应效率（单位时间的供应量）不是逐步提高的是ACD选项，故选：ACD.10.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）第5页/共16页A.函数的图象在的切线的斜率为0B.函数在上单调递减C.是函数的极小值点D.是函数的极大值【答案】AD【解析】【分析】根据导函数的图象与原函数的关系逐个判断即可.【详解】由图可知，所以函数的图象在的切线的斜率为0，故A正确；由图可知时，，所以函数在上单调递增，故B错误；由图可知时，，所以函数在上单调递增，不是函数的极小值点，故C错误；由C选项可知函数在上单调递增，由图可知时，，所以函数在上单调递减，故是函数的极大值点，是函数的极大值，故D正确．故选：AD.已知函数，则下列结论正确的是（）A.是偶函数B.若是增函数，则C.当时，函数恰有两个零点D.当时，函数恰有两个极值点【答案】BD【解析】第6页/共16页【分析】利用奇偶性定义计算可判断A恒成立求得的范围判断BB结论判断C；利用零点存在性定理判断异号零点的个数即可判断.【详解】A，因为，则，故A错误；B，若为增函数，则恒成立，故恒成立，令，则可得为偶函数，又，令，则，所以在上单调递增，又，所以在上，在上，即在上递减，在上递增，故当时，取得最小值，所以，故B正确；C，当时，为奇函数，且，当时，恒成立，即在区间上单调递增，根据奇函数的对称性可知函数在上单调递增，故在上单调递增，，即只有一个零点，故C错误；D，当时，为奇函数，故先考虑时，函数极值存在情况，则，令，因为单调递增，则，故单调递增，且，，故存在使得，因此，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，第7页/共16页故为函数在上的唯一极小值点，根据奇函数对称性可知，当时，存在为函数在上的唯一极大值点，故D正确.故选：BD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共分把答案填在答题卡中的横线上.12.在等差数列中，，，则＝____________【答案】78【解析】【分析】利用等差数列的等和性可得可计算.【详解】在等差数列中，，则.故答案为：.13.函数的单调递减区间为_________.【答案】【解析】【分析】先求出函数的定义域，然后对函数求导，再由可求出函数的单调递减区间.【详解】的定义域为，由，得，由，得，解得，因为，所以，所以单调递减区间为.故答案为：14.若关于的不等式在上恒成立，则正数的最小值为________．【答案】##【解析】第8页/共16页时构造函数数并构造函数，求出函数的最大值即可.【详解】不等式，，当时，，令，依题意，，对函数求导得，函数在上单调递增，则当时，恒成立，令函数，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，，因此，所以正数的最小值为最小值为.故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.设函数．（1）求在处的切线方程；（2）求在区间上的最大值与最小值．【答案】（1）（2）最大值为，最小值为.【解析】【分析】(1)求导，利用导数的几何意义可求得切线方程；(2)利用导数确定函数在区间上的单调性，进而可得最值.【小问1详解】由题意知，，即切点为，由已知，则，所以曲线在点处的切线方程为，即.故在点处的切线方程为：第9页/共16页【小问2详解】令，即得，令，则得或，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值点为，，的极小值点为，，又,,故在区间上的最大值为，最小值为.16.已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若数列是公比为2的等比数列，且，求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】1d前n项和公式与等比中项公式列出关于和d得的通项公式；（21的第三项差和等比数列前n项和公式分组求和即可求出.【小问1详解】因为为等差数列，设公差为d，由，得，①第10页/共16页由，，成等比数列得，则，②联立①②解得或，又因为，则，所以．综上．【小问2详解】由知，，又为公比是2的等比数列，，所以，即，所以，，所以.综上.17.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】1）分和，两种情况分类讨论得出导函数的正负即得函数单调性；（2）先化为恒成立，应用导数求右侧的最值，即可得参数范围.【小问1详解】第11页/共16页因为，所以.因为，若，即时，在上单调递增，若，即时，令，得；令在上单调递减.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】因为，恒成立，所以，则，令且，则，令，则，故在上单调递增，又，所以时，；时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，所以，实数的取值范围为.18.现有一张长为40，宽为30的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为x的正方形，高为y，体积为V.第12页/共16页（1）求无盖长方体铁皮盒的表面积（用x，y（2）写出y关于x的函数关系式，并写出x的范围；（3）要使得无盖长方体铁盒的容积最大、对应的x为多少？并求出V的最大值.【答案】（1）（2）（3）当时，取最大值，且最大值为.【解析】1）利用长方体表面积公式即可求得解果；（2）根据长方形的面积等于无盖长方体的表面积可得出关于的函数关系式，结合实际意义可得出的取值范围；（3）求出关于的函数关系式，利用导数可求出的最大值及其对应的的值，即可得出结论.【小问1详解】设无盖长方体铁皮盒的表面积为，则【小问2详解】因为材料利用率为,所以，即；因为长方形铁皮长为40，宽为30，故，综上，.【小问3详解】铁皮盒体积，第13页/共16页其中，，令，得，列表如下：+0单调递增极大值单调递减所以，函数在区间上为增函数，在上为减函数，则当时，取最大值，且最大值为19.已知函数.（1）当时，求的单调递减区间；（2）若有两个极值点，（）.①求实数b的取值范围；②证明：.【答案】（1）单调递减区间为（2）①；②证明见解析【解析】1）求出导函数，根据求解函数的减区间；（2）①把函数有两个极值点转化为方程有两个不等正根，然后利用二次方程根分布列方程组求解即可；②把所证不等式作出变为数研究函数单调性，求得函数最值即可证明.【小问1详解】当时，，的定义域为.第14页/共16页.令，得.所以的单调递减区间为.【小问2详