八年级数学下册 第4章 单元综合测试卷（北师版 2025年春）

八年级数学下册第4章单元综合测试卷（北师版2025年春）一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式x＋2的是()A．x2＋2xB．x2－4C．(x－2)2＋8(x－2)＋16D．x3＋3x2－4x2．将a3b－ab3因式分解，结果正确的是()A．ab(a2－b2)B．a(a2b－b3)C．ab(a＋b)(a－b)D．ab(a－b)23．若x2＋(m－3)x＋4是完全平方式，则常数m的值为()A．1或5B．7或－1C．5D．74．对于①a－2ab＝a(1－2b)，②(a＋2)(a－1)＝a2＋a－2，从左到右的变形，表述正确的是()A．①是因式分解，②是乘法运算B．①是乘法运算，②是因式分解C．①②都是因式分解D．①②都是乘法运算5.2024石家庄长安区一模对于整式A＝x－1，B＝x2－x，有下列结论：结论一：A·x＝B；结论二：A，B的公因式为x.下列判断正确的是()A．结论一正确，结论二不正确B．结论一不正确，结论二正确C．结论一、结论二都正确D．结论一、结论二都不正确6．一位密码编译爱好者的密码手册中有这样一条信息：a－b，x－1，3，x2＋1，a，x＋1，分别对应下列六个字：国，爱，我，数，学，祖，现将3a(x2－1)－3b(x2－1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是()A．爱数学B．我爱数学C．爱祖国D．我爱祖国7．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a3＋ab2＋bc2＝b3＋a2b＋ac2，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形8．如图是长与宽分别为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b＋2a2b2＋ab3的值为()A．2560B．490C．70D．499．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是()A．285B．330C．512D．58210．对于任意整数a(a>0)，多项式(3a＋5)2－4都能()A．被9整除B．被a整除C．被a＋1整除D．被a－1整除二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)11．多项式6ab2x－3a2by＋12a2b2的公因式是________．12．请写出一个能进行因式分解的多项式及因式分解的结果：__________________(要求第一步先提公因式，第二步能运用公式法因式分解)．13．已知ab＝2，a－b＝1012，则a2b－ab2的值为________．14．若m，n为常数，多项式x2＋mx＋n可因式分解为(x－1)(x＋2)，则(m＋n)2025的值为________．15．已知正方形的面积为9x2＋30xy＋25y2(x＞0，y＞0)，利用因式分解，可以求出正方形的边长为________．16.2023无锡期末刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图①中直角三角形的三边a，b，c存在a2＋b2＝c2的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题．如图②，分别将以a为边长的正方形和以b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角，则图②中阴影部分的面积等于__________(用含字母a的代数式表示)；若(c－a)(c－b)＝18，则a＋b－c＝________．三、解答题(本大题共6小题，共66分．解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)把下列各式因式分解：(1)4x2－64;(2)a3＋2a2b＋ab2；(3)(a－b)2－2(b－a)＋1;(4)x2－2xy＋y2－16z2.18．(6分)已知n是整数，则奇数可以用代数式2n＋1来表示．(1)因式分解：(2n＋1)2－1；(2)我们把所有“奇数的平方减去1”所得的数叫“白银数”，试说明所有“白银数”都能被4整除．19．(12分)用简便方法计算：(1)9992＋999；(2)23×2.718＋271.8×0.59＋180×0.2718；(3)999.92－0.12；(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,36)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(31,36)))eq\s\up12(2).20．(10分)(1)如图①，从边长为a的正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形，然后拼成一个平行四边形(如图②)，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证的因式分解公式是______________________．(2)52－32＝(5＋3)×(5－3)＝8×2；112－52＝(11＋5)×(11－5)＝16×6＝8×12；152－32＝(15＋3)×(15－3)＝18×12＝8×27；192－72＝(19＋7)×(19－7)＝26×12＝8×39.根据上面四个算式，请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式．(3)用文字描述(2)中算式的规律，并证明这个规律的正确性．21．(12分)阅读下列材料：经过研究发现，常用的因式分解的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：m2－mn＋2m－2n，细心观察这个多项式就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可以提取公因式，前、后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为m2－mn＋2m－2n＝(m2－mn)＋(2m－2n)＝m(m－n)＋2(m－n)＝(m－n)(m＋2)．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题：(1)因式分解：a3－3a2＋6a－18；(2)因式分解：ax＋a2－2ab－bx＋b2.22．(14分)阅读下列材料：我们把a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，即将多项式x2＋bx＋c(b，c为常数)写成(x＋h)2＋k(h，k为常数)的形式．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式的最大、最小值等问题．例1：因式分解：x2＋2x－3.解：原式＝(x2＋2x＋1)－1－3＝(x＋1)2－4＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1)．例2：求代数式x2－2x－5的最小值．解：原式＝(x2－2x＋1)－1－5＝(x－1)2－6，∵(x－1)2≥0，∴当x＝1时，代数式x2－2x－5有最小值，最小值是－6.请根据上述材料用配方法解决下列问题：(1)因式分解：x2－6x－16；(2)求多项式y2＋8y－2024的最小值；(3)已知m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m，n的值．

答案一、1.D2.C3.B4.A5.A6.D7.C8.B9.C10.C二、11.3ab12.2x2－8＝2(x＋2)(x－2)(答案不唯一)13．202414.－115.3x＋5y16.a2；6三、17.解：(1)原式＝4(x2－16)＝4(x＋4)(x－4)．(2)原式＝a(a2＋2ab＋b2)＝a(a＋b)2.(3)原式＝(a－b)2＋2(a－b)＋1＝(a－b＋1)2.(4)原式＝(x－y)2－(4z)2＝(x－y＋4z)(x－y－4z)．18．解：(1)原式＝(2n＋1＋1)(2n＋1－1)＝2n(2n＋2)＝4n(n＋1)．(2)∵(2n＋1)2－1＝4n(n＋1)，∴所有“白银数”都能被4整除．19．解：(1)9992＋999＝999×(999＋1)＝999000.(2)23×2.718＋271.8×0.59＋180×0.2718＝23×2.718＋2.718×59＋18×2.718＝2.718×(23＋59＋18)＝2.718×100＝271.8.(3)999.92－0.12＝(999.9－0.1)×(999.9＋0.1)＝999.8×1000＝999800.(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,36)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(31,36)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,36)－\f(31,36)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,36)＋\f(31,36)))＝－eq\f(13,18)×1＝－eq\f(13,18).20．解：(1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)(2)32－12＝(3＋1)×(3－1)＝4×2＝8×1，172－52＝(17＋5)×(17－5)＝22×12＝8×33.(答案不唯一)(3)两个正奇数的平方差一定能被8整除．证明：设较大的奇数为(2n＋1)，较小的奇数为(2m－1)，其中n，m是正整数，n≥m，则(2n＋1)2－(2m－1)2＝[(2n＋1)＋(2m－1)][(2n＋1)－(2m－1)]＝4(m＋n)(n－m＋1)，易得(m＋n)(n－m＋1)是2的倍数，∴4(m＋n)(n－m＋1)是8的倍数．∴(2n＋1)2－(2m－1)2是8的倍数，即两个正奇数的平方差一定能被8整除．21．解：(1)a3－3a2＋6a－18＝(a3－3a2)＋(6a－18)＝a2(a－3)＋6(a－3)＝(a－3)(a2＋6)．(2)ax＋a2－2ab－bx＋b2＝(a2－2ab＋b2)＋(ax－bx)＝(a－b)2＋x(a－b)＝(a－b)(a－b＋x)．22．解：(1)原式＝(