山东省菏泽市第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

八一路校区高二数学第一次月考测试一、单选题1.若函数在处可导，且，则（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】由导数的概念可解.【详解】.故选：C2.甲、乙、丙、丁、戊、己六人站成一排合影留念，则甲、乙两人中间恰好有两人的站法有（）A.36种 B.72种 C.144种 D.288种【答案】C【解析】【分析】由排列数的计算公式，结合分步乘法计数原理代入计算，即可得到结果.【详解】第一步从6个位置中选择2个位置，满足条件的选位可以是，共有3种不同方法；第二步将甲、乙排到所选择的2个位置，共有种不同的方法；第三步将丙、丁、戊、己排到剩余的4个位置，共有种不同的方法；由分步计数原理可知，共有种．故选：C3.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（）．A.3 B.2 C.1 D.0【答案】B【解析】【分析】根据题中给出的“拉格朗日中值点”的定义分析求解即可．【详解】函数，求导得：，令为在上的“拉格朗日中值点”，则有，即，整理得，解得，所以函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为2.故选：B.4.函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，利用导数判定函数的单调性即可得出选项．【详解】解：，定义域为，，令，得，令，得，所以在和上单调递增，在上单调递减，排除A、C，当时，，，，所以，排除B，只有D中图象符合题意；故选：D5.已知偶函数在上的导函数为，且在时满足以下条件：①导函数的图象如图所示；②唯一的零点是1．则的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】记在上的零点为，结合导函数的图象可求出的单调区间，再根据可求出当时的正负，再结合偶函数的性质可求得不等式的解集.【详解】记在上的零点为，由在上的图象，知当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．因为在唯一的零点是1，即，所以当时，，当时，．又为偶函数，所以当时，，当时，，所以的解集为．故选：B．6.已知函数，则（）A.2024 B. C.2025 D.2026【答案】B【解析】【分析】通过求导得到的对称中心，然后利用对称性求函数值即可.【详解】由，可得．令，得，又，所以图象的对称中心为，，，，．故选：B.7.在上的导函数为，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件构造函数，利用导数判断其单调性，从而得到不等关系，即可判断.【详解】令，则，，，在上单调递增，，即，.故选：A.8.已知对恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将不等式进行变形，构造函数，根据其单调性得到，转化为恒成立问题，通过求函数在上的最大值来确定的取值范围.【详解】设，则.∵时，，，∴，故在上单调递增.∵对恒成立，∴当时，，则有，当时，可等价变形为.∵在上单调递增，且，（），∴由可得，即对恒成立.设，则.当时，，，，故.∴在上单调递减，∴当时，.∵对恒成立，∴，即实数的取值范围是.故选：A.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把不等式等价变形为，通过构造函数，最终问题转化为转化为恒成立问题.二、多选题9.定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数在上单调递减 B.函数在上单调递减C.函数在处取得极小值 D.函数在处取得极大值【答案】AD【解析】【分析】利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，进而可得极大值点，从而可得结论.【详解】由函数的导函数的图象可知，当时，，所以在上单调递增，故B错误；当时，，所以在上单调递减，故A正确；所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确.故选：AD.10.设函数，则（）A.函数有两个极值点B.函数有两个零点C.直线是曲线的切线D.点是曲线的对称中心【答案】ABD【解析】【分析】求导，确定函数单调性极值，即可判断AB，由导数的几何意义可判断C，由对称中心的概念可判断D;【详解】令解得，令解得或，所以在单调递增，单调递减，单调递增，因为，极大值，且极小值，所以函数有两个极值点，有两个零点，故AB正确，令即，，无解；故C错误；，所以，即点是曲线的对称中心，正确；故选：ABD11设函数，则（）A.当时，是的极大值点B.当时，有三个零点C.存在a，使得点为曲线的对称中心D.存在a，b，使得为曲线的对称轴【答案】BC【解析】【分析】A选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；B选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；C选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.D选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；【详解】A选项，，时，，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，A选项错误；B选项，，由于，故时，故在上单调递增，时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点，又，，则，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，B选项正确；C选项，方法一：利用对称中心的表达式化简，若存在这样的，使得为的对称中心，则，事实上，，于是即，解得，即存在使得是的对称中心，C选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，，，，由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，C选项正确.D选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，即存在这样的使得，即，根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的，使得为的对称轴，D选项错误；故选：BC【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心.三、填空题12.函数在处有极值10，则实数_________．【答案】【解析】【分析】将函数求导，由题意得和，联立求得，再回代检验是否符合题意即得.【详解】由求导得，，依题意，①，②，联立①，②，解得：或.当，时，，，函数增函数，显然不符合题意，故舍去；当，时，，，当时，，此时为减函数，当时，，此时为增函数，故在处有极小值为，符合题意.故答案为：.13.若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据题意转化为在上有解，分离参数后求函数最值即可得解.【详解】，由题意在上有解，即在上有解，根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值，故，故实数的取值范围是.故答案为：14.对于函数，若对任意的，存在唯一的使得，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】借助导数研究单调性，并求出函数在给定区间上的值域，再结合集合包含关系，列出不等式解题即可.【详解】函数，求导，令，求导，函数在上单调递增，当时，；当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，则，因此函数在上单调递增，当时，，即，函数，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递减，此时，即；在上单调递增，此时，即，由对任意的，存在唯一的使得，得是的子集，即，解得，所以实数的取值范围是．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题关键是将题目转化为值域之间的包含关系，再借助导数研究单调性，得到值域.四、解答题15.4名男生和3名女生站成一排.（1）甲不在中间也不在两端的站法有多少种？（2）男生甲和男生乙不相邻，女生甲和女生乙相邻，排在一起的站法有多少种？（3）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？【答案】（1）2880（2）960（3）840【解析】【分析】（1）根据题意先排甲，然后剩余的进行全排列即可；（2）利用捆绑法，将女生甲和女生乙捆绑在一起，与除去男生甲和男生乙的其他人进行全排列，然后男生甲和乙插空即可；（3）7个全排列后，除以甲、乙、丙的全排列数即可.【小问1详解】分两步，先排甲有种，其余有种，所以根据分步乘法原理知共有种排法.【小问2详解】分三步：①捆绑法，现将女生甲与女生乙捆绑在一起，有（种）；②将女生甲和女生乙看成整体，与其他人（除去男生甲和男生乙）排列，有（种）；③插空法，在其他人排好的基础上，将男生甲和乙插空（共有5个空位置），有（种），所以根据分步乘法原理可知共有（种）.【小问3详解】7人共有种排法，其中甲、乙、丙三人有种排法，因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法，故共有种排法16.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，求确定斜率，求确定切点坐标，利用点斜式即可求切线方程.（2）根据，确定函数，令，利用二次求导的方法确定的单调性，再根据，确定函数的单调区间，从而求出函数的最小值，即，由此结论得证.【小问1详解】当时，，则，得，又，所以切点为，所以切线方程为，即.【小问2详解】因为，所以，所以，令，所以，令，所以，因为，时，，所以，所以在上单调递增，又，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以，即.17.已知函数，其中.（1）若的图象在处的切线经过点，求a的值；（2）讨论的单调性.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导求出切线的斜率和切点坐标，由直线的点斜式方程求出切线方程，再代入经过点的坐标可得答案；（2）求导，分、、、讨论，可得答案.【小问1详解】，因为，，所以的图象在处的切线方程为，将代入得，解得；【小问2详解】，当时，，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减.当时，，所以在上单调递增.当时，令，得或；令，得，所以在，上单调递增，在上单调递减.当时，令，得或；令，得，所以在，上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减.18.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）求证：函数的图象在x轴上方.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)求，根据正负即可求y的单调区间；(2)求，根据零点的范围求出g(x)的最小值，证明其最小值大于零即可.【小问1详解】，令则.当时，，∴函数在上单调递增；当时，，∴函数上单调递减.即单调递增区间是，单调递减区间是；【小问2详解】，，易知单调递增，又，，∴在上存在一个，使得：，即：，且，当，有单调递减；当，有单调递增.∴，∴，∴函数的图象在x轴上方.【点睛】本题考查隐零点，关键是判断单调，且，，由此得出在(1，2)之间存在零点，据此求出g(x)的最小值，证明此最小值大于零即可.19.已知函数．（1）求的单调区间；（2）若在区间内有最小值，求的取值范围；（3）若关于的方程有两个不同的解，，求证：．【答案】（1）答案见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出的导数，通过讨论的范围，判断的符号，得到函数的单调区间即可；（2）通过讨论的范围，判断在区间内单调性，从而得出的取值范围；（3）根据题意分析可得：若，是关于的方程的两个不同的解，通过联立方程组消去，再通过换元，整理得到，结合的单调性分析运算得到，从而得证.【小问1详解】的定义域为，，当时，，所以的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，